《高等数学》极限的概念

极限的概念（公元前3世纪）上的应用。极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多概念都是建立在极限基础上用定义求一些简单变量的极限。数列极限的定义定义（整标函数n无限增大时，数列x f(n)的变化趋势。先观察下面三个数列：n（1）2

3 4 1，，2 3 n（2）

12 3 4 n（3） 2

1 4 3

n(1)n1 ，，，，， 2 3 4 n，，，，， 为清楚起见我们把这三个数列的前几项分别在数轴上表示出来（见图 131，132，133）图131图132图133由图131nxn

11x1的nnn右侧，即数列x 无限接近于 1；由图132可以看出，当n无限增大时，表示数列nnnnx 1nn

1的点逐渐密集在x1的左侧，即数列x

133可以看出，当nxn

n(1)n1n

x1x无限n接近于1。nnn无限增大时，x常数。一般地，有下述定义：nnn定义1.3.1若当n无限增大时，数列x无限接近于一个确定的常数a，则a就叫做数列x的极限，记为nnlimxn

a 或当n时，x an12（3的极限可分别表示为lim1n

1)1，lim(1

1)1，n n n nn(1)n1limn n

1。（）数列极限定义中“当n无限增大时，数列xn

无限接近于一个确定的常数a”的实质：两个数xn

与a之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值，即|xn

a|的大小来度量，|xn

a|xn

与a|xn

a|越来越小”这种变化趋势，有时也说成“|xn

a|“对于任意预先指定的正数（不论它多么小xN

，使得这一项后面的所有项与a之差的绝对值都小于，即不等式|xn由此，数列极限还可采用下述定义：

a定义1.3.2若对于任意给定的正数（不论它多么小，总存在正整数N，使得对于nNxn

，不等式|xn

a都成立，则称常数a是数列{xn

}的极限。（2）若一个数列存在极限，则称该数列是收敛的，否则，称该数列是发散的。收敛数列的有界性定理收敛的数列必定有界。注：有界数列不一定收敛，例如，{x}：x (1)nn n推论无界数列必定发散。函数极限的定义n和函数值f(n)的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的x的某个变化过程中，如果对应的函数值f(x)无限接近于某个确定的常数AA就称为函数f(x)x的上述变化过程中的极限A是与自变量x下面分两种情况来讨论（一）自变量趋于有限值时函数的极限（二）大时函数的极限。自变量趋于有限值（xx0）时函数的极限定义1.3.3 设函数f(x)在U(x0)内有定义，若当xx0时，对应的函数值f(x)无限接近于A，则称常数A为函数f(x)当xx0时的极限。记作limf(x)A或当xxxx 0

时，f(x)Axxxxxxxxf(x有没有极限0 0 0 0x21与f(x)在点x0

是否有定义以及如何定义无关例如函数f(x) 在x1处无定义，x1但有limx21lim(x2ysgnxx0x1 x1 x1x2x,x0f(x)

x x0处有定义，且0 ,x0limf(x)limx2x

lim(x1x0 x0 x

x0但函数值不等于极限值。还有一种情况是：函数f(x)在点x既有定义，也有极限，且两者0相等。这种情况将在稍后的函数连续性中专门讨论。xx时函数f(x)xxx0 0 0 0xxx（xx_xx的右侧0 0 0 0趋于x（记作xx0 xx0

_f(x)AA叫做函数f(x)当xx0时的，记作limxx0

f(x)A或f(x0

0)A；若xx0

时，f(x)A，则A叫做函数f(x)当xx0

时的，记作limxx0

f(x)A或f(x0

0)A。xx时函数f(x)的极限的定义，以及左极限与右极限的定义，容易得到：函0数f(x)xx时的极限存在的充分必要条件是左极限与右极限各自存在并且相等，即0limf(x)Af(xxx 0

0)f(x0

0)A因此，即使f(x0

0)和f(x0

0都存在，但若不等，则limf(x不存在。xx【例1】符号函数

0x0ysgnxx0x0由于f(00)1，f(00)1，故limsgnx不存在。x0*【例2】设 f(x)21/x,求limf(x)。x0解：令1u，由于x0时，u，2u，即lim

f(x)xx0u2u故limf(x)不存在。x0

0，即x0

f(x)0

x0自变量趋于无穷大（x）时函数的极限1.3.4设函数f(x)当|x|X（XR）x时，对应的函数值f(x)AA为函数f(x)x时的极限。记作limf(x)A或当x时，f(x)Ax若x0且无限增大（记作x|xX改为xX，就可得到limf(x)A的定义；同样，x0而|x|无限增大（记作x，则只要把x上面的定义中的|x|XxX，就可得到limf(x)A的定义。并且limf(x存x x在的充分必要条件是limf(x)和limf(x)均存在且相等。x x例如，从基本初等函数的图像上看，可得lim10，limarctanx，limarctanxlimarctanx不存在xx x 2 x 2 x等。习题13判别下列极限是否存在,如果存在求出其值：lime1/x； (2lime1/x2。x