大二下-概率论高教版多维随机变量及其分布

第三章随量及其分布第一节二维随量第二节边缘分第三节条件分量的函数的第四节随量的独立性第五节两量的函数的第一节二维随

,Y

定义在样本空间Ω上的两个随量 Y)(为二维随机向量或二维随量

x

X

yyoxG{(x,

x1

xx2,y1y

1F(x2,1F(x2,y2)F(x1,y2)F(x2,y1)

F(x1,y10

F(x ,F(,)

F(,)F(xF(x

F(x,

y),F(x,

y0)

F(x,

x2y1 F(x2

y2)F(x2

yi

Y)记

xi

yj}

pij

i,

1,并称为二维离散型随(

或称为随和

联合分布律j jxyyp2F(x,

xixyj

pi例1一箱子装有5件产品，其中2件正品，30X00Y0

，第二次取到次，第二次取到正解X,Y)可能取的值只有4(0,11,0)及按概率的乘法公式计算得

0,Y

2

P{X

2

P{X

3

P{X

3

F(x,

f(u,则称(X,Y)是二维连机变

y)称为机变量(X,Y的概率密

f

y)

f

,Y)G}G

f

2F(x,y)

f(x,y)例2设G是平面上的一个有界区域，其面积为A二维随f(x,

y)

,

y)0,

f

CA故有

(x,

y)

1,

y)0, ，

f(x,

2e(2xy

x0

y

Y}解）F(x,

f

x2e(2xy)dxdy

x0,yy y

F(x

(1e2x)(1ey

x0,y

Y}

y)G}G

f

2e(2xy)dydx

n

则

X2

对于任意n个实x1,x2 ,xn,函F(x1,

x1,X2

x2 ,Xn

称为n维随量(

X2

Xn 第二节分 FX(x)

x}

F(x,F(x)

limF(x,

F(,

其中F(

limF(x,故边缘故边缘分布函数FX(xFYX,Y的分布函数所确

分布率为pij,FX(x)F(x,

pijxixj1

(i

j

xi}j

pi

记为

xi}

yj}

))

pij，记为

yj}

p

分别称

(i1,

p

))

FX(x)

F(x,

f

fX(x)为fX(x)为X,Y关于X的边缘概fX

f

fY(x)为fY(x)为X,Y

f

1把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设X,Y分别表示投入1,2个邮筒内信的数求X,Y),2(X

0}1 2}1

1}2 1}2

所有计算结果列表如下：X

X,Y)关于Y的2919 291901 4949

X,Y)关于X的例2将２只红球和２只白球随机地投入已经编好号的Y表示落入第2个盒子内白球的数求X,Y)的分布及边缘分布律不妨分别把2只红球和2（例如），由古典概型计算 222

123123XYXY12p494 ,(区G{(x,y)|0

y上服从均匀分布f(x,y)

0x1,x2

y

6(xx2 0

x则f

(x)

f

yfY(y)y

f(x,

0y

其他

第三节条件分

xi

yj}

pij

i,

..,,P{Xxi}

j

pij

.P{Yyj}.

p

pij

p

xi|

yj}

yj

p

同样地,若pi

P{Xxi

yj

P{Y

xi

1把两封信随机地投入已经编好号的3,Y

别表示1,2个邮筒内

求在条件下随量X的条件分布律解在的条件下XP{X0P{X1P{X2|Y

1949P{Y 1949294149929414999 P{Y x设X,Y)的概率密度为fx

(

fXx)和

y)分别是关若

(

0,

P{X

f(x,fY(y)

FX|Y(x|故Y

f(x,y)fX|Y(x|

fY(y)

(y|

f

Y|X (y|

f(x,

fX(x)Y|X

fX(x)f(x,y)

1，x2y2ππ fX|Y(x|

21y2解fY

f

|

x

的一切xf(x,

, x 1y21y2 (xy) 1y21y2fXfY

(

第四 随量的独立 及

yxyF二维随X,Y的分布函数及边缘分布函数若所有x,y

x,Yy即F(xy

FX

(则称 ,(连续型随 (),YXy(f为X,Y)的概率密度和边缘概率密度,则X和Y独立条件f(x,y)

fX

fY(在f

fX

是离散型 对于X,Y的所有可能的取值(xi,yi

xi,y

yi

yi pij

pi.p.j

i

j

Ypk11223Ypk11223191Xpi1132Xpi1132131PX

PX

1(1

1PX

PX

1(

2,9

1.此时 ij

p.

对所有xi

yi均成例2一到达的时间均匀分布在8～12时，他的到达的时间均匀分布在7～9们到达的时间相差不超过5分钟（1/12小时）的概率．

fX(x)

144

8x

fY(y)

122

7y

其他

其他由独立性得(X,Yf(x,y)

fX(x)

(

1 888

x12,7

y

其他 1

12画出

xy

x12;7

y仅当X,Y)取值于G两人到达的时间相差才1/12小时。故所求的概率PXY

1

f

G 12 G的面积

11

2

2（2 6

1 PX

125分钟的概率为iiF(x1x2,xn

(xi)

1,2,,n)分别是n维随X1X2,Xn的分布函数和边缘分布xn,xn, F(x1,x2,,xn)FX(x1 (x2 ( 则称X1X2,Xn 量

2

Xn

f(x1,x2,,xn)

f (x1)

(x2

(xXnnXn1X21X2

1,,,

第五节两个随量的函数的分

XY设二维

xi

yj}

i

j若ZX

y

zk}P{X

xi

yjP{Xi

xi

xi或者

zk}

P{Xj

yj

yj 设二维

XY解由X,Y可能取的值知Z的可能值为且

0}

1}

0}0.10.1

Z ,则

Y的分布函数FZ(z)

z} xy

f

(z)

z[

f

xuz

f

y)dx

f(u

y, 于是FZ(z

f(u

y,

f(u

y,上式两边对z

fZ(z)

f(z

y,

fZ(z)

f(zx, fZ(z)

fX(z

yfYy)dy或

fZ(z)

fX(x)fY(z例2设X和Y是两个相互独立的随机变量,都服从正态分布N(0,1其概率密度为fX(x)

1e1

xfY(y)

1e1

y求ZXY的概解fZ(z)

fX

fY

(zx)22π

e e (xz e

2

t

x2

则

(z)1

et2dt

e例3设fX(x)

0x

fY(y)

ey

y

其求随量

利用公

fZ(z)

fX

fY(z

0x 0xzx 即x 由上图

z1 z1

(x)

fY(z

x)dx

ze(zx)dx,0zfZ(z)

(x)

fY(z

dx

ze(zx)dx,z000 即fZ(z)(e1)ezz1即fZ(z)(e1)ezz1

0z 其解法

ey

0

yf(x,y)fX(x)

fY(y)

其则Z的分布函数FZ(z)

z}

P{X

z}

xy

f

当z

zzFz(z)z

zx0

z1当z1Fz(z)1

zx0

（二）Z

例4设二维Gx,y|0x2,0

y

由已知(X,Y的概率密度

yfx,

2

令F(s)为S的分布函数,

时F(s

时F(s0

Fs

f

12

2s

s s(1

2

s于是Fs

2

2

0

s故s的概率密度

2

0sfs

Fs2 其

X,Y)及

X,Y由于PMz

z

zP即

z

类似可得N的分布函

zP1

z1

Fminz11

21,,,n是nXX