习题 用函数模型解决实际问题课后练习

§用函数建模解决实际问题1.某电视新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()=100x =50x2-50x+100=50×2x =100log2x+100解析:根据题目给出的数据,结合不同函数增长的差异,可知应为指数函数模型.答案:C2.某种动物繁殖数量y(只)与繁殖时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第一年有100只,则第七年它们发展到()只 只 只 只解析:∵由题意知,当x=1时,y=100,即100=alog22,a=100.∴y=100log2(x+1).∴当x=7时,y=100log28=300(只).答案:A3.某中学的研究性学习小组为考察珠江口某小岛的湿地开发情况,从某码头乘汽艇出发,沿直线方向匀速开往该岛,靠近岛时,绕小岛环行两周后,把汽艇停靠岸边上岸考察,然后又乘汽艇沿原航线提速返回.设t为出发后的某一时刻,s为汽艇与码头在时刻t时的距离,下列图像中能大致表示s=f(t)的函数关系的为()解析:由题中所述,只有C符合题意.答案:C4某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y=4x,1≤x<10,x∈N+,2 解析:令y=60,若4x=60,则x=15>10,不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若=60,则x=40<100,不合题意.故拟录用人数为25人.答案:C5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3000+(0<x<240,x∈N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()台 台 台 台解析:由题意知3000+20x-0.1x2≤25x,∴不亏本时的最低产量为150台.答案:C6.某种商品投放市场以来,曾经过三次降价,其价格由a元降至b元,那么该商品每次平均降价的百分数是.

解析:此题是一个平均增长率的数学模型,要用到M=N(1±p%)a这一关系.设每次平均降价为x,则由题意,得a(1-x)3=b,解得x=1-3ba.故该产品每次平均降价的百分数为1-答案:1-37.某人定制了一批地砖,每块地砖(如图(1)所示)是边长为40cm的正方形ABCD,点E,F分别在边BC和CD上,△CFE,△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成△CFE,△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设,能使中间的阴影部分构成四边形EFGH.则当CE=cm时,定制这批地砖所需的材料费用最省?

解析:设CE=x,则FC=x,BE=40-x,设△CFE,△ABE和四边形AEFD的面积分别为S1,S2,S3,地砖的总费用为y,则y=3S1+2S2+S3=32x2+402-40x+402-12x2-20×40+20x=x2-20x+2400,二次函数开口向上,其对称轴为x=10,所以当x=10,即CE=10答案:108.某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知:lg2≈0,lg3≈解:依题意,得2%·1-1即23则n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),故n≥1+lg2lg3-lg2≈,考虑到n∈即至少要过滤8次才能使产品达到市场要求.9.某地有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不同,甲家每张球台每小时5元;乙家按月计费,一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元,超过30小时的部分每张球台每小时2元.某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于15小时,也不超过40小时.(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40),试求f(x)和g(x);(2)问:选择哪家比较合算?为什么?解:(1)f(x)=5x,15≤x≤40;g(x)=90(2)当5x=90时,x=18,即当15≤x<18时,f(x)<g(x);当x=18时,f(x)=g(x);当18<x≤40时,f(x)>g(x);∴当15≤x<18时,选甲家比较合算;当x=18时,两家一样合算;当18<x≤40时,选乙家比较合算.10.中考结束以后,某同学一家人(父亲、母亲、孩子)去某地旅游,有两个旅行社同时发出邀请,且有各自的优惠政策.甲旅行社承诺,如果父亲买一张全票,则其家庭其余成员均可享受半价;乙旅行社承诺,家庭旅行算团体票,按原价的23计算.这两家旅行社的原价是一样的,若家庭中孩子数不同,试比较选择哪家更优惠?(提示:根据孩子的个数来判断解:设两家旅行社的原价为a(a>0),家庭孩子的个数为x(x∈N+),甲、乙两家旅行社收费分别为f(x)和g(x),则f(x)=a+(x+1)·a2=a2x+32a(g(x)=(x+2