习题3：相似三角形的性质

1．3相似三角形的判定及性质第二课时相似三角形的性质1．把一个三角形扩大为和它相似的三角形，如果面积扩大到原来的100倍，那么边长扩大到原来的()A．10000倍 B．10倍C．100倍 D．1000倍答案：B2．如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是()A．10 B．12C．16 D．18解析：选C.∵AB∥EF∥CD，∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(AB,DC)＝eq\f(20,80)＝eq\f(1,4)，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(EC,AC)＝eq\f(4,5)，∴EF＝eq\f(4,5)AB＝eq\f(4,5)×20＝16.3．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG内接于△ABC，DE∥AC，EF∥BC，AC＝1，BC＝2，则AF∶FC等于()A．1∶3 B．1∶4C．1∶2 D．2∶3解析：选C.设正方形边长为x，则由△AFE∽△ACB，可得AF∶AC＝FE∶CB，即eq\f(x,2)＝eq\f(1－x,1)，所以x＝eq\f(2,3)，于是eq\f(AF,FC)＝eq\f(1,2).4．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为()A．8,3 B．8,6C．4,3 D．4,6解析：选A.∵AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，且相似比为2.∵△ABC的周长是16，面积是12，∴△DEF的周长是8，面积是3.5．D、E、F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为4，△ABC的周长为9，则△DEF的周长与△ABC的面积分别是()\f(9,2)，16 B．9,4\f(9,2)，8 \f(9,4)，16解析：选A.如图，D、E、F分别为△ABC三边中点．∵EF綊eq\f(1,2)BC，∴△AEF∽△ABC，且eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2).∴eq\f(l△DEF,l△ABC)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(1,2)，又∵l△ABC＝9，∴l△DEF＝eq\f(9,2).又∵eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\f(EF2,BC2)＝eq\f(1,4)，S△DEF＝4，∴S△ABC＝16.6．已知△ABC的三边长分别为eq\r(2)、eq\r(6)、2，△A′B′C′的两边长分别为1和eq\r(3).如果△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应为________．解析：∵△ABC∽△A′B′C′，eq\f(\r(6),\r(3))≠eq\f(2,1)，eq\f(2,\r(3))≠eq\f(\r(2),1)，eq\f(\r(6),\r(3))＝eq\f(\r(2),1)，∴可设△A′B′C′的第三边长为x，则有eq\f(\r(6),\r(3))＝eq\f(\r(2),1)＝eq\f(2,x)，∴x＝eq\r(2).答案：eq\r(2)7．如图所示，在△ABC中，AD∶BD＝1∶2，DE∥BC，若△ABC的面积为9，则四边形DBCE的面积为________．解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵AD∶DB＝1∶2，∴AD∶AB＝1∶3.∴S△ADE∶S△ABC＝1∶9.又∵S△ABC＝9，∴S△ADE＝1.∴S四边形DBCE＝8.答案：88．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线EF∥BD，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F.若S△AEG＝eq\f(1,3)S四边形EGCB，则eq\f(CF,AD)＝________.解析：∵S△AEG＝eq\f(1,3)S四边形EGCB，∴eq\f(S△AEG,S△ABC)＝eq\f(1,4).由相似三角形的性质定理，得eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,2)，∴E为AB的中点．由平行线等分线段定理的推论，知G为AC的中点．∵EF∥BC，AC⊥BC，∴FG⊥AC.又点G为AC的中点，∴FG为AC的中垂线，∴FC＝FA.∵EF∥BD，E为AB的中点，∴F为AD的中点．∴eq\f(CF,AD)＝eq\f(AF,AD)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．已知一个三角形的三边长分别为3cm,4cm,5cm，和它相似的另一个三角形的最大边长为12cm，求另一个三角形内切圆和外接圆的面积．解：设边长为3cm,4cm,5cm的三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R.∵该三角形为直角三角形，∴eq\f(1,2)(3＋4＋5)r＝eq\f(1,2)×3×4，得r＝1，R＝eq\f(5,2).∴S内切圆＝π，S外接圆＝π·(eq\f(5,2))2＝eq\f(25π,4).又两三角形的相似比为eq\f(5,12)，∴S′内切圆＝(eq\f(12,5))2×S内切圆＝eq\f(144π,25)，S′外接圆＝(eq\f(12,5))2×S外接圆＝36π.10．如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝12cm，∠ABC＝80°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC.求：(1)∠EDB的度数；(2)DE的长．解：(1)∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝eq\f(1,2)×80°＝40°.∴∠EDB＝40°.(2)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC.∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB.∴eq\f(DE,BC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(AB－BE,AB)＝eq\f(AB－DE,AB).∴eq\f(DE,12)＝eq\f(12－DE,12)，∴DE＝6cm.11．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．解：(1)证明：∵DE⊥BC，D是BC的中点，∴EB＝EC，∴∠B＝∠1.又∵AD＝AC，∴∠2＝∠ACB.∴△ABC∽△FCD.(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.∵△ABC∽△FCD，BC＝2CD，∴eq\f(S△ABC,S△FCD)＝(eq\f(BC,CD))2＝4.又∵S△FCD＝5，∴S△ABC＝20.∵S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AM，BC＝10，∴20＝eq\f(1,2)×10×AM，∴AM＝4.又∵DE