习题1：数学归纳法

数学归纳法自主练习夯基达标训练1.设f(n)=(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于（）A.B.C.+思路解析：因为f(n)=+…+,所以f(n+1)=.所以f(n+1)-f(n)=答案：D2.设f(n)=1+++…+(n∈N+),则f(n+1)-f(n)等于（）A.B.C.D.思路解析：因为f(n)=1+++…+.所以f(n+1)=1+++…++.所以f(n+1)-f(n)=.答案：D3.用数学归纳法证明：（n+1）(n+2)…（n+n）=2n×1×3…(2n-1)时，从“k到k+1”左边需增乘的代数式是（）+1B.(2k+1)D.思路解析：当n=k+1时，左边=(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k+1)=(k+1)·(k+2)·(k+3)…(k+k)·=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)·2(2k+1).答案：C4.用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+)”在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（）+a+a+a2+a+a2+a3思路解析：观察等式左边，当n=1时，最末项为a2,故1+a+a2是正确的.答案：C5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应该写成（）A.假设当n=k(k∈N+)时，xk+yk能被x+y整除B.假设当n=2k(k∈N+)时，xk+yk能被x+y整除C.假设当n=2k+1(k∈N+)时，xk+yk能被x+y整除D.假设当n=2k-1(k∈N+)时，xk+yk能被x+y整除思路解析：第k个奇数应是n=2k-1，所以第k+1个奇数应是n=2k+1，且n=1时，命题成立.答案：D6.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证（）=1成立=2成立=3成立=4成立思路解析：多边形至少是3边.答案：C7.如果命题P（n）对n=k时成立，则它对n=k+2也成立，又若P（n）对n=2成立，则下列结论正确的是…（）（n）对所有正整数n成立（n）对所有正偶数n成立（n）对所有正奇数n成立（n）对所有大于1的正整数n成立思路解析：由n=2成立，推出n=4成立，再推出n=6成立…….答案：B8.等式12+22+32+…+n2=(5n2-7n+4)()为任何正整数时都成立B.仅当n=1,2,3时成立C.当n=4时成立，n=5时不成立D.仅当n=4时不成立思路解析：分别用n=1，2，3，4，5验证即可.答案：B9.某学生在证明等差数列前n项和公式时，证法如下：（1）当n=1时，S1=a1显然成立.（2）假设n=k时，公式成立，即Sk=ka1+，当n=k+1时，Sk+1=a1+a2+…+ak+ak+1=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+a1+(k-1)d+a1+kd=(k+1)a1+(d+2d+…+kd)=(k+1)a1+d=(k+1)a1+d.∴n=k+1时公式成立.∴由（1）（2）可知对n∈N+,公式成立.以上证明错误的是（）A.当n取第一个值1时，证明不对B.归纳假设写法不对C.从n=k到n=k+1的推理中未用归纳假设D.从n=k到n=k+1的推理有错误思路解析：在第（2）步证明中，归纳假设未用到.答案：C综合提升10.某个命题与正整数有关，若当n=k(k∈N+)时该命题成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（）A.当n=6时，该命题不成立B.当n=6时，该命题成立C.当n=4时，该命题成立D.当n=4时，该命题不成立思路解析：利用等价命题，原命题的真假等价于逆否命题的真假，若n=k+1时命题不成立，则n=k时命题不成立，所以n=4时命题不成立.答案：D11.上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f(n)，则下列猜想正确的是（）(n)=n(n)=f(n)+f(n-2)(n)=f(n)·f(n-2)(n)=n(n=1,2)，f(n-1)+f(n-2)(n≥3).思路解析：分别取n=1,2,3，4验证.答案：D12.用数学归纳法证明：32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除.思路解析：(1)当n=1时，34-8×1-9=64,能被64整除，命题成立.(2)假设当n=k时，命题成立，即32k+2-8k-9能被64整除.则当n=k+1时,32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64k+64.因为32k+2-8k-9能被64整除，所以32(k+1)+2-8(k+1)-9能被64整除.即当n=k+1时，命题也成立.由（1）（2）可知，对任何n∈N+,命题都成立.13.用数学归纳法证明：tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(n-1)α·tannα=-n(n≥2,n∈N+).思路解析：(1)当n=2时，左边=tanα×，右边=,等式成立.(2)假设当n=k时（k≥2,k∈N+）等式成立，即tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα=-k,则当n=k+1时，tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα+tankα·tan(k+1)α=-k+tankα·tan(k+1)α.(*)因tanα=tan［(k+1)α-kα］=,得tankαtan(k+1)α=.代入（*）式，得右边=-(k+1),即tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα+tankα·tan(k+1)α=-(k+1).这就是说，当n=k+1时等式成立.根据（1）（2）可知，对任意n≥2,n∈N+,等式成立.14.用数学归纳法证明，若f(n)=1+++…+,则n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·f(n)(n≥2,且n∈N+).思路解析：(1)当n=2时，左边=2+f(1)=2+1=3,右边=2·f(2)=2×(1+)=3,左边=右边，等式成立.（2）假设n=k时等式成立，即k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)=kf(k).由已知条件可得f(k+1)=f(k)+,右边=(k+1)·f(k+1)（先写出右边，便于左边对照变形）.当n=k+1时，左边=(k+1)+f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=［k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)］+1+f(k)(凑成归纳假设)=kf(k)+1+f(k)(利用假设)=（k+1）·f(k)+1=(k+1)·［f(k+1)-］+1=(k+1)·f(k+1)=右边.∴当n=k+1时，等式也成立.由（1）（2）可知，对一切n≥2的正整数等式都成立.15.（2022广东广州高中综合测试，20）n2（n≥4,且n∈N+)个正数排成一个n列的数阵：第1列第2列第3列…第n列第1行a11a12a13…a1n第2行a21a22a23…a2n第3行a31a32a33…a3n………………第n行an1an2an3…ann其中aik(1≤i≤n,1≤k≤n，且i,k∈N+)表示该数阵中位于第i行第k列的数，已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且a23=8,a34=20.(1)求a11和aik;(2)设An=a1n+a2(n-1)+a3(n-2)+…+an1,证明：当n为3的倍数时，(An+n)能被21整除.(1)解：设第一行公差为d,则aik=［a11+(k-1)d］×2i-1.∵a23=8,a34=20.∴解得a11=2,d=1.∴a11=2,aik=(k+1)×2i-1(1≤i≤n,1≤k≤n，且n≥4,i,k,n∈N+).(2)证明：∵An=a1n+a2(n-1)+a3(n-2)+…+an1=(n+1)+n×2+(n-1)×22+…+2×2n-1,①∴2An=(n+1)×2+n×22+(n-1)×23+…+3×2n-1+2×2n,②②-①,得An=2+22+23+…+2n-1+2×2n-(n+1)=2n-2+2×2n-(n+1)=3×(2n-1)-n.∴An+n=3×(2n-1).下面用数学归纳法证明：当n为3的倍数时，（An+n）能被21整除.设n=3m(m∈N+,且m≥2),则A3m+3m=3×(23m-1).（1）当m=2时，