线性1对偶问题变换性质

2.4.12.4.22.4.3 2.4.5对偶问

maxz=3x1+单耗（工时/件单耗（工时/件 （工时/天 8单位利（百元/件 ω

≤2x2≤3x1+4x2≤x1，x2≥由于原拟用于生产每件甲产品的1个A工时和3个c工时能创造3百利润，所以出租上述数量的各资源 起码应不低于3百元w1y1+0y2+3y3≥ 0y1+2y2+4y3≥ y1，y2，y3≥ minw=8y1+12y2+ +3y3≥

2y2+4y3≥y1, y3≥Y*Y*=maxz=3x1+w*=z*=≤ ≤3x1+4x2≤，x2≥X*=min ≥≥≥≥ minw=8y1+12y2+36y31y1+0y2+3y3≥3

0y1+2y2+4y3≥ y1，y2，y3≥ 原问题 z c1X1+c2X2+┈+cn a11X1+a12X2+┈+a1nXna21X1+a22X2+┈+a2nXn· ·····am1X1+am2X2+┈+amnXnxj对偶问题 w=b1y1+b2y2+┈+bm++┈+++┈+·++┈+0，(i=1,2·、两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及、B两种原材料的消耗，如表-所示。每生产一件产品可获利元，每生产一件产品可获利元，问应如何安排计划使该工厂获利最多?资源产ⅠⅡ拥有22128原材4/原材/42.资源最低售价模设企业生产甲产品为X1件乙产品为X2件，1

设第i种资源价格为yii=12则2 4x2

xy1 (原问题 (对偶问题 --第2章对偶问题原问

（1）maxz=C AXbX0

w=Y YAY（2） z=C变 AXX

maxz=C -AX-X

w=Y YA w=Y YAYMinw=Y´(- Y´(-A)Y´

YY（3）maxz=C AXbX0

设X变

max=-CX -AX´X´ w=Y YA w=Y YAY Y（1）maxz=Cw=Ys.tAXYAXY（2）maxz=Cw=Ys.tAXXYAY（3）maxz=Cw=Ys.tAXXY 对偶关关系1：规范对偶关 maxz=

minw=

AT我们称LP问题(P1)与(D1)为规范原始、对偶问题，并称二者之的对应关系为规范对偶关系关系2：标准形LP问题的对偶关

max

minAT 例 maxz=3x1-1x2-23x1+2x2-3x31x1-2x2+1x3=

x1,x2,x3≥minw=6y13y1+1y2≥2y1-2y2≥-

-3y1+1y2≥-y1 对偶问目标对偶问目标要约束≤≥系数k个约k个变约束个变量个k个右端常第k个(非)规范不等式约非负(正)变等式约变 约束条件系数列向量xjxjxjxji=yiyi=yiyi例2-102

max

5y1

y1

2y2y

0,例minω=3x1+2x2-12x1+1x2+3x3≥

3x1-5 ≤1x1+1x2+1x3= x3(1(2)弱对偶性若X是原问题的可行解，Y是对偶问题 性若原问题(对偶问题)为 (4(5)对偶定理若原问题有最优解，那么对偶问题也(6)兼容性 --第2章对偶问题1.maxz=CX;AX≤b；minω=Yb;YA≥C；若将上式两边取负号，又因minω=max(-ω)max(-ω)=-Yb;-YA≤-C；min(-ω′)=-CX；-AX≥-b;

maxω′=maxz=CX；AX≤b;2.X是原问题的可行YCX

zCX;

b;XAXYAX

Yb原问题的对偶问题是min

Yb;YA

C;Y

Yb

由弱对偶性可知Yb

4ˆˆ当ˆ

,

所有可行解Y

5.6兼容该性质设原问题是它的对偶问题原问题与对偶问题标准化后，具有相同的分量个数。这原问题的松弛变量对应着对偶问题的决策变量，对偶问题的剩余变量对应相反数对应其对偶问题的一个基解，且二者目标函数值论原问题检验数与对偶问题解的关系。Cj→

cj- 223jj21cj-

- - - - -

2300230001-24B- --------7minω=2x1+3x2+5x3+2x4+3x5

*=4/5，y m