工程测量员培训883T附自测试题7

491§5-1测量误差概念一、测量误差产生的原因二、测量误差的分类与处理原则三、偶然误差的特性492一、测量误差产生的原因产生测量误差的三个因素：

仪器原因—仪器精度的局限性,轴系残余误差等；人的原因—判断力和分辨力的限制,经验缺乏等；外界影响—气象因素如温度变化,风力,大气折光等

。结论：观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：观测条件—上述三大因素总称为观测条件观测精度—在观测条件基本相同的情况下进行的观测，称为“等精度观测”；否则，称为“不等精度观测”。

493二、测量误差的分类与处理原则（一）系统误差

在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，如果误差的出现在符号(正负号)和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”。系统误差对观测值的影响有一定(数学或物理)的规律性。如能够发现其规律，则可进行改正或用一定方法使其削弱或抵消。494

按测量误差产生原因和对观测成果的影响，分为系统误差、偶然误差和粗差。495

钢尺尺长误差Dk

钢尺检定,尺长改正

钢尺温度误差Dt

钢尺检定,温度改正

水准仪视准轴误差

i

中间法水准,前后视等距

经纬仪视准轴误差C

盘左盘右观测,取平均值

对系统误差采取措施举例：误差来源采取措施在相同的观测条件下，对某一量进行一系列观测，误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”，是由许多无法精确估计的因素综合造成(人的分辨能力,仪器的极限精度,天气的无常变化,以及环境的干扰等)。

偶然误差不可避免，但在一定条件下的大量的偶然误差，在实践中发现具有统计学规律。（三）粗差

由于观测者的粗心大意,或某种特别大的干扰而产生较大的误差称为“粗差”(俗称错误)，应避免和舍弃粗差。

偶然误差举例：仪器对中误差,气泡居中判断、目标瞄准、度盘读数等误差,气象变化等外界环境等影响观测。496（二）偶然误差（四）误差处理原则497粗差

—细心观测，用多余观测和几何条来件来发现，将含有粗差的观测值剔除。系统误差

—找出发生规律，用观测方法和加改正值等方法抵消。偶然误差

—用多余观测减少其影响，利用几何条件检核，用“限差”来限制。三、偶然误差的特性

偶然误差的定义设某一量的真值为X，对该量进行n

次观测，得n个观测值，产生n个真误498l1,l2,…,lnΔ1,Δ2,…,Δn真值与观测值之差定义为“真误差”,真误差属于偶然误差,但真值必须已知才能求得真误差。测量的观测和计算中,在一般情况下真值是不知道的，只能根据几何条件等间接知道真值,例如三角形三个内角之和为180°(真值),而三个内角的观测值之和也可以作为一个独立的观测值，据此求得三内角之和的真误差(称为三角形角度闭合差)。

多次观测中寻找偶然误差的规律：对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角,三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和

(i+i+i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：i

=180°–

(i

+

i+i)观测数据统计结果列于表5-1,据此分析三角形内角和的真误差i的分布规律。499

表5-1

偶然误差的统计4910误差区间dΔ"负误差正误差误差绝对值kk/nkk/nkk/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581．000偶然误差的的特性有限性：在有限次观观测中，偶偶然误差不不超过一定定数值；渐降性：误差绝对值值小的出现现的频率大大，误差绝绝对值大的的出现的频频率小；对称性：绝对值相等等的正负误误差频率大大致相等；；抵偿性：当观测次数数无限增大大时，由于于正负相消消，偶然误误差的平均均值趋近于于零。用公公式表示为为：4911三角形闭合合差的频率率直方图正态分布曲曲线以及标标准差和方方差4912在统计理论论上如果观观测次数无无限增多(n→∞)，而误差区区间dΔ又无限缩小小，则频率率直方图成成为一条光光滑的曲线线，在统计计学中称为为偶然误差差的“正态态分布曲线线”,其数学方程程式为：式中参数σ称为“标准差”,其平方σ2称为“方差”,方差为偶然然误差(真误差)平方的理论论平均值：：标准准差差的的计计算算式式：：§5-2评定定测测量量精精度度的的标标准准一、、中误误差差4913用标标准准差差衡衡量量测测量量观观测测成成果果的的精精度度，，在在理理论论上上是是严严格格和和合合理理的的。。但但在在实实际际测测量量工工作作中中，，不不可可能能对对某某一一量量进进行行无无穷多多次次观观测测。。因因此此，，定定义义：：根根据据有有限限次次观观测测的的偶偶然然误误差差，，用用标标准准差差计计算算式式求求得得的的称称为为““中中误误差差””，，其其计计算算式式为为：：选择两组三角角形内角之和和的观测值，，求得三角形形角度闭合差差，分别按上上式在表5-2中计算中误差差，得到：第1组:m1=±2.7″第2组:m2=±3.6″可见第1组的观测精度度高于第2组。按观测值的改改正值计算中中误差4914表5-2m1较小,误差分布比较较集中，观测测值精度较高高；m2较大，误差分分布比较离散散，观测值精精度较低。两组观测值误误差的正态分分布曲线的比比较：m1=2.7m2=3.64915不同中误差的的正态分布曲曲线4916二、相对中误误差三、极限误差差某些观测值的的精度如果仅仅用中误差衡衡量，还不能能正确反映其其质量，例如如，距离测量量误差应与长长度成正比。。观测值的中中误差除以观观测量，称为为“相对中误误差”(简称相对误差差)，例如200m距离的测距中中误差为2cm,测距的相对误误差为1∶10000;500m距离测距中误误差也为2cm，则测距相对对误差为1∶25000；后者精度高高于前者。根据正态分布布方程式，可可以表示误差差出现在微小小区间dΔ的概率率：将上式式积分分，得得到偶偶然误误差在在任意意大小小区间间中出出现的的概率率。设设以k倍中误误差作作为区区间,则在此此区间间中误误差出出现的的概率率：4917分别以以k=1,k=2,k=3代入上上式，，可得得到偶偶然误误差的的绝对对值不不大于于中误误差、、2倍中误误差、、3倍中误误差的的概率率：由此可可见，，大于于2倍中误误差出出现的的概率率小于于5％，大于3倍中误误差出出现的的概率率小于于0.3％。因因此，，测量量工作作中以2倍中误误差作作为允允许的的误差差极限限，称称为““允许误误差”或“限差”。4918§5-3观测值值的算算术平平均值值及改改正值值一、算算术平平均值值在相同同的观观测条条件下下，对对某一一量进进行n次观测测，观观测值值为li(i=1～n),取其算术平平均值值作为该该量的的最可可靠的的数值值（故故也称称“最或然然值”）：：算术平平均值值为何何是该该量最最可靠靠的数数值？？可以以用偶偶然误误差的的特性性来证证明：：证明算算术平平均值值是最最或然然值4919按真值值计算算各个个观测测值的的真误误差：：将上列列等式式相加加，并除以以n,得到：：故算术术平均均值比比较接近于于真值值，而而成为最可靠的的数值：二、观测值值的改正值值最或然值与与观测值之之差称为““观测值的的改正值””(简称改正值)v:4920对［vv]求极小值：：算术平均值值符合最小小二乘法原原理取改正值总总和：说明：一组观测测值取算术术平均值后后，各个观观测值的改正值之和恒等等于零，此可以作作为计算的的检核。§5-4观测值的精精度评定在同样观测测条件下对对某一量进进行n次观测，求求得算术平平均值及观测值值的各个改改正值v，据此计算观观测值的中中误差：4921对比按真误误差Δ计算中误差差的公式：：两者差别别仅在于以以（n－1）代替n，以代代替真值X：两式取总和和并顾及偶然然误差的相相消性，可可以证明：：因此可以按观测值的的改正值计计算中误差差算术平均值值计算的实实用公式由于各个观观测值相差差很小，为为计算方便便令其数值值的相同部部分为l0,差异部份为为Δl，即li=l0+Δli,算术平均值值的实用公公式：4922按各个观测测值的改正正值计算观观测值中误误差的公式式：按观测值的的改正值计计算中误差差的算例（一段水平平距离的多多次观测））4923次序观测值l(m)Δl(cm)改正值v(cm)vv

(cm2)算术平均值及观测值中误差1120.031+3.1-1.41.96算术平均值:=120.017(m)观测值中误差:=±3.0(cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(lo=120.000)+10.20.045.26计算算术平平均值及其其中误差的的小结：一、已知知真值X,进行n次观测，则则计算观测测值的真误误差与中误误差。二、真值不不知,则进行n次观测，计计算算术平平均值、改改正值及其其中误差。。4924中误差：真误差：中误差：改正值：算术平均值值：§5-5误差传播定定律4925一、观测值值的函数测量所采集集的数据(量)并非都是直直接观测值值，而是观观测值的函函数。观测测值的误差差使其函数数也具有一一定的误差差。例如：：和差函数—例如算术平平均值例如斜距改改平例如分段量量距相加例如图上量量长度,化为实地长长度倍函数—线性函数—一般函数—二、一般函函数的中误误差4926举例说明：：矩形地块块，量长度度a、宽度b，求其面积P。面积是观测测值长度a和宽度b的函数，函函数式为：：对函数式中中的自变量量a、b求偏微分:将微分元素素以偶然误误差Δi代替面积误差(图中阴影面面积)具有直观的几何何意义4927对于上述地地块的长度度和宽度进进行n次观测：上列n个等式平平方后取取其总和和，并除除以n,得到：根据偶然然误差的的抵偿性性，得到到：按照中误误差的定定义，上上式可改改写为求面积中中误差公式：4928误差传播播定律—一般函数数的中误误差计算算式中xi为自变量(独立观测值值)，设mi为观测值的的中误差，，Z为独立变量量的函数。。则Z的中误差为为：式中为为各各个变量的的偏导数。4929三、线性函函数和倍函函数的中误误差线性函数：：自变量的偏偏导数：按照误差传传播定律，，得到线性性函数的中中误差：算术平均值值也也属于观测测值的线性性函数，根根据误差传播定律：4930由于是等精度度观测,因此m1=m2=…=mn=m由此可见，算算术平均值的的中误差比观观测值的中误误差小倍倍。如果线性函数数只有一个自自变量：,则成为倍函数，其中误差为为：上式中的系数数k，即为误差扩大大的倍数。4931函数式为：D=500d实地距离和量量距中误差为为：该距离及其中中误差可以写写成：例：量得比例尺为为1∶500的地形图上两两点间长度d=134.7mm,图上量距中误误差为0.2mm,换算为实地距距离D和量距中误差差mD。4932其中误差均为为：和差函数的中中误差计算方方式也可用于于多种独立误误差来源的观测值中误误差的计算。。例如用测角角仪器观测水水平方向时，同时受到到对中、瞄准准、读数、仪仪器误差、大大气折光等误差影响，，观测水平方方向的偶然误误差是这些误误差的代数和和：故观测水平方方向的中误差差为：误差传播定律律小结第一步：写出出包含各个自自变量(独立观测值)的函数式第二步：写出出全微分式(计算对各个自自变量的偏导导数)第三步：按误误差传播定律律写出中误差差关系式注意：误差传播定律律只适用于将将各个独立观观测值作为自变量。如如果观测值之之间是相关的的，则得到的结果将是不不严格的。4933函数式：函数中误差：：§5-6误差传播定律律的应用4934一、距离测量量的精度光电测距的误误差来源有：：仪器误差、、气温气压测测定误差、仪仪器对中误差差、倾斜改正正垂直角测定定误差等。这这里仅讨论前前二者，即仪仪器频率调制制误差df、测定定相位位的误误差dΔφ以及气气象测测定误误差影影响折折射率率dn。斜距测测定的函数数式对各个个自变变量求偏导导数得得到真误差差关系系式用误差差传播播定律律得到到光电电测距距中误误差的的估算算式：：4935上式根号号内第一一项为测测定相位位误差的的影响，，它与距距离长短短无关，，称为““常误差a”；第二、、第三相相为气象象测定误误差与频频率误差差的影响响，它们们均与距距离长度度成正比比，称为为“比例误差差b”。因此此,光电测距距的误差差估算式式：上式常作作为测距距仪本身身的精度度指标，，a的单位为为mm，b为百万分分率，即即每公里里的毫米米数(mm/km)。二、角度度测量的的精度DJ6级经纬仪仪和6秒级全站站仪一测测回方向向观测值值中误差m=±6″″，水平角角为两个个方向观观测值之之差，故故一测回水平角角观测的的中误差差为：4936一测回水水平角取取盘左盘盘右角度度的平均均值，故故半测回回水平角角值的中中误差为为：盘左、盘盘右水平平角值之之差的中中误差为为：以2倍中误差差作为极极限误差差为±34″″(一般规定定40″)多边形水水平角观观测角度度闭合差差的规定定多边形内角(水平角β)之和在理论上上应为(n-2)180°,由于水平角观测中的的偶然误差，，产生角度闭闭合差：4937每个角度的测测角中误差为为mβ,则n个角度之和的的中误差:以2倍中误差作为为极限误差,则n边形的角度的的允许闭合差差例：设水平角角观测的中误误差mβ=±18″,则三角形的允允许角度闭合差差：三、、水水准准测测量量的的精精度度水准准测测量量高高差差测测定定的的计计算算式式h=a-b,设用用S3水准准仪仪在在水水准准尺尺读读数数的的中中误误差差m=±1mm，则一次次测测定定高高差差的的中中误误差差：：4938两次次测测定定高高差差之之差差Δh=h1-h2,则高高差差之之差差的的中误误差差：：以2倍中中误误差差作作为为极极限限误误差差,则允允许许的的高高差差之之差为为±4mm水准准路路线线高高差差测测定定的的精精度度4939在一一条条附附合合水水准准路路线线进进行行水水准准测测量量,共设设n个测测站站,其高高差差的总总和和：：设水水准准尺尺读读数数误误差差为为m,每次次高高差差测测定定中中误误差差为为mh,则线线路路的的高高差差总总和和的的中中误误差差：：设水水准准线线路路长长度度为为L,各测测站站前前、、后后视视平平均均长长度度为为d,单位位长度度的的高高差差测测量量中中误误差差为为m0,则：：，，L以公公里里为为单单位位m0为每每公公里里高高差测测量量中中误误差差4940上式式说说明明：：水水准准测测量量的的精精度度与与水水准准路路线线的的长长度度的的平平方方根根成正正比比。。水准准测测量量的的等等级级以以每每公公里里高高差差测测量量的的中中误误差差mo作为精精度指指标：：水准测量等级一等二等三等四等

mo±1mm±2mm±6mm±10mm据此,可以按按水准准测量量等级级和设设计水水准路路线长长度,估算水准测测量全全程的的高差差中误误差。。例如如,路线长长5km的四等等水准测测量的的精度度：四、坐坐标计计算的的精度度4941两点之之间,如果已已测定定其水水平距距离D和方位位角α,则可按按下式式计算算其坐坐标增增量：：对观测测值(自变量量)D和α求偏导数,得到函数式式的全微分分：按误差传播播定律,将上式转换换为坐标增增量的中误误差表达式式4942坐标增量的的中误差:上式右边根根号内第一一项为纵向向误差,是由距离误误差造成,第二项为横横向误差,是由角度误误差造成。。由纵横坐坐标增量误差或或纵横向误误差，形成成两点间的的相对点位位误差：一、不等精精度观测与与观测值的的权4943§5-7加权平均值值及其中误误差同一量的一一系列等精精度观测值值可以取其其算术平均均值，而同一量的的一系列不不等精度观观测值则应应取其加权平均值值。“权”(P)意为衡量轻轻重,观测值的中中误差(m)小,则权大;反之则权小小。定义权与中中误差的平平方成反比比：C为任意常数数。等于1的权称为““单位权””,权等于1的中