2016届高考数学大一轮总复习(理科)第二章函数与基本初等函数I学案9

学必求其心得，业必贵于专精教学设计9幂函数导学目标:1。认识幂函数的看法.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝错误!,y＝x错误!的图象，认识它们的变化情况．自主梳理1．幂函数的看法形如______的函数叫做幂函数，其中____是自变量，____是常数．2．幂函数的性质(1）五种常有幂函数的性质，列表以下：定义域值域奇偶单调性过定性点y＝xRR奇↗[0，＋∞）y＝x2R［0，＋偶↗∞）（－∞,0]↙y＝x3RR奇↗（1,11[0，＋∞)［0，＋非奇［0，＋）y＝x2∞）非偶∞)↗（－（－∞，（－y＝x－1∞,0）0)奇∞,0）↙∪(0，＋∪（0，(0，＋∞)∞)＋∞)↙2)所有幂函数在________上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第____象限无图象．3)α〉0时，幂函数的图象经过点________________，并且在区间（0，＋∞)上是________，α〈0时,幂函数在(0，＋∞）上是减函学必求其心得，业必贵于专精数，图象________原点．自我检测1．(2011·石家庄月考）如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象．已知n取±2，±错误!四个值，则相应于曲线C1,C2，C3，C4的n值依次为( )A．－2，－错误!，错误!,2B．2，错误!，－错误!，－2C．－错误!，－2，2，错误!D．2，错误!,－2，－错误!12．已知函数:①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝x2。则以下函数图象(在第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应序次是( )A．②①③④B．②③①④C．④①③②D．④③①②3．（2011·沧州模拟）设α∈{－1，1，错误!,3｝，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为)A．1，3B．－1,1C．－1，3D．－1,1,34．与函数y＝错误!的图象形状相同的是( )学必求其心得，业必贵于专精A．y＝2xB．y＝log2xC．y＝错误!D．y＝x＋15．已知点(错误!,3错误!)在幂函数f(x）的图象上，则f(x）的表达式是(）A．f(x)＝x3B．f(x）＝x－311C．f（x)＝x2D．f(x）＝x2研究点一幂函数的定义与图象例1已知幂函数f(x）的图象过点（错误!，2），幂函数g（x)的图象过点（2,错误!)．(1）求f(x)，g（x）的剖析式；2)求当x为何值时：①f（x）〉g(x）；②f（x）＝g(x）；③f（x)g(x)．变式迁移1若点（错误!，2)在幂函数f（x）的图象上，点(－2，错误!)在幂函数g（x)的图象上，定义h(x)＝错误!试求函数h（x)的最大值以及单调区间．研究点二幂函数的单调性例2比较以下各题中值的大小．(1）30.8，30.7；（2）0.213，0.233;112233）22,1.83；(4)4.15，3.83和(1.9)5.变式迁移2(1）比较以下各组值的大小:11)31①83(;________9x(m2学必求其心得，业必贵于专精0.20。5________0。40.3.（2)已知(0。71.3)m〈(1。30.7）m，则m的取值范围是__________________________．研究点三幂函数的综合应用2例3（2011·葫芦岛模拟）已知函数f（x)＝xm2m3（m∈N*）的mm图象关于y轴对称，且在（0，＋∞)上是减函数,求满足(a1)3<(32a)3的a的范围．变式迁移3已知幂函数f(x）＝m)1（m∈N＊）(1）试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性；(2）若该函数还经过点（2,2），试确定m的值，并求满足条件f（2－a）〉f（a－1）的实数a的取值范围．α1．幂函数y＝x（α∈R)，其中α为常数，其实质特色是以幂的底x为自变量,指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依照和唯一标准．2．在（0,1）上，幂函数中指数越大，函数图象越凑近x轴（简记为“指大图低”)，在（1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象必然会出现在第一象限内，必然不会出现在第四象限内，至于可否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；若是幂函数的图象与坐标轴订交,则交点必然是原点．（满分：75分)学必求其心得，业必贵于专精一、选择题(每题5分，共25分）m1．右图是函数y＝xn(m，n∈N＊,m、n互质)的图象，则)mA．m,n是奇数，且n〈1mB．m是偶数，n是奇数，且n>1C．m是偶数，n是奇数，且错误!<1D．m是奇数，n是偶数，且错误!〉12．（2010·陕西)以下四类函数中，拥有性质“对任意的x>0，y〉0,函数f（x）满足f（x＋y）＝f(x）f(y）”的是)A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数3．以下函数图象中，正确的选项是)学必求其心得，业必贵于专精(3)52(2)53(2)524．(2010·安徽)设a＝5，b＝5,c＝5

,则a，b，c的大小关系是（）A．a〉c〉bB．a>b〉cC．c〉a>bD．b>c>a5．以下命题中正确的选项是( )①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0，0)；②幂函数的图象不可以能在第四象限；③当n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn当n>0时是增函数；⑤幂函数y＝xn当n〈0时在第一象限内函数值随x值的增大而减小．A．①和④B．④和⑤C．②和③D．②和⑤题号12345答案二、填空题（每题4分,共12分)6．(2011·邯郸模拟）若幂函数y＝(m23m3)xm2m2的图象不经过原点，则实数m的值为________．a1α2a，x∈(0,1），α∈（0，1），则a，b，c的7．已知a＝x,b＝x,c＝x大小序次是________．α8．已知函数f（x)＝x(0〈α<1）,关于以下命题：①若x〉1,则f（x）〉1；②若0<x〈1,则0〈f（x）〈1;③当x〉0时，若f（x1）>f(x2)，则x1>x2;④若0<x1〈x2，则错误!<错误!.其中正确的命题序号是________．三、解答题(共38分)9．（12分）设（fx)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x〈1时，y＝f(x)的表达式是幂函数,且经过点（错误!，错误!）．求学必求其心得，业必贵于专精函数在[2k－1,2k＋1）(k∈Z）上的表达式．10．（12分）已知f(x）＝

1n22n3xx

(n＝2k,k∈Z)的图象在[0,＋∞)上单调递加，解不等式f(x2－x）>f(x＋3）．211．（14分）(2011·荆州模拟）已知函数f(x)＝xkk2(k∈Z）满足f（2)〈f(3）．(1）求k的值并求出相应的f（x）的剖析式；(2)关于(1）中获取的函数f（x）,试判断可否存在q>0，使函数g(x）1－qf（x）＋（2q－1)x在区间［－1，2］上的值域为［－4,错误!］？若存在，求出q；若不存在，请说明原由．答案自主梳理1．y＝xαxα2。(2）（0，＋∞）四(3）（0,0)，(1,1）增函数但是自我检测1．B[方法一由幂函数的图象与性质,n<0时但是原点，故C3，C4对应的n值均为负,C1，C2对应的n值均为正；由增（减）快慢知n(C1）〉n(C2)>n(C3)>n(C4)．故C1，C2，C3，C4的n值依次为2，错误!，－错误!,－2.方法二作直线x＝2分别交C1，C2,C3，C4于点A1，A2，A3，A4，1122，22则其对应点的纵坐注显然为，22,2－2，故n值分别为2，错误!，－错误!，－2。]2．D[第一个图象过点（0,0），与④对应；第二个图象为反比率学必求其心得，业必贵于专精k函数图象，表达式为y＝x，③y＝x－1恰好吻合,∴第二个图象对应③；第三个图象为指数函数图象,表达式为y＝ax,且a〉1，①y＝2x恰好吻合，∴第三个图象对应①；第四个图象为对数函数图象，表达式为y＝logax，且a>1,②y＝log2x恰好吻合，∴第四个图象对应②。∴四个函数图象与函数序号的对应序次为④③①②.]3．A4。C5。B课堂活动区α例1解(1)设f（x)＝x,α∵图象过点（错误!,2），故2＝（错误!)，解得α＝2,∴f（x）＝x2.β设g(x）＝x，∵图象过点（2,错误!），ββ∴＝2，解得错误!g(x）＝x－2。(2）在同一坐标系下作出f（x）＝x2与g（x)＝x－2的图象，以下列图．由图象可知，f（x），g（x)的图象均过点（－1，1)和（1，1）．∴①当x〉1，或x〈－1时,f（x)〉g（x）；②当x＝1，或x＝－1时，f（x）＝g(x);③当－1〈x〈1且x≠0时，f(x）<g（x）．变式迁移1解求f（x)，g（x)剖析式及作出f(x),g（x)的图象同例1,学必求其心得，业必贵于专精如例1图所示,则有:h(x）＝错误!依照图象可知函数h(x）的最大值为1，单调增区间为（－∞，－1)和(0，1);单调减区间为(－1，0)和（1，＋∞）．例2解题导引比较两个幂的大小要点是搞清楚是底数相同，还是指数相同,若底数相同，利用指数函数的性质；若指数相同,利用幂函数的性质；若底数、指数皆不一样样，考虑用中间值法，常用0和1“搭桥"进行分组．解（1)函数y＝3x是增函数，∴30。8>30。7.(2)函数y＝x3是增函数,∴0.213〈0.233.111（3)∵221.821.83,11∴221.83。2222(4)4.1515＝1；0<3.8313＝1；3322(1.9)5〈0,∴(1.9)53.834.15。变式迁移2（1)①<②<(2）m>0剖析依照幂函数y＝x1。3的图象，当0〈x<1时，0<y<1，∴0〈0。71。3<1。又依照幂函数y＝x0.7的图象，当x〉1时，y〉1,∴1.30。7>1。于是有0.71。3<1.30。7。关于幂函数y＝xm，由(0.71.3）m〈（1。30。7）m知，当x〉0时，随着x的增大,函数值也增大，∴m>0.例3解∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m〈3.又函数的图象关于y轴对称,学必求其心得，业必贵于专精∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数,∴m＝1.1而y＝x3在(－∞，0），（0，＋∞)上均为减函数，11(a1)3〈(32a)3等价于a＋1〉3－2a>0,或0〉a＋1〉3－2a,或a＋1〈0<3－2a，解得a<－1或错误!<a〈错误!.故a的范围为{a|a〈－1或错误!<a〈错误!}．变式迁移3解(1）m2＋m＝m（m＋1)，m∈N＊，而m与m＋1中必有一个为偶数,∴m(m＋1)为偶数．21∴函数f（x）＝x(mm)(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2）∵函数f（x)经过点(2,错误!)，12(m2m)1∴错误!＝2(m2m)1，即22.∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2。又∵m∈N＊，∴m＝1.由f(2－a）〉f(a－1）得错误!解得1≤a<错误!.a的取值范围为[1，错误!）．课后练习区1．C[由图象知，函数为偶函数，∴m为偶数，n为奇数．又函数图象在第一限内上凸，∴错误!〈1.]yαxαyα2．C[∵（＋)≠·，学必求其心得，业必贵于专精∴幂函数f（x)＝xα不拥有此性质．loga（x＋y)≠logax·logay，∴对数函数f(x）＝logax不拥有此性质．ax＋y＝ax·ay,∴指数函数f(x）＝ax拥有此性质．cos(x＋y）≠cosx·cosy，∴余弦函数y＝cosx不拥有此性质．]3．C[对A、B，由y＝x＋a知a〉1，可知A、B图象不正确；中由y＝x＋a知0〈a〈1，∴y＝logax应为减函数，D错．］24．A[∵y＝x5在x∈(0，＋∞）递加，∴

(3)52(2)5255,即a>c,∵y＝（错误!)x在x∈(－∞，＋∞)递减，∴

23(2)5(2)555,即c〉b，a>c〉b。］5．D6．1或2剖析由错误!解得m＝1或2.经检验m＝1或2都适合．7．c<a〈b剖析∵∈（0，1），∴错误!>>.αα错误!1αa，即c<a<b。a2又∵x∈（0,1),∴x〈x<x8．①②③剖析α作出y＝x(0〈α〈1）在第一象限内的图象,以下列图,可判断①②③正确,学必求其心得，业必贵于专精错误!0<x1<x2错误!>错误!91,1)fx)xn,错误!错误!34)

nx[2k1,2k1)f(x

x2k[11,2k)(x