高中数学第三章不等式33基本不等式331习题北师大版-8255

学必求其心得，业必贵于专精3。1基本不等式课后篇牢固研究组1。已知x,y∈R，以下不等关系正确的选项是（）A。22≥2B.22≤2x+y|xy|x+y|xy｜C.222｜D。222｜xy|x+y>|xyx+y<2222剖析:x+y=｜x|+｜y｜≥2｜x｜｜y|=2|xy|。答案:A2。若x〉0,y〉0,且，则必有（)A。2x=yB。x=2yC。x=yD.x=4y剖析:因为x〉0，y〉0，所以，即。又，所以必有,所以x=2y.答案:B3若是正数，，，d满足4,那么（).abca+b=cd=A.≤，且等号建马上,b，,d的取值唯一abc+dacB。ab≥c+d，且等号建马上a，b,c,d的取值唯一C。ab≤c+d，且等号建马上a，b，c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等号建马上a,b，c,d的取值不唯一剖析：因为a+b=cd=4，a+b≥2,所以≤2，所以ab≤4，当且仅当a=b=2时,等号成立。又cd≤,所以≥4,所以≥4，当且仅当2时，等号成立所以≤,c+dc=d=。abc+d当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立，应选A.答案:A4。已知0<a〈b,且a+b=1，则以下不等式中，正确的选项是(）A。log2a〉0B.2a-b〈C。D。log2a+log2b<-2-1-学必求其心得，业必贵于专精剖析:因为0〈a〈b，且a+b=1,所以ab<，所以log2a+log2b=log2（ab）<log2=—2.答案:D5。若a〉0,b〉0，则的大小关系是。剖析:因为,所以,当且仅当a=b>0时,等号成立.答案：6.设a〉0，b>0,给出以下不等式：(1）≥4;(2）(a+b）≥4;(3）a2+9>6a；(4）a2+1+〉2.其中正确的选项是。剖析:因为a+≥2=2,b+≥2=2，所以≥4,当且仅当a=1,b=1时,等号成立，所以(1）正确；因为（a+b)=1+1+≥2+2·=4,当且仅当a=b>0时，等号成立,所以(2)正确;因为a2+9≥2=6a，当且仅当a=3时，等号成立,所以当a=3时,a2+9=6a,所以（3)不正确；-2-学必求其心得，业必贵于专精因为a2+1+≥2=2，当且仅当21,即0时，等号成立,又a〉0，所以等号不成立,所以（4）正确.a+=a=答案：（1)（2）(4）7。若a,b为正实数，a≠b,x,y∈（0，+∞）,则，当且仅当时取等号，利用以上结论，函数f(x）=获取最小值时，x的值为.剖析:由题意可知f(x)=，当且仅当时,等号成立,解得x=.答案:228。若实数x,y满足x+y+xy=1，求x+y的最大值.222解由x+y+xy=1可得（x+y）=xy+1,又xy≤，所以（x+y)2≤+1，整理得(x+y)2≤1,当且仅当x=y时取等号。所以x+y∈.所以x+y的最大值为.9导学号33194061已知a〉0，0，1，求证：≤2.b>a+b=。证明因为,当且仅当a=时取等号,同理,当且仅当b=时取等号。-3-学必求其心得，业必贵于专精所以（a+b）==2，当且仅当a=b=时取等号。所以≤2.组1已知0,n〉0，α=m+,β=n+,,的等差中项为1,则α+β的最小值为()。m>mnA。3B。4C.5D。6剖析:由已知得,m+n=2，所以α+β=m++n+=（m+n)+=2+。因为m>0，n>0,所以mn≤=1.所以α+β≥2+=4。当且仅当m=n=1时，等号成立.所以α+β的最小值为4。答案：B2.给出以下四个命题：①若a<b，则a2〈b2;②若a≥b>-1,则;③若正整数m和n满足，则；④若x〉0，且x≠1，则lnx+≥2，其中真命题的序号是（）m〈nA。①②B。②③C.①④D。②④剖析：当a=-2，b=1时，a<b,但a2〉b2，故①不成立;对于②，，因为a≥b>—1,所以≥0,故②正确；对于③，(m<n，且m,n为正整数）,当且仅当m=n-m，即m=时,等号成立,故③正确；对于④,当0<x〈1时,lnx<0,故④不成立。应选B。答案:B3。在算式4×□+△=30的□、△中,分别填入一个正整数使算式成立，并使填入的正整数的-4-学必求其心得，业必贵于专精倒数之和最小，则这两个正整数构成的数对（□，△)应为()A。（4，14)B.（6,6）C。(3，18)D.（5，10)剖析:可设□中的正整数为x，△中的正整数为y,则由已知可得4x+y=30.因为，当且仅当,即y=2x时，等号成立,又4x+y=30,所以x=5,y=10，应选D.答案:D4。当x>3时,x+≥a恒成立,则a的最大值为.剖析：因为x〉3，所以x+=x—3++3≥2+3=5.当且仅当x-3=,即x=4时，等号成立.所以由题意可知a≤5.答案:55若a〉1,0<b〈1，则logloga的取值范围是.ab剖析：因为a〉1,0〈b〈1，所以log0，log0，ab所以-(logab+loga)=（-logb）+(—loga)≥2，bab当且仅当—logb=-logba,即a〉1,0<b<1,ab=1时，等号成立。所以logb+loga≤—2.aab答案：(—∞，-2］6。已知a,b，c为不全相等的正数,求证：>3.证明=-3=-3.因为a〉0，b〉0，c>0,所以≥2，≥2,≥2。-5-学必求其心得，业必贵于专精又a，b，c不全相等,所以>6。所以—3〉6-3=3。故原不等式成立.7。导学号33194062已知a〉b>c,且恒成立。求n的最大值.解因为，a〉b〉c,所以(a—c）≥n。又（a—c）=（a-b+b-c)=2+≥2+2=4.当且仅当a—b=b—c，即a+c=2b时,等号成立。由恒