正弦定理及余弦定理应用举例解析

正弦定理及余弦定理应用举例分析版.正弦定理及余弦定理应用举例分析版.PAGE14正弦定理及余弦定理应用举例分析版.正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常有题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实责问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等；(3)方向角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方向角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．【助学·微博】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实质背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．重视观察从实责问题中提炼数学问题的能力．(2)依照题意画出表示图，将实责问题抽象成解三角形问题的模型．(3)依照题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实责问题，注意实责问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．解三角形应用题常有以下两种状况(1)实责问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实责问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，尔后渐渐求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．考点自测1．(2012·苏金陵中学江)已知△ABC的一个内角为120°，而且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________．分析记三角形三边长为a－4，a，a＋4，则(a＋4)2＝(a－4)2＋a2－2a(a－4)cos1120°，解得a＝10，故S＝2×10×6×sin120＝°153.答案1532．若海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．分析由正弦定理，知BC＝AB6(海里)．sin60°.解得BC＝5sin180°－60°－75°答案563．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/时．分析由正弦定理，得MN＝68sin120°6(海里)，船的航行速度为346＝344＝sin45°176(海里/时)．答案17624．在△ABC中，若23absinC＝a2＋b2＋c2，则△ABC的形状是________．分析由23absinC＝a2＋b2＋c2，a2＋b2－c2＝2abcosC相加，得a2＋b2＝π2absinC＋6.又a2＋b2≥2ab，因此sinC＋πππ是6≥1，从而sinC＋6＝1，且a＝b，C＝时等号建立，因此△ABC3等边三角形．答案等边三角形ba5．(2010·苏卷江)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＋btanCtanC6cosC，则tanA＋tanB的值是________．分析利用正、余弦定理将角化为边来运算，由于b＋a＝6cosC，由余弦定理aba2＋b2a2＋b2－c22232tanCtanCsinCcosAcosB得ab＝6·2ab，即a＋b＝2c.而tanA＋tanB＝cosCsinA＋sinB＝sinCsinC＝2c22＝22c22＝2c2·223＝4.cosCsinAsinBa＋b－ca＋b－c22ab·2ab2c－c答案4考向一测量距离问题【例1】以下列图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝km.(1)求证：AB＝BD；(2)求

BD.(1)证明在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，因此

CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，因此BD＝BA.ABAC(2)解在△ABC中，sin∠BCA＝sin∠ABC，ACsin6032＋6即AB＝(km)，sin15＝20°因此，BD＝32＋6(km)2032＋6km.故B、D的距离约为20[方法总结](1)利用表示图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型．(2)利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解．(3)应用题要注意作答．【训练1】隔河看两目标A与B，但不能够到达，在岸边先采纳相距3千米的C，D两点，同时测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．解如题图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝3(千米)．在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理，可得BC＝3sin75°6＋2sin60＝2(千米)．°在△ABC中，由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA，即AB2＝(3)2＋6＋22－23·6＋2＝°，22cos755∴AB＝5(千米)．因此两目标A，B间的距离为5千米．考向二测量高度问题【例2】(2010·江苏)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)以下列图，垂直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tanα＝，tanβ＝，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为合适调整标杆到电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，能够提高测量精度．若电视塔的实质高度为125m，试问d为多少时，α－β最大？解(1)由AB＝H，BD＝h，AD＝H及AB＋BD＝AD得H＋h＝tanαtanβtanβtanαtanβH解得H＝htanα＝4×＝124.tanβtanα－tanβ－因此，算出的电视塔的高度H是124m.H(2)由题设知d＝AB，得tanα＝d.由AB＝AD－BD＝H－h，得tanβ＝H－h，tanβtanβdtanα－tanβh≤h，因此tan(α－β)＝＝HH－hHH－h1＋tanαtanβd＋2d当且仅当d＝HH－h，即d＝HH－h＝125×125－4＝555时，上式取dππ等号．因此当d＝555时，tan(α－β)最大．由于0<β<α<2，则0<α－β<2，所以当d＝555时，α－β最大．故所求的d是555m.[方法总结](1)测量高度时，要正确理解仰、俯角的看法．(2)分清已知和待求，分析(画出)表示图，明确在哪个三角形应用正、余弦定理．(3)注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形．【训练2】以下列图，测量河对岸的塔高AB时，能够选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.解在△BCD中，∠CBD＝π－α－β，BCCD由正弦定理得sin∠BDC＝sin∠CBD，CDsin∠BDCs·sinβ因此BC＝sin∠CBD＝sinα＋βstanθsinβ在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝sinα＋β.考向三运用正、余弦定理解决航海应用问题【例3】我国海军在东海举行大规模演习．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1)km的B处有一艘“敌舰”．在A处北偏西75°的方向，距离A2km的C处的“大连号”驱逐舰授命以103km/h的速度追截“敌舰”．此时，“敌舰”正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向逃跑，问“大连号”沿什么方向能最快追上“敌舰”？解设“大连号”用th在D处追上“敌舰”，则有CD＝103t，BD＝10t，如图在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120＝°6∴BC＝6，且sin∠ABC＝AC·∠BAC＝2·3＝2BCsin622.∴∠ABC＝45°，∴BC与正北方向垂直．∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BD·sin∠CBD＝10tsin120°CD＝1，103t2∴∠BCD＝30°.即“大连号”沿东偏北30°方向能最快追上“敌舰”．[方法总结]用解三角形知识解决实责问题的步骤：第一步：将实责问题转变成解三角形问题；第二步：将有关条件和求解的结论概括到某一个或两个三角形中．第三步：用正弦定理和余弦定理解这个三角形．第四步：将所得结果转变成实责问题的结果．【训练3】(2013·广州二测)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，恰好用2小时追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120＝°784.BC解得BC＝28(海里)．因此渔船甲的速度为2＝14海里/时．(2)在△ABC中，由于AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，BC＝28(海里)，∠BCA＝α，由正弦定理，得AB＝BCsinαsin120.°ABsin12012×333即sinα＝°2BC＝28＝14.高考经典题组训练1．(四川卷改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin∠CED＝________.分析在Rt△EAD和Rt△EBC中，易知ED＝2，EC＝5，在△DEC中，由余弦定理得cos∠CED＝ED2＋EC2－CD2＝2＋－3102ED·EC51＝2×2×510.∴sin∠CED1010.答案10102．(2011新·课标卷)在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．分析由正弦定理知AB＝3＝BC，sinCsin60°sinA∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120－°C)＝2(sinC＋2sin120cos°C－2cos120sin°C)＝2(sinC＋3cosC＋sinC)＝2(2sinC＋3cosC)＝27sin(C＋α)，其中

tanα＝

32，α是第一象限角．由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值27.答案273．(湖北卷改编)若△ABC的三边长为连续三个正整数，且

A>B>C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC＝________.分析由A>B>C，得a>b>c.设a＝c＋2，b＝c＋1，则由3b＝20acosA，得3(cc＋12＋c2－c＋222＝＋＋－，解＋1)＝20(c＋2)·，即3(c＋1)10(c2)(c3)2c＋1cc1)(c得c＝4，因此a＝6，b＝5.答案6∶5∶44.(2·陕西卷)如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个察看点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船马上前往救援，其航行速度为30海里/时，该救援船达到D点需要多长时间？解由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，因此∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，DBAB在△ADB中，由正弦定理得sin∠DAB＝sin∠ADB，因此DB＝AB·sin∠DAB＝53＋3·sin45°sin∠ADBsin105°53＋3·sin45°＝103(海里)，＝＋°cos45sin°sin45cos°6060°又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC1＝300＋1200－2×103×203×2＝900，30因此CD＝30(海里)，则需要的时间t＝30＝1(小时)．因此救援船到达D点需要1小时．（江苏省

2013

届高三高考压轴数学试题

）在△ABC中,角

A,B,C所对的边分别为

a,b,c,已知a=5,b=4,cos(

A-B)=

31.32(Ⅰ)(Ⅱ)

求求

sinB的值;cosC的值.分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每题5分，共30分)1．若渡轮以15km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h，则渡轮实质航行的速度为(精确到km/h)________．答案km/h2．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.分析如图，OM＝AOtan45＝°30(m)，3ON＝AOtan30＝°3×30＝103(m)，由余弦定理得，3MN＝900＋300－2×30×103×2300＝103(m)．答案1033．某人向正东方向走xkm后，他向右转150°，尔后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值为________．分析如图，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝32＋x2－××，°即x2－33x＋6＝0，解得x1＝3，23xcos30x2＝23，经检测均合题意．答案3或234.以下列图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC105°，∠ADC＝60°，则AB的长为________．分析在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，∠ADC＝60°，因此AC＝a.①在△BCD中，由正弦定理可得BC＝asin105°3＋1sin45＝2a.②°在△ABC中，已经求得AC和BC，又由于∠ACB＝30°，因此利用余弦定理能够求得A，B两点之间的距离为222AB＝AC＋BC－2AC·BC·cos30°＝2a.答案22a15．(2010·新课标全国卷)在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝2CD，∠ADB＝120°，AD＝2，若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝________.分析由A作垂线AH⊥BC于H.1133，因此DC＝2(3－1)，由于S△ADC＝DA·DC·sin60＝°×2×DC·＝3－222又由于AH⊥BC，∠ADH＝60°，因此DH＝ADcos60°＝1，∴HC＝2(3－1)－DH＝23－3.又BD＝1，∴＝－，∴＝＋＝又2CDBD31BHBDDH3.AH＝AD·sin60＝°3，因此在Rt△ABH中AH＝BH，∴∠BAH＝45°.HC23－3又在Rt△AHC中tan∠HAC＝AH＝3＝2－3，因此∠HAC＝15°.又∠BAC＝∠BAH＋∠CAH＝60°，故所求角为60°.答案60°6.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到地址D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．分析在△BCD中，CD＝10(米)，∠BDC＝45°，∠＝°＋°＝°，∠＝°，BC＝CD，BC＝CDsin45°BCDDBC＝102159010530sin45°sin30°sin30°AB(米)．在Rt△ABC中，tan60＝°BC，AB＝BCtan60＝°106(米)．答案106二、解答题(每题15分，共30分)7．(2011·常州七校联考)如图，在半径为3、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N、M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，(1)按以下要求写出函数的关系式：①设PN＝x，将y表示成x的函数关系式；②设∠POB＝θ，将y表示成θ的函数关系式；(2)请你采纳(1)中的一个函数关系式，求出y的最大值．2223解(1)①∵ON＝OP－PN＝3－x，OM＝3x，3∴MN＝3－x－3x，33∴y＝x3－x2－3x，x∈0，2.3②∵PN＝3