解析几何在实际中的应用

关于解析几何在实际中的应用第1页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六

解析几何既是应用数学专业的一门基础课，又在其他科学技术中有着直接的应用。例如，大部分机械零件的外形都是平面、柱面、椎面、球面等等曲面之一，或是它们的某种组合。这里不打算详细介绍解析几何在实际中的应用，因为那要涉及其他科技方面的知识。这里仅举几个简单的例子。第2页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六一、多面体零件的计算一多面体零件如图所示，在制造时，需要求出二面角、、和的角度和，以便制造测量样板，试求角和的值。第3页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六

解可以应用前面学过的知识解此问题。为此，先如上图所示，取坐标原点为C，建立直角坐标系Oxyz。各点的坐标已知为其次，求出诸平面的方程。我们知道，过点的平面方程为于是过点的平面方程为第4页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六将点D、点A的坐标代入上式，有解此方程，得于是求得平面DAE的方程为类似的可求得平面BAE的方程为及平面FBE的方程为第5页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六平面CBF的方程为平面GEF的方程为最后，由平面夹角的余弦公式可求得平面DAE和BAE的交角的余弦第6页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六故平面ABE和FBE的夹角的余弦为故平面EBF和CBF的夹角的余弦为第7页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六故平面GEF和BEF的夹角的余弦为故二、板金零件的展开图图二是我们通常见到的二通管道变形接头或炉筒拐脖的示意图。制造这类零件，先按照第8页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六第9页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六零件展开图的度量尺寸（展平曲线）在薄板（铁皮或铝板等）上下料，然后弯曲成型，并将各部分焊接在一起。为了获得零件展开图的展平曲线，必须求出截交线的方程。设圆柱管道的方程为

截平面的方程为第10页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六为求截平面与管道的截交线方程，将管道的方程改写成参数形式将其代入截平面方程中，得第11页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六圆柱的底圆展平时有，即，这里是弧长。将代入上式，有

上式即是截交线（截平面与圆柱管道的交线）的展平曲线方程。如果截平面是正垂面（平y轴）：，则截交线的展平曲线方程成为第12页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六即这是一条调整过振幅的余弦曲线。第13页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六三、火力发电厂的供水塔火力发电厂的供水塔（冷却塔）的横截面曲线均为圆，其半径R与塔高H的关系（见图4）为度量单位为m。令冷却塔的中心轴为z轴，z轴与地面的交点为原点，在地面上选一个方向y轴，则有第14页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六

冷却塔半径R与塔高H的关系式可以改写为

冷却塔的外形曲面的方程可以表示为

即这正是旋转单叶双曲面。

第15页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六四、交叉管道的距离在工程中有时要将两条交叉管道连通，需求出连接管的最短长度和连接位置，这在几何上归结为求两条交叉空间（异面）直线的距离。两条异面直线的距离为这两条直线的公垂线的长度。设两交叉管道AB与CD所在直线方程依次为第16页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六试求直线AB与CD的距离。先过直线CD作平行于直线AB的平面，则其方程为第17页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六将上式左端的三阶行列式按第1行展开，得因为直线AB平行于平面，故直线AB上任意一点到平面的距离即是两直线AB与CD的公垂线的长度。第18页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六因此，直线AB上的点到平面的距离为这就是直线AB与CD之间的距离。第19页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六五、直纹曲面的应用实例（一）飞机机翼的外形曲面我们来看飞机机翼的外形曲面，下图表示两个平行横截面之间的机翼外形。横截面的边界是两条参数闭曲线，其方程为

第20页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六作参数变换和，这样有和对于同一参数，在两横截面的边界线分别对应两点。这两点的直线向量式参数方程为

其中为参数。当从时，上直线就连续地描出一张直纹曲面，此直纹曲面的方程可以写为其中为曲面的参数。第21页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六（二）、飞机机翼的整流面某型号飞机的机翼为直纹面，机翼表面上的信号灯（或称航向灯）突出部分的曲面称为整流面，是由两族不同方向的直母线相交织构成的曲面。整流面上四个不重合的点，可以确定整流面上的一小片曲面的方程。设四个点对应的向径分别表示为。第22页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六这块整流曲面片的边界线均为直线，四条直线的方程可以表示为由直线和直线确定的直纹曲面可以表示为第23页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六由直线和确定的直纹曲面可以表示为第24页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六显然两直纹曲面和在四个角点处的函数值相等。因此这块整流曲面的方程可以表示为第25页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六六、生产规划问题某厂生产A和B两种产品，生产A一吨要用煤9t，电力4kW，劳动力3个（以工作日计算）；生产B一吨要用煤4t，电力5kW，劳动力10个。已知生产A一吨的经济价值为7千元；生产B一吨的经济价值为1万2千元。现在该厂有煤360t，电力200kW，劳动力300个。问应该生产A和B各多少t，才使所创造的经济价值最大？第26页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六设生产A和B两种产品各为和，则问题立即转化为如下数学问题。在限制条件：之下，使所创造的经济价值（以千元为单位）达最大，即第27页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六此问题可用图解法解：第28页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六第29页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六阴影部分为可行域由图五可以看出S的最大值在点处取得，最大值为428。七、平面图形的变换在目前已广泛应用的计算机绘图中，常要对图形进行各种变换。图形变换不同于坐标变换，坐标变换是图形不变，坐标系改变，而图形变换是坐标系不变，图形改变，图形变换的基本问题是建立图形上的第30页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六点与变换前和变换后其坐标之间的关系式。为简明起见，这里仍以矩阵为工具，并且只在直角坐标系中讨论。

1、基本变换图形的缩放、对称、错移、旋转、平移等变换称为基本变换。平面上的点的坐标可以用行矩阵表示。设是变换前图形上点的坐标第31页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六

是变换后图形上的坐标。除平移外，上述几种基本变换都可由下式实现，即或其中方阵称为变换矩阵。第32页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六给T的四个元素以不同的值，将得到不同的基本变换。下面分别讨论之。（1）缩放变换缩放变换即是将图形沿坐标轴方向缩小或放大。在T中令，得变换矩阵

称为缩放变换矩阵。这时，变换前后图形上的点的坐标变换公式为第33页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六

即其中为缩放因子。若，则图形沿方向和方向按同一比例缩小或放大。且当时，图形缩小；当时图形放大。当时，图形不变，这种变换称为恒等变换。第34页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六若，则图形沿方向按不同比例变化，即产生畸变。例1：对单位圆分别作下列缩放变换：1)缩小一半；2)放大一倍；3)沿方向放大一倍，沿方向缩小一半。试求变换矩阵及变换后图形的方程。解1)把图形缩小一半的变换矩阵为第35页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六坐标变换公式为或变换后图形的方程为即

2)把图形放大一倍的变换矩阵为

第36页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六坐标变换公式为或变换后图形的方程为即

3)把图形沿方向放大一倍，沿方向缩小一半的变换矩阵为第37页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六坐标变换公式为，或变换后图形的方程为即这是长半轴为2，短半轴为，中心位于原点，且以坐标轴为对称轴的椭圆。第38页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六在T中令可得关于轴对称的变换矩阵图形变换前后点的坐标变换公式为即

2)关于轴的对称变换在这种情况下，变换矩阵为第39页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六图形变换前后点的坐标公式为即（3）错移变换错移变换分沿方向和沿方向错移两种情况。

1)沿方向错移沿方向错移变换，是指变换后图形上的点的坐标保持不变，坐标依赖初始坐标第40页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六

线性地变化。变换矩阵为图形上变换前后的点的坐标变换公式为即

从几何上看，平行于轴的直线变换后仍平行于轴，平行于轴的直线变换后沿方向错移与轴成角的直线，的点为不动点，的点沿方向错移了的距离，见图六第41页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六第42页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六2）沿y轴方向错移沿y方向的错移变换，是指变换后图形上的点的x坐标保持不变，y坐标依赖于初始坐标线性地变化。变换矩阵为图形上变换前后的点的坐标变换公式为即第43页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六从几何上看，与沿x方向错移的情况类同，见图七。

第44页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六

例2将单位圆沿x方向错移的距离，写出单位圆错移后的图形的方程。解沿x方向错移的距离，图形上的点的坐标之间的关系之间的关系式为或将上式代入单位圆方程中，得错移后图形的方称为第45页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六

即这是一个椭圆，其图形如图八所示。第46页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六第47页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六

（4）旋转变换旋转变换是指图形绕坐标原点旋转角，且规定逆时针方向的转角取正值，瞬时针方向的转角取负值。旋转变换的矩阵为图形变换前后点的坐标变换公式为第48页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六图形变换前后点的坐标变换公式为即由前面的讨论可见，上述四种图形变换的都可以用一个方阵来实现。（5）平移变换平移变换是值将图形平行移动。这种变换无法用二阶方阵来实现。事实上，设图形沿方向平移个单位长度，沿方向平移个单位长度，第49页，共54页，2022年，5月20日，6点4分，星期六则平移前后点的坐标之间的关系式应为

显然，上式右端无法表示成行矩阵与一个二阶方阵的乘积。为了能用矩阵表示图形的平移变换，下面引进齐次坐标概念。

1)平面齐次坐标设是平面直角坐标系中任一点的坐标，现