高等数学(侯风波)第11章课件

第一节二重积分的概念与计算

第二节二重积分应用举例*第三节三重积分的概念与计算*第四节对坐标的曲线积分

*第五节格林（Green）公式及其应用

*第六节对坐标的曲面积分及其应用

第十一章多元函数积分学

第一节二重积分的概念与计算第二节二重积分应用举1一、二重积分的概念与性质二、在直角坐标系中计算二重积分

三、在极坐标系中计算二重积分第一节二重积分的概念与计算

一、二重积分的概念与性质二、在直角坐标系中计算二重积分三、2第一节二重积分的概念与计算

曲边梯形面积计算回顾一、二重积分的概念与性质第一节二重积分的概念与计算曲边梯形面积计算回顾一、二3高等数学(侯风波)第11章课件4曲顶柱体的体积

曲顶柱体的体积52．二重积分的概念2．二重积分的概念63．二重积分的性质3．二重积分的性质7二、在直角坐标系中计算二重积分

二、在直角坐标系中计算二重积分

8高等数学(侯风波)第11章课件9上式也可简记为上式也可简记为10②②11化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：（1）累次积分的下限必须小于上限;

化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：（1）累次积分的下限12高等数学(侯风波)第11章课件13高等数学(侯风波)第11章课件14

(a)

(b)(a)(b)151.极坐标系下的面积元素三、在坐标系中计算二重积分

1.极坐标系下的面积元素三、在坐标系中计算二重积分

16(a)

2.极坐标系下化二重积分为累次积分

(b)

(a)2.极坐标系下化二重积分为累次积分(b)17高等数学(侯风波)第11章课件18高等数学(侯风波)第11章课件19高等数学(侯风波)第11章课件20高等数学(侯风波)第11章课件21高等数学(侯风波)第11章课件22思考题思考题23一、平面薄板的质量二、平面薄板的重心三、平面薄板的转动惯量第二节二重积分应用举例

一、平面薄板的质量二、平面薄板的重心三、平面薄板的转动惯量第24第二节二重积分应用举例一、平面薄板的质量第二节二重积分应用举例一、平面薄板的质量25二、平面薄板的重心二、平面薄板的重心26高等数学(侯风波)第11章课件27高等数学(侯风波)第11章课件28三、平面薄板的转动惯量三、平面薄板的转动惯量29一、三重积分的概念二、在直角坐标系中计算三重积分三、在柱面坐标系中计算三重积分

四、在球面坐标系中计算三重积分

*第三节三重积分的概念与计算一、三重积分的概念二、在直角坐标系中计算三重积分三、在柱面坐30*第三节三重积分的概念与计算

*第三节三重积分的概念与计算

31二、在直角坐标系中计算三重积分

一、三重积分的概念

二、在直角坐标系中计算三重积分一、三重积分的概念

322.三重积分的计算

2.三重积分的计算33高等数学(侯风波)第11章课件34高等数学(侯风波)第11章课件35三、在柱面坐标系中计算三重积分

三、在柱面坐标系中计算三重积分

36(a)(a)37高等数学(侯风波)第11章课件38高等数学(侯风波)第11章课件39四、在球面坐标系中计算三重积分

四、在球面坐标系中计算三重积分

40高等数学(侯风波)第11章课件41高等数学(侯风波)第11章课件42高等数学(侯风波)第11章课件43思考题

1.试述计算三重积分的步骤.思考题1.试述计算三重积分的步骤.44*第四节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念及性质二、对坐标的曲线积分的计算*第四节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念及性质45*第四节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念及性质

*第四节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念及性质462.对坐标的曲线积分的概念

2.对坐标的曲线积分的概念473.性质

3.性质48二、对坐标的曲线积分的计算

二、对坐标的曲线积分的计算

49高等数学(侯风波)第11章课件50高等数学(侯风波)第11章课件51高等数学(侯风波)第11章课件52高等数学(侯风波)第11章课件53高等数学(侯风波)第11章课件54高等数学(侯风波)第11章课件55高等数学(侯风波)第11章课件56思考题

思考题57*第五节格林（Green）公式及其应用一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件*第五节格林（Green）公式及其应用一、格林公式二、平58

区域D的边界曲线L的正方向：当观察者沿L的某个方向行走时,区域D总在其左侧,则该方向即为L的正向.*第五节格林（Green）公式及其应用

一、格林公式区域D的边界曲线L的正方向：当观察者沿L的某个*第五59高等数学(侯风波)第11章课件60高等数学(侯风波)第11章课件61二、平面上曲线积分与路径无关的条件

二、平面上曲线积分与路径无关的条件

62高等数学(侯风波)第11章课件63高等数学(侯风波)第11章课件64高等数学(侯风波)第11章课件65高等数学(侯风波)第11章课件66思考题思考题67*第六节对坐标的曲面积分及其应用一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算三、高斯(Gauss)公式*第六节对坐标的曲面积分及其应用一、对坐标的曲面积分的概68一、对坐标的曲面积分的概念与性质

*第六节对坐标的曲面积分及其应用一、对坐标的曲面积分的概念与性质

*第六节对坐标的曲面69高等数学(侯风波)第11章课件70高等数学(侯风波)第11章课件712.对坐标的曲面积分的概念

2.对坐标的曲面积分的概念72高等数学(侯风波)第11章课件73二、对坐标的曲面积分的计算

二、对坐标的曲面积分的计算

74高等数学(侯风波)第11章课件75高等数学(侯风波)第11章课件76三、高斯(Gauss)公式三、高斯(Gauss)公式77高等数学(侯风波)第11章课件78高等数学(侯风波)第11章课件79高等数学(侯风波)第11章课件80思考题

思考题81

第一节二重积分的概念与计算

第二节二重积分应用举例*第三节三重积分的概念与计算*第四节对坐标的曲线积分

*第五节格林（Green）公式及其应用

*第六节对坐标的曲面积分及其应用

第十一章多元函数积分学

第一节二重积分的概念与计算第二节二重积分应用举82一、二重积分的概念与性质二、在直角坐标系中计算二重积分

三、在极坐标系中计算二重积分第一节二重积分的概念与计算

一、二重积分的概念与性质二、在直角坐标系中计算二重积分三、83第一节二重积分的概念与计算

曲边梯形面积计算回顾一、二重积分的概念与性质第一节二重积分的概念与计算曲边梯形面积计算回顾一、二84高等数学(侯风波)第11章课件85曲顶柱体的体积

曲顶柱体的体积862．二重积分的概念2．二重积分的概念873．二重积分的性质3．二重积分的性质88二、在直角坐标系中计算二重积分

二、在直角坐标系中计算二重积分

89高等数学(侯风波)第11章课件90上式也可简记为上式也可简记为91②②92化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：（1）累次积分的下限必须小于上限;

化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：（1）累次积分的下限93高等数学(侯风波)第11章课件94高等数学(侯风波)第11章课件95

(a)

(b)(a)(b)961.极坐标系下的面积元素三、在坐标系中计算二重积分

1.极坐标系下的面积元素三、在坐标系中计算二重积分

97(a)

2.极坐标系下化二重积分为累次积分

(b)

(a)2.极坐标系下化二重积分为累次积分(b)98高等数学(侯风波)第11章课件99高等数学(侯风波)第11章课件100高等数学(侯风波)第11章课件101高等数学(侯风波)第11章课件102高等数学(侯风波)第11章课件103思考题思考题104一、平面薄板的质量二、平面薄板的重心三、平面薄板的转动惯量第二节二重积分应用举例

一、平面薄板的质量二、平面薄板的重心三、平面薄板的转动惯量第105第二节二重积分应用举例一、平面薄板的质量第二节二重积分应用举例一、平面薄板的质量106二、平面薄板的重心二、平面薄板的重心107高等数学(侯风波)第11章课件108高等数学(侯风波)第11章课件109三、平面薄板的转动惯量三、平面薄板的转动惯量110一、三重积分的概念二、在直角坐标系中计算三重积分三、在柱面坐标系中计算三重积分

四、在球面坐标系中计算三重积分

*第三节三重积分的概念与计算一、三重积分的概念二、在直角坐标系中计算三重积分三、在柱面坐111*第三节三重积分的概念与计算

*第三节三重积分的概念与计算

112二、在直角坐标系中计算三重积分

一、三重积分的概念

二、在直角坐标系中计算三重积分一、三重积分的概念

1132.三重积分的计算

2.三重积分的计算114高等数学(侯风波)第11章课件115高等数学(侯风波)第11章课件116三、在柱面坐标系中计算三重积分

三、在柱面坐标系中计算三重积分

117(a)(a)118高等数学(侯风波)第11章课件119高等数学(侯风波)第11章课件120四、在球面坐标系中计算三重积分

四、在球面坐标系中计算三重积分

121高等数学(侯风波)第11章课件122高等数学(侯风波)第11章课件123高等数学(侯风波)第11章课件124思考题

1.试述计算三重积分的步骤.思考题1.试述计算三重积分的步骤.125*第四节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念及性质二、对坐标的曲线积分的计算*第四节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念及性质126*第四节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念及性质

*第四节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念及性质1272.对坐标的曲线积分的概念

2.对坐标的曲线积分的概念1283.性质

3.性质129二、对坐标的曲线积分的计算

二、对坐标的曲线积分的计算

130高等数学(侯风波)第11章课件131高等数学(侯风波)第11章课件132高等数学(侯风波)第11章课件133高等数学(侯风波)第11章课件134高等数学(侯风波)第11章课件135高等数学(侯风波)第11章课件136高等数学(侯风波)第11章课件137思考题

思考题138*第五节格林（Green）公式及其应用一、格林公式二、平面上曲线积分与路径无关的条件*第五节格林（Green）公式及其应用一、格林公式二、平139

区域D的边界曲线L的正方向：当观察者沿L的某个方向行走时,区域D总在其左侧,则该方向即为L的正向.*第五节格林（Green）公式及其应用

一、格林公式区域D的边界曲线L的正方向：当观察者沿L的某个*第五140高等数学(侯风波)第11章课件141高等数学(侯风波)第11章课件142二、平面上曲线积分与路径无关的条件

二、平面上曲线积分与路径无关的条件

143高等数学(侯风波)第11章课件144高等数学(侯风波)第11章课件145高等数学(侯风波)第11章课件146高等数学(侯风波)第11章课件147思考题思考题148*第六节对坐标的曲面积分及其应用一、对坐标的曲面积分的概念与性质二、对坐标的曲面积分的计算三、高斯(Gauss)公式*第六节对坐标的曲面积分及其应用一、对坐标的曲面积分的概149一、对坐标的曲面积分的概念与性质

*第六节对坐标的曲面积分及其应用一、对坐标的曲面积分的概念与性质

*第六节对坐标的曲面15