连云港市2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案

连云港市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题（木卷满分150分，共6页，考试时间100分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（）A. B.C. D.2.下列属于随机事件的是（）A.抛一枚股子两次出现点数之和为13 B.抛一枚硬币，正好反面朝上C.从一副扑克牌中任抽2张都是红心5 D.从装满红球的口袋随意摸一个球是红球3.一组数据40，37，x，64的平均数是53，则x的值是（）A.67 B.69 C.71 D.724.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.5.如图，四边形ADBC内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB等于（）A.131° B.119° C.122° D.58°6.把抛物线向右平移1个单位所得新抛物线的函数表达式是（）A. B. C. D.7.如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是（）

A.R＝2r； B.； C.R＝3r； D.R＝4r．8.如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若为函数图象上的两点，则．其中正确结论是（）A.②④ B.①② C.①②④ D.①②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.已知一组数据：4、－1、5、9、7，则这组数据的极差是___________10.任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数大于4的概率为____．11.已知函数二次函数，则_____．12.如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形外接圆的半径等于________．13.一个扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为_______cm214.已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…01234…y…1052125…，两点都在该函数的图象上，若，则m的值为________．15.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株．设每盆多植x株，则可以列出的方程是____________．16.如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为________．三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.解下列方程：（1）（2）18.若关于x的方程有两个相等的实数根（1）求b的值；（2）当b取正数时，求此时方程根，19.某校九年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀，下表是甲班和乙班各5名学生的比赛数据（单位：个）：1号2号3号4号5号总数甲班891009611897500乙班1009511091104500经统计发现两班总数相等．此时有学生建议，可通过考察数据中的其他信息作为参考．请你回答下列问题：（1）甲班的优秀率为40%，乙班的优秀率为________；甲班5名学生比赛成绩的中位数是_________个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个；（2）求两班比赛数据的方差；（3）根据以上几条信息，你认为应该把冠军奖杯发给哪一个班级？简述你的理由．20.防疫期间，我县所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C、D四个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．（1）小明从A测温通道通过的概率是________；（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．21.某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．（1）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？（2）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．22.实践：如图△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.（保留作图痕迹，不写作法）（1）作∠BAC的平分线，交BC于点O.（2）以O为圆心，OC为半径作圆.综合运用：在你所作的图中，（1）AB与⊙O的位置关系是_____.（直接写出答案）（2）若AC=5，BC=12，求⊙O半径.23.一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系.(1)求抛物线的表达式；(2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么?24.已知二次函数(a为常数)（1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式．（2）若a0，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．（3）若二次函数在时有最大值3，求a的值．25.已知：如图，是的直径，交于点D，点E是的中点，与的延长线交于点F．（1）求证：是的切线；（2）若，求外接圆的半径．26如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值；（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上；②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，据此判断即可．【详解】解：A．∵a＝＞0，∴y＝x2的图象开口向上，故本选项符合题意；B．∵a＝﹣1＜0，∴y＝﹣x2+2x+1的图象开口向下，故本选项不符合题意；C．∵a＝﹣2＜0，∴y＝﹣2x2+x的图象开口向下，故本选项不符合题意；D．∵a＝﹣0.5＜0，∴y＝﹣0.5x2+x的图象开口向下，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2.下列属于随机事件的是（）A.抛一枚股子两次出现点数之和为13 B.抛一枚硬币，正好反面朝上C.从一副扑克牌中任抽2张都是红心5 D.从装满红球的口袋随意摸一个球是红球【答案】B【解析】【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．【详解】解：A．抛一枚骰子两次出现点数之和为13，这是不可能事件，故A不符合题意；B．抛一枚硬币，正好反面朝上，这是随机事件，故B符合题意；C．从一副扑克牌中任抽2张都是红心5，这是不可能事件，故C不符合题意；D．从装满红球的口袋随意摸一个球是红球，这是必然事件，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．3.一组数据40，37，x，64的平均数是53，则x的值是（）A.67 B.69 C.71 D.72【答案】C【解析】【分析】根据求平均数公式即得出关于x的等式，解出x即可．【详解】根据题意可知，解得：．故选C．【点睛】本题考查已知一组数据的平均数，求未知数据的值．掌握求平均数的公式是解题关键．4.抛物线的顶点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标.【详解】∵抛物线，∴抛物线的顶点坐标是：，故选A.【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考查重点，应熟练掌握.5.如图，四边形ADBC内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB等于（）A.131° B.119° C.122° D.58°【答案】B【解析】【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的一半即可求解．【详解】解：∵同弧所对的圆心角是圆周角的一半；∴根据圆内接四边形对角互补故选：B【点睛】此题考查的是圆周角定理的应用，掌握圆周角定理是解题的关键．6.把抛物线向右平移1个单位所得的新抛物线的函数表达式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线解析式求得顶点坐标，然后由平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，则易求平移后的抛物线解析式．【详解】解：∵抛物线y=-x2的顶点坐标是（0，0），

∴抛物线y=-x2向右平移1个单位后的顶点坐标是（1，），

则得到的抛物线是y=-（x-1）2．

故选择：C．【点睛】本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．7.如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是（）

A.R＝2r； B.； C.R＝3r； D.R＝4r．【答案】D【解析】【详解】解：扇形的弧长是：，圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：∴即：R=4r，r与R之间的关系是R=4r．故选D．8.如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若为函数图象上的两点，则．其中正确结论是（）A.②④ B.①② C.①②④ D.①②③④【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的对称轴、∆的取值与抛物线与轴的交点的个数关系、抛物线与轴的交点与对称轴的关系及抛物线的特征进行分析判断．【详解】解：①由函数的图形可知，抛物线与轴有两个交点，，即：，故结论①正确；②二次函数的对称轴为直线，，，即：，故结论②正确．③二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，二次函数与轴的另一个交点的坐标为，当时，有，故结论③错误；④抛物线的开口向下，对称轴，当时，函数值随着的增大而减小，则，则结论④正确，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系问题，解题的关键是理解并熟记抛物线的开口、顶点坐标、对称轴、与轴的交点、与轴的交点坐标与、、的关系．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.已知一组数据：4、－1、5、9、7，则这组数据的极差是___________【答案】10【解析】【分析】先确定出这组数据的最大值与最小值，然后根据极差的定义进行求解即可得.【详解】解：这组数据的最大值是9，最小值是-1，所以这组数据的极差是：9-（-1）=10，故答案为10．【点睛】本题考查了极差，掌握极差的定义是关键，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．10.任意抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数大于4的概率为____．【答案】【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】∵1到6的点数中，点数大于4的有5，6两个，∴掷得面朝上的点数大于4的概率为，故答案为：．11.已知函数是二次函数，则_____．【答案】-2【解析】【分析】根据二次函数的定义可直接进行求解．【详解】解：∵函数是二次函数，∴，解得：；故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．12.如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形外接圆的半径等于________．【答案】1【解析】【分析】根据正六边形的定义可求出其边长为，再根据其性质可知其相邻两条半径与所夹边组成的三角形为等边三角形，即可求出答案．【详解】根据题意可求出正六边形的边长，如图，根据正六边形的性质可知，∴为等边三角形，∴，即正六边形的外接圆半径为1cm．故答案为：1．【点睛】本题考查正六边形的性质，等边三角形的判定．熟练掌握正六边形的性质是解题关键．13.一个扇形的圆心角为120°，半径为3cm，则这个扇形的面积为_______cm2【答案】3π【解析】【分析】此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式，即可求解.【详解】根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为.【点睛】本题扇形面积的计算.熟记扇形面积公式是解题的关键.14.已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…01234…y…1052125…，两点都在该函数的图象上，若，则m的值为________．【答案】1【解析】【分析】根据表中的对应值得到x=1和x=3时函数值相等，则得到抛物线的对称轴为直线x=2，由于y1=y2，所以，是抛物线上的对称点，则，然后解方程即可．【详解】解：∵x=1时，y=2；x=3时，y=2，∴抛物线的对称轴为直线x=2，∵，两点都在该函数的图象上，y1=y2，∴点，是抛物线上的对称点，∴，解得：．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．15.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株．设每盆多植x株，则可以列出的方程是____________．【答案】(3＋x)(4－0.5x)＝15【解析】【分析】由每盆多植x株，可得每盆共有(x+3)株；由“每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元”可得：增加x株后平均每株盈利为(4-0.5x)元；接下来根据等量关系：每盆花的株数×平均每株盈利=15元，即可列出方程．【详解】解：根据题意可得(x+3)(4-0.5x)=15．故答案为：(x+3)(4-0.5x)=15．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解答本题的关键．16.如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点，则的最小值为________．【答案】3【解析】【分析】首先利用在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点P的位置，然后根据弧所对的圆心角的度数发现一个等腰直角三角形计算．【详解】解：作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则P点就是所求作的点，此时PA+PB最小，且等于AC的长．连接OA，OC，∴，∴∠BOM=∠COM，∵B为弧AM的中点，∴，∴∠AOB=∠BOM=∠AOM，∵∠ANM=20°，∴∠AOM=40°，∴∠AOC=3∠AOB=60°，∴OA=OC=AC，∵MN=6，∴OA=MN=3，∴AC=3．故答案为：3．【点睛】此题主要考查了轴对称-最短路线问题，垂径定理，圆周角定理，直角三角形性质等，确定点P的位置是本题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共102分，请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.解下列方程：（1）（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）移项然，提取公因式分解因式即可求解．【小问1详解】解：，，，即，，，；【小问2详解】解：，，，或，，．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18.若关于x的方程有两个相等的实数根（1）求b的值；（2）当b取正数时，求此时方程的根，【答案】（1）b=2或b=；（2）x1=x2=-2；【解析】【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）由（1）可知b=2，根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：（1）由题意可知：△=（b+2）2-4（6-b）=0，∴解得：b=2或b=．（2）当b=2时，此时x2+4x+4=0，∴，∴x1=x2=-2；【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．19.某校九年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀，下表是甲班和乙班各5名学生的比赛数据（单位：个）：1号2号3号4号5号总数甲班891009611897500乙班1009511091104500经统计发现两班总数相等．此时有学生建议，可通过考察数据中的其他信息作为参考．请你回答下列问题：（1）甲班的优秀率为40%，乙班的优秀率为________；甲班5名学生比赛成绩的中位数是_________个，乙班5名学生比赛成绩的中位数是100个；（2）求两班比赛数据的方差；（3）根据以上几条信息，你认为应该把冠军奖杯发给哪一个班级？简述你的理由．【答案】（1）60%；97；（2）94；44.4（3）冠军奖杯应发给乙班，理由见解析【解析】【分析】（1）优秀率就是优秀的人数与总人数的百分比；（2）根据平均数和方差的概念计算．（3）根据计算出来的统计量的意义分析判断．【小问1详解】乙班的优秀率：×100%=60%；把甲班5名同学踢的个数从小到大排列为：89，96，97，100，118，则甲班5名学生比赛成绩的中位数是97个；故答案为：60%；97；【小问2详解】甲班的平均数是：（89+100+96+118+97）÷5=100（个），甲班的方差乙班的平均数是：（100+95+110+91+104）÷5=100（个），乙班的方差；【小问3详解】冠军奖杯应发给乙班，理由如下：因为两班总数相等，但乙班5名学生的比赛成绩的优秀率比甲班高，中位数比甲班大，方差比甲班小，成绩更稳定，综合评定乙班踢毽子水平较好．【点睛】本题考查了中位数、平均数和方差等概念以及运用．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动．20.防疫期间，我县所有学校都严格落实测体温进校园的防控要求．某校开设了A、B、C、D四个测温通道，某天早晨，该校小明和小丽两位同学将随机通过测温通道进入校园．（1）小明从A测温通道通过的概率是________；（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小丽从同一个测温通道通过的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；（2）列出表格表示出所有可能的情况，再找出符合题意的情况，最后根据概率公式计算即可．【小问1详解】因为共开设了A、B、C、D四个测温通道，所以小明从A测温通道通过的概率是，故答案为：．【小问2详解】根据题意可列表如下：小明小丽ABCDAA，AB，AC，AD，ABA，BB，BC，BD，BCA，CB，CC，CD，CDA，DB，DC，DD，D根据表格可知，共有16种可能的情况，其中小明和小丽从同一个测温通道通过的情况有4种，∴小明和小丽从同一个测温通道通过的概率为．【点睛】本题考查简单的概率计算，列表或画树状图法求概率．熟练掌握概率公式是解题关键．21.某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．（1）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？（2）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【答案】（1）销售价应定为每件80元（2）当销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润是9000元【解析】【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解，注意商店要在月销售成本不超过10000元；（2）根据题意，可以写出利润与销售价之间的函数关系式，然后化为顶点式，即可得到利润的最大值．小问1详解】解：设销售价定为每件元，由题意可得：，解得，，当时，销售成本为：（元，当时，销售成本为：（元，月销售成本不超过10000，销售价应定为每件80元，答：销售价应定为每件80元；【小问2详解】解：设利润为元，销售价定为元，由题意可得：，当时，取得最大值9000，答：当销售价定为每件70元时会获得最大利润，最大利润是9000元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值．22.实践：如图△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母.（保留作图痕迹，不写作法）（1）作∠BAC的平分线，交BC于点O.（2）以O为圆心，OC为半径作圆.综合运用：在你所作的图中，（1）AB与⊙O的位置关系是_____.（直接写出答案）（2）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径.【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；综合运用：（1）相切；（2）⊙O的半径为.【解析】【分析】综合运用：（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得AB与⊙O的位置关系是相切；（2）首先根据勾股定理计算出AB的长，再设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12-x）再次利用勾股定理可得方程x2+82=（12-x）2，再解方程即可．【详解】（1）①作∠BAC的平分线，交BC于点O；②以O为圆心，OC为半径作圆．AB与⊙O的位置关系是相切．（2）相切；∵AC=5，BC=12，∴AD=5，AB==13，∴DB=AB-AD=13-5=8，设半径为x，则OC=OD=x，BO=（12-x）x2+82=（12-x）2，解得：x=．答：⊙O的半径为．【点睛】本题考查了作图—复杂作图，角平分线的性质，勾股定理，切线的判定，掌握以上知识是解题的关键．23.一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系.(1)求抛物线的表达式；(2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，什么?【答案】解：（1）；（2）能够通过此隧道．【解析】【分析】（1）根据题意可知抛物线顶点坐标，根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再求解析式即可；（2）令y=4，解出x与2作比较即可得答案．【详解】解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标（4，6），

设抛物线的方程为y=a（x-4）2+6，

又因为点A（0，2）在抛物线上，

所以有2=a（0-4）2+6．

所以a=-．

因此有：y=-（x-4）2+6．

（2）令y=4，则有4=-（x-4）2+6，

解得x1=4+2，x2=4-2，

|x1-x2|=4＞2，

∴货车可以通过．【点睛】本题考查了抛物线的性质及其应用，根据题意求得抛物线的解析式，从而利用二次函数的模型来解决实际问题．24.已知二次函数(a为常数)（1）若二次函数的图象经过点(2，3)，求函数y的表达式．（2）若a0，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．（3）若二次函数在时有最大值3，求a的值．【答案】（1）；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）把(2，3)代入，解方程即可；（2）根据抛物线的增减性，列出关于m的不等式求解即可；（3）根据开口方向分类讨论，利用最大值列方程求解即可．【详解】（1）把(2，3)代入得，解得：二次函数解析式为：；（2）∵抛物线的对称轴为直线，，∴抛物线开口向上，当时，二次函数y随x的增大而减小∵时，此二次函数y随x的增大而减小∴，解得：；（3）将二次函数化为顶点式得：∵二次函数在时有最大值3①当时，开口向上，∴当时，y有最大值，最大值8a，∴，∴，②当时，开口向下∴当时，y有最大值，最大值为，∴，∴，综上，或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数增减性、二次函数最值等问题，解题关键是综合熟练的运用二次函数知识，结合分类讨论思想和数形结合思想准确进行解答．25.已知：如图，是的直径，交于点D，点E是的中点，与的延长线交于点F．（1）求证：是的切线；（2）若，求外接圆的半径．【答案】（1）见解析（2）4【解析】【分析】（1）要证明是的切线，想到连接，只要证明即可，因为是的直径，想到连接，可得，然后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，证出，再利用等边对等角即可解答；（2）根据已知易求，然后证明是等边三角形，求出，最后在中，求出的长即可解答．【小问1详解】证明：连接，，，，是的直径，，，点是的中点，，，，，，，是的半径，是的切线；【小问2详解】解：，，，，，，，，是等边三角形，，在中，，，外接圆的半径，外接圆的半径为：4．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，三角形的外接圆与外心，解题的关键是熟练掌