淮安市盱眙县2021-2022九年级初三上学期期末数学试题+答案

淮安市盱眙县2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每题的四个选项中，只有一个符合题意，请把符合题意的选项填在下表中）1.数据：-2，1，1，2，4，6的中位数是（）A.1 B.2 C.1.5 D.1或22.一元二次方程根的情况是A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根3.小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，英语题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题概率是（）A. B. C. D.4.若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为()A.m＞1 B.m＞0 C.m＞－1 D.－1＜m＜05.已知圆锥的底面半径为6，母线长为8，圆锥的侧面积为（）A.60 B.48 C.60π D.48π6.抛物线y=a+（a-3）x-a-1经过原点，那么a的值等于（）A.0 B.1 C.–1 D.37.抛物线y=3(x－2)2+1图象上平移2个单位，再向左平移2个单位所得的解析式为（）A.y=3x2+3 B.y=3x2－1 C.y=3(x－4)2+3 D.y=3(x－4)2－18.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A.40° B.45° C.50° D.55°二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）9.一组数据2，3，3，5，7众数是_________．10.数据-1，0，1的方差为_______．11.若a是方程3x2-4x-3=0的一个根，则代数式值为_________．12.要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB为多少米?设AB=x米，根据题意可列出方程的为_________．13.如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=_______°.14.如果二次函数y=-2x2-2（k-4）x+4图像的对称轴为直线x=2，那么字母k的值为_______．15.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若弧EF的长为，则图中阴影部分的面积为_____．16.如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．三、解答题（本题共11小题，共102分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）17.解方程：（1）2x（x-2）=5（2-x）（2）x2-5x+3=018.在一次“中国梦”演讲比赛中，将甲、乙两组选手（每组10人）的成绩分别按得分（10分制）进行统计，根据统计数据绘制了如下还不完整的统计图表．分数人数频率7分a0.28分10.19分bc10分505合计1.0（1）a=_______，b=_______，c=________；（2）乙组“10分”所在扇形的圆心角等于_______°．并请你补全条形统计图．19.已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一腰长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．20.箱子里有4瓶果汁，其中有一瓶是苹果汁，其余三瓶都是橙汁，它们除口味不同外，其他完全相同．现从这4瓶果汁中一次性取出2瓶．（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；（2）求抽出的2瓶果汁中恰好抽到苹果汁的概率．21.电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆．（1）求该品牌电动车销售量的月平均增长率；（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元．22.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为______；（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．

23.小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？24.如图，二次函数的图像与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．（1）求点D的坐标；（2）求二次函数的表达式；（3）根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．25.如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．

26.（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=4，CD=2，求AD的长．27.如图，直线与x，y轴分别交于点B，A，顶点为P的抛物线过点A．（1）求出点A，B的坐标及c的值；（2）若函数在时有最大值为，求a的值；（3）若，连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M．设△BMP的面积为S．①直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；②结合S与a函数图象，直接写出时a的取值范围．答案与解析一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每题的四个选项中，只有一个符合题意，请把符合题意的选项填在下表中）1.数据：-2，1，1，2，4，6的中位数是（）A.1 B.2 C.1.5 D.1或2【答案】C【解析】【分析】根据中位数的定义即可得．【详解】解：将这组数据从小到大排序得-2，1，1，2，4，6，其中最中间的两个数为1，2，这组数据的中位数为，故选：C．【点睛】本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，熟记中位数的定义是解题的关键．2.一元二次方程的根的情况是A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根 D.没有实数根【答案】D【解析】【分析】由根的判别式∆判断即可．【详解】解：∆=b2-4ac=(-4)2-4×5=-4＜0，方程没有实数根．故选择D．【点睛】本题考查了一元二次方程根与判别式关系，掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．3.小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，英语题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出总的题数，然后用数学题的提数除以总题数即可.【详解】解：抽中数学题的概率是：.故选A.【点睛】本题考查概率的定义.属于比价基础的题型.4.若抛物线y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为()A.m＞1 B.m＞0 C.m＞－1 D.－1＜m＜0【答案】B【解析】【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．【详解】顶点坐标（m，m+1）在第一象限，则有解得：m>0，故选：B．5.已知圆锥的底面半径为6，母线长为8，圆锥的侧面积为（）A.60 B.48 C.60π D.48π【答案】D【解析】【分析】圆锥的侧面积是一个扇形，扇形的面积就是圆锥的侧面积，根据计算公式计算即可.【详解】解：圆锥的侧面积=•2π•6×8=48π．故选D．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．6.抛物线y=a+（a-3）x-a-1经过原点，那么a的值等于（）A.0 B.1 C.–1 D.3【答案】C【解析】【分析】把(0，0)代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程即可．【详解】∵抛物线y=a+（a-3）x-a-1经过原点，∴-a-1=0，解得a=-1，故选C．【点睛】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握图像过点，点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．7.抛物线y=3(x－2)2+1图象上平移2个单位，再向左平移2个单位所得的解析式为（）A.y=3x2+3 B.y=3x2－1 C.y=3(x－4)2+3 D.y=3(x－4)2－1【答案】A【解析】【分析】抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线对顶点坐标，根据平移规律求新抛物线的顶点坐标，确定新抛物线的解析式．【详解】∵y=3(x－2)2+1的顶点坐标为（2，1），∴把抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得新抛物线顶点坐标为（0，3），∵平移不改变抛物线的二次项系数，∴平移后的抛物线的解析式是y=3（x-0）2+3，即y=3x2+3．故选A．【点睛】根据平移规律求新抛物线的顶点坐标，确定新抛物线的解析式．考察抛物线的平移关系．8.如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（）A.40° B.45° C.50° D.55°【答案】D【解析】【详解】如图，连接OC，∵AO∥DC，∴∠ODC=∠AOD=70°，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD=70°，∴∠COD=40°，∴∠AOC=110°，∴∠B=∠AOC=55°．故选D．二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）9.一组数据2，3，3，5，7的众数是_________．【答案】3【解析】【详解】解：∵数据2，3，3，5，7中出现次数最多是3∴众数是3故答案为：3.【点睛】本题主要考查了众数的定义，在一组数据中出现次数最多的数据成为这组数据的众数，熟练地掌握众数的概念是解决本题的关键.10.数据-1，0，1的方差为_______．【答案】【解析】【分析】先求出3个数的平均数，再根据方差公式计算．【详解】解：数据-1，0，1的平均数：，方差，故答案为：．【点睛】本题考查方差的计算，方差，熟记方差公式是解题的关键．11.若a是方程3x2-4x-3=0的一个根，则代数式值为_________．【答案】7【解析】【分析】由a是方程3x2-4x-3=0的一个根，得，利用整体代入，即可求出答案.【详解】解：∵a是方程3x2-4x-3=0的一个根∴∴故答案为：7.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，再利用整体代入的方法求代数式的值，找到题目中的倍分关系是解题的关键.12.要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB为多少米?设AB=x米，根据题意可列出方程的为_________．【答案】x（100-4x）=400【解析】【分析】由题意，得BC的长为（100-4x）米，根据矩形面积列方程即可.【详解】解：设AB为x米，则BC的长为（100-4x）米由题意，得x（100-4x）=400故答案为：x（100-4x）=400.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际问题，解决问题的关键是通过图形找到对应关系量，根据等量关系式列方程.13.如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD=_______°.【答案】60【解析】【详解】∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC=∠B，∠OAB=∠OCB，∠OAB+∠B=180°．∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠D+∠B=180°．又∠D＝∠AOC，∴3∠D=180°，解得∠D=60°．∴∠OAB=∠OCB=180°-∠B=60°．∴∠OAD+∠OCD=360°-（∠D+∠B+∠OAB+∠OCB）=360°-（60°+120°+60°+60°）=60°．故答案为：60°．【点睛】考点：①平行四边形的性质；②圆内接四边形的性质．14.如果二次函数y=-2x2-2（k-4）x+4图像的对称轴为直线x=2，那么字母k的值为_______．【答案】0【解析】【分析】根据y=ax2+bx+c的对称轴为x=-，直接代入求k即可.【详解】解：∵对称轴为x=-=2∴-=2解得k=0故答案为：0.【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握y=ax2+bx+c的对称轴为x=-是解题的关键.15.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若弧EF的长为，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】2-【解析】【分析】由切线的性质和平行四边形的性质得到BA⊥AC，∠ACB＝∠B＝45°，∠DAC＝∠ACB＝45°＝∠FAE，根据弧长公式求出弧长，得到半径，即可求得结果．【详解】如图所示，连接AC，∵CD与⊙A相切，∴CD⊥AC，在平行四边形ABCD中，∵AB＝DC，AB∥CD，AD∥BC，∴BA⊥AC，∵AB＝AC∴∠ACB＝∠B＝45°，∵，AD∥BC∴∠FAE＝∠B＝45°，∠DAC＝∠ACB＝45°＝∠FAE，∴，∴的长度＝，解得R＝2，∴S阴影＝S△ACD−S扇形＝×22−＝2−．故答案为：2−．【点睛】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，弧长的求法，扇形面积的求法，知道S阴影＝S△ACD−S扇形是解题的关键．16.如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是_____．【答案】【解析】【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．【详解】解：点M，N分别是AB，BC的中点，，当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是利用中位线性质将MN的值最大问题转化为AC的最大值问题，难度不大．三、解答题（本题共11小题，共102分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）17.解方程：（1）2x（x-2）=5（2-x）（2）x2-5x+3=0【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）先计算根的判别式大于零，再利用公式法解方程即可．小问1详解】或解得【小问2详解】由题意得【点睛】本题考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．18.在一次“中国梦”演讲比赛中，将甲、乙两组选手（每组10人）的成绩分别按得分（10分制）进行统计，根据统计数据绘制了如下还不完整的统计图表．分数人数频率7分a0.28分10.19分bc10分50.5合计1.0（1）a=_______，b=_______，c=________；（2）乙组“10分”所在扇形的圆心角等于_______°．并请你补全条形统计图．【答案】（1）2；2；0.2；（2），补图见解析．【解析】【分析】（1）用总人数乘0.2即可得出a的值，进而得出b、c的值；（2）用360°乘“10分”所占比例即可得出“10分”所在扇形的圆心角度数，用10减去其它人数得出“8分”的人数，再补全条形统计图即可．【小问1详解】解：（1）由题意得：，，，故答案为：2，2，0.2；【小问2详解】解：乙组“10分”所在扇形的圆心角等于：，乙组“8分”的人数为：10-1-3-4=2(人)，补全条形统计图如下：故答案为：144．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．19.已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一腰长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为10．【解析】【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可．【小问1详解】证明：∵△＝（k＋2）2－8k＝k2＋4k＋4－8k＝（k－2）2≥0，∴无论k取何值，方程总有实数根；【小问2详解】解：当腰长为4时，则可知方程有一个实数根为4，∴16－4（k＋2）＋2k＝0，解得k＝4，∴方程为x2－6x＋8＝0，解得x＝4或x＝2，∴a、b的值分别为2、4，∴△ABC的周长为2+4+4=10；【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．20.箱子里有4瓶果汁，其中有一瓶是苹果汁，其余三瓶都是橙汁，它们除口味不同外，其他完全相同．现从这4瓶果汁中一次性取出2瓶．（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；（2）求抽出的2瓶果汁中恰好抽到苹果汁的概率．【答案】（1）见解析，12种等可能性（2）【解析】【分析】(1)设A表示苹果汁，分别表示橙汁，根据画树状图的基本要求画出正确树状图即可．(2)用确定事件的等可能性除以所有等可能性即可．【小问1详解】设A表示苹果汁，分别表示橙汁，画树状图如下：，故一共有12种等可能性．【小问2详解】根据前面知道，一共有12种等可能性，抽出的2瓶果汁中恰好抽到苹果汁的等可能性有6种，故抽出的2瓶果汁中恰好抽到苹果汁的概率为：．【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图基本要领是解题的关键．21.电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆．（1）求该品牌电动车销售量的月平均增长率；（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元．【答案】（1）20％；（2）273000．【解析】【分析】（1）设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，2月份该品牌电动车销售量为150(1＋x)，则3月份该品牌电动车销售量为150(1＋x)(1＋x)＝150(1＋x)2.据此列出方程求解.（2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案．【详解】解：（1）设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意得150（1+x）2=216，解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）答：该品牌电动车销售量的月平均增长率为20％．（2）由（1）得该品牌电动车销售量的月平均增长率为20％，∴2月份的销售量为150×（1+20％）=180∴则1-3月份的销售总量为150+180+216=546（辆）∴（元）答：该经销商1月至3月共盈利273000元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用及有理数的乘法的应用，理解题意，列出方程是解题关键．22.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1；（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为______；（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．

【答案】（1）画图见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧长公式计算即可得解；（3）利用勾股定理列式求出OA，再根据AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OB求解，再求出BO扫过的面积=S扇形B1OB，然后计算即可得解．【详解】解：（1）△A1OB1如图所示；

（2）由勾股定理得，BO=，所以，点B所经过的路径长=，故答案为：；（3）由勾股定理得，OA=，∵AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O-S扇形B1OB-S△AOB=S扇形A1OA-S扇形B1OBBO扫过的面积=S扇形B1OB，∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA-S扇形B1OB+S扇形B1OB，=S扇形A1OA，=．【点睛】考点：1.作图-旋转变换；2.勾股定理；3.弧长的计算；4.扇形面积的计算．23.小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？【答案】她购买了20件这种服装．【解析】【分析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．【详解】解：设购买了件这种服装，根据题意得出：，解得：，，当时，（元不合题意舍去；答：她购买了20件这种服装．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据已知得出每件服装的单价．24.如图，二次函数的图像与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B、D．（1）求点D的坐标；（2）求二次函数的表达式；（3）根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【答案】（1）D（-2，3）；（2）二次函数解析式为y=−x2-2x+3；（3）一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜-2或x＞1．【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称性来求点D的坐标；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），把点A、B、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；（3）根据图象直接写出答案．【小问1详解】解：∵如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，∴对称轴是．又点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，∴D（-2，3）；【小问2详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c常数），根据题意得，，解得a＝-1，b＝-2，c＝3，所以二次函数解析式为y=−x2-2x+3；【小问3详解】解：一次函数值与二次函数值相交于D（-2，3）、B（1，0），如图，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜-2或x＞1．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与不等式组，利用数形结合的数学思想是解题的关键．25.如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE的长．

【答案】（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）BE=6．【解析】【分析】（1）连接OD，可知由直径所对的圆周角是直角可得∠DAB+∠DBA=90°，再由∠CDA=∠CBD可得∠CDA+∠ADO=90°，从而得∠CDO=90°，根据切线的判定即可得出；（2）由已知利用勾股定理可求得DC的长，根据切线长定理有DE=EB，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【详解】（1）直线CD和⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠DBA=90°，∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90°，∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO，∴∠CDA+∠ADO=90°，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切；（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，∴OC=2+3=5，OD=3，在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE=EB，∠CBE=90°，设DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2=BE2+BC2，则（4+x）2=x2+（5+3）2，解得：x=6，即BE=6．

26.（1）【学习心得】小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数，若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．小刚同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的：△ABD的外接圆就是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆；△ACD的外接圆也是以BD的中点为圆心，BD长为半径的圆．这样A、B、C、D四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出∠BAC的度数，请运用小刚的思路解决这个问题．（3）【问题拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=4，CD=2，求AD的长．【答案】（1）45；（2）∠BAC=25°，（3）AD=+3．【解析】【分析】（1）如图1，由已知易得点B，C，D在以点A为圆心，AD为半径的圆上，则由“圆周角定理”