2018人教高中数学选修22单元质量评估(二)

2018-2019年人教版高中数学选修2-2单元质量评估(二)2018-2019年人教版高中数学选修2-2单元质量评估(二)2018-2019年人教版高中数学选修2-2单元质量评估(二)2018-2019年人教版高中数学选修2-2单元质量评估(二)单元质量评估(二)第二章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的)22222用的1.由1=1，1+3=2，1+3+5=3，1+3+5+7=4，，获取1+3++(2n-1)=n是()A.归纳推理B.演绎推理C.类比推理D.特别推理【解析】选A.依照定义可知是归纳推理.2.以下推理是归纳推理的是()，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B.由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C.由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜出椭圆+=1的面积S=πabD.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】选B.从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特别到一般的推理，因此B是归纳推理.【补偿训练】以下推理中属于归纳推理且结论正确的选项是()A.由an=2n-1，求出S1=12，S2=22，S3=32，，推断:数列{an}的前n项和Sn=n2B.由f(x)=xcosx满足f(-x)=-f(x)对?x∈R都成立，推断:f(x)=xcosx为奇函数-1-/122018-2019年人教版高中数学选修2-2单元质量评估(二)C.由半径为r的圆的面积S=πr2，推断单位圆的面积S=πD.由(1+1)2>21，(2+1)2>22，(3+1)2>23，，推断:对所有n∈N*，(n+1)2>2n【解析】选A.选项A:为归纳推理，且由于an=2n-1，因此{an}是等差数列，首项a1=1，公差d=2，则Sn=n+×2=n2，故A正确;选项B:为演绎推理;选项C:为类比推理;选项D:为归纳推理，当n=7时，(n+1)2=82=64<2n=27=128，故结论错误.在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为()三角形的中位线平行于第三边三角形的中位线等于第三边的一半C.EF为中位线∥BC【解析】选A.这个三段论的推理形式是:大前提:三角形的中位线平行于第三边;小前提:EF为△ABC的中位线;结论:EF∥BC.4.已知c>1，a=-，b=-，则正确的结论是()A.a>bB.a<bC.a=b，b大小关系不定【解析】选B.由于a=，b=，因此a<b.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0最少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根-2-/122018-2019年人教版高中数学选修2-2单元质量评估(二)B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【解析】选A.由于“方程x3+ax+b=0最少有一个实根”等价于“方程x3+ax+b=0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是方程x3+ax+b=0没有实根.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(-3，4)，且法向量为n=(1，-2)的直线(点法式)方程为:1×(x+3)+(-2)×(y-4)=0，化简得x-2y+11=0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为m=(-1，-2，1)的平面的方程为()A.x+2y-z-2=0B.x-2y-z-2=0C.x+2y+z-2=0D.x+2y+z+2=0【解析】选A.类比直线方程求法得平面方程为(-1)×(x-1)+(-2)×(y-2)+1×(z-3)=0，即x+2y-z-2=0.7.用数学归纳法证明1++++=时，由n=k到n=k+1左边需要增加的项是()A.B.C.D.【解析】选D.由n=k到n=k+1时，左边需要增加的项是=.-3-/122018-2019年人教版高中数学选修2-2单元质量评估(二)解析法又叫执果索因法，若使用解析法证明:“设a>b>c，且a+b+c=0，求证:<a”，则最后的索因应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0【解析】选A.由于a>b>c，且a+b+c=0，因此3c<a+b+c<3a，即a>0，c<0.要证<a，只要证b2-ac<3a2，只要证(-a-c)2-ac<3a2，只要证2a2-ac-c2>0，只要证(a-c)·(2a+c)>0，只要证2a+c>0(a>0，c<0，则a-c>0)，只要证a+c+(-b-c)>0，即证a-b>0，这显然成立.对大于或等于2的自然数的正整数幂运算有以下分解方式:=1+3=1+3+542=1+3+5+723=3+533=7+9+1143=13+15+17+1923的分解中最小的正整数是21，则m+n=依照上述分解规律，若m=1+3+5++11，n()-4-/122018-2019年人教版高中数学选修2-2单元质量评估(二)2【解析】选B.由于m=1+3+5++11=×6=36，因此m=6.由于23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，因此53=21+23+25+27+29，由于n3的分解中最小的正整数是21，因此n3=53，n=5，因此m+n=6+5=11.10.已知a>0，b>0，a，b的等差中项为，且m=a+，n=b+，则m+n的最小值为()【解析】选C.由已知，得a+b=1，m+n=a++b+=1++=1++=3++≥3+2=5.11.已知x>0，不等式x+≥2，x+≥3，x+≥4，，可实行为x+≥n+1，则a的值为()2B.nnn2n-2-5-/122018-2019年人教版高中数学选修2-2单元质量评估(二)【解析】选B.由x+≥2，x+=x+≥3，x+=x+≥4，，可实行为x+n+1，故a=nn.在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A.b+b>b+bB.b+b<b+b748574854+b7>b5+b84+b7<b5+b8【解析】选A.在等差数列{an}中，由于4+6=3+7时有a4·a6>a3·a7，因此在等比数列{bn}中，由于4+8=5+7，因此应有b4+b8>b5+b7或b4+b8<b5+b7.由于b4=b1q3，b5=b1q4，b7=b1q6，b8=b1q7，因此(b4+b8)-(b5+b7)=(b1q3+b1q7)-(b1q4+b1q6)=b1q6·(q-1)-b1q3(q-1)=(b1q6-b1q3)(q-1)=b1q3(q3-1)(q-1).由于q>1，bn>0，因此b4+b8>b5+b7.二、填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)已知x，y∈R，且x+y>2，则x，y中最少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为.【解析】“最少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”.答案:x，y均不大于1(也许x≤1且y≤1)-6-/122018-2019年人教版高中数学选修2-2单元质量评估(二)14.从1=1，1-4=-(1+2)，1-4+9=1+2+3，1-4+9-16=-(1+2+3+4)，，实行到第n个等式为.【解析】由于1=1=(-1)1+1·1，1-4=-(1+2)=(-1)2+1·(1+2)，1-4+9=1+2+3=(-1)3+1·(1+2+3)，1-4+9-16=-(1+2+3+4)=(-1)4+1·(1+2+3+4)，因此1-4+9-16++(-1)n+1·n2=(-1)n+1·(1+2++n).答案:1-4+9-16++(-1)n+1·n2=(-1)n+1(1+2++n)15.函数y=a1-x(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则+的最小值为.【解析】由于函数y=a1-x的图象所过的定点为A(1，1)，且点A在直线mx+ny-1=0上，因此m+n=1.又由于mn>0，因此必有m>0，n>0，于是+=(m+n)·=2++≥2+2=4.答案:416.关于命题“若是O是线段AB上一点，则||·+||·=0”将它类比到平面的状况是:若O是△ABC内一点，有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0，将它类比到空间的状况应为:若O是周围体ABCD内一点，则有.【解析】依照类比的特点和规律，所得结论形式上一致，由线段类比平面，平面类比到空间，由线段长类比为三角形面积，再类比成周围体的体积，故可以类比为VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0.答案:VO-BCD·+VO-ACD·+VO-ABD·+VO-ABC·=0-7-/122018-2019年人教版高中数学选修2-2单元质量评估(二)三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知实数a，b，c，d满足a+b=c+d=1，ac+bd>1，求证:a，b，c，d中最少有一个是负数.【解题指南】关于含有“最少”、“至多”的命题的证明，经常用反证法证明.假设结论不成立，由a+b=c+d=1可得a，b，c，d∈[0，1].由条件中的和与积想到基本不等式，依照ac≤≤，bd≤≤，两式相加可推出矛盾.【解析】假设a，b，c，d∈[0，+∞)，由于a+b=c+d=1，因此a，b，c，d∈[0，1]，因此ac≤≤，bd≤≤，因此ac+bd≤+=1，这与ac+bd>1相矛盾，因此原假设不成立.故a，b，c，d中最少有一个是负数.【拓展延伸】适适用反证法证明的命题有:结论自己是以否定形式出现的命题.关于唯一性，存在性的命题.结论是以“至多”“最少”等形式出现的命题.结论的反面比原结论更详尽，更简单研究的命题.18.(12分)已知在△ABC中，有一个内角不小于120°，求证:最长边与最短边之比不小于.-8-/122018-2019年人教版高中数学选修2-2单元质量评估(二)【解题指南】设最大角为A，最小角为C，由于A≥120°，因此B+C≤60°，C≤30°，再利用正弦定理和二倍角公式求出的范围，即得所证.【证明】设最大角为A，最小角为C，则最大边为a，最小边为c.由于A≥120°，因此B+C≤60°，且C≤B，因此2C≤B+C≤60°，C≤30°.因此==≥=2cosC≥.19.(12分)已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，求证:+=1.【解题指南】采用解析法进行证明，依照结论+=1，可得c2+a2-b2-ac=0;再利用A，B，C成等差数列，可得B=60°，利用余弦定理可得b2=c2+a2-ac成立，从而得证.【证明】要证原式成立，只要证=1，即证bc+c2+a2+ab=ab+b2+ac+bc，即c2+a2-b2-ac=0，而三个内角A，B，C成等差数列，因此A+C=2B，又A+B+C=180°，因此B=60°，由余弦定理可得b2=c2+a2-2accosB=c2+a2-ac，因此c2+a2-b2-ac=0，故+=1.20.(12分)已知x，y∈N*，以下不等式成立.①x2+y2≥;-9-/122018-2019年人教版高中数学选修2-2单元质量评估(二)②x2+y2≥;③x2+y2≥.依照上述不等式，请你推出一般的结论，并证明你的结论.【解析】一般的结论是:已知x，y∈N*，a，b都是正数，且a+b=1，则ax2+by2(ax+by)2.证明:由于a+b=1，因此a=1-b>0，b=1-a>0.因此(ax2+by2)-(ax+by)2=(a-a2)x2-2abxy+(b-b2)y2=a(1-a)x2-2a(1-a)xy+a(1-a)y2=a(1-a)(x2-2xy+y2)=a(1-a)(x-y)2.又a>0，1-a>0，(x-y)2≥0，因此(ax2+by2)-(ax+by)2≥0.因此ax2+by2≥(ax+by)2成立.21.(12分)若实数x，y，m满足|x-m|>x|y-m|，则称x比y远离m.若x2-1比1远离0，求实数x的取值范围.(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明:a3+b3比a2b+ab2远离2ab.【解析】(1)由题意可得|x2-1-0|>|1-0|，即|x2-1|>1，即x2-1>1或x2-1<-1，解得x>或x<-，故实数x的取值范围为(-∞，-)∪(，+∞).(2)对任意两个不相等的正数a，b，有a3+b3>-10-/122018-2019年人教版高中数学选修2-2单元质量评估(二)2ab，a2b+ab2>2ab.由于|a3+b3-2ab|-|a2b+ab2-2ab|=(a+b)(a-b)2>0因此|a3+b3-2ab|>|a2b+ab2-2ab|，故a3+b3比a2b+ab2远离2ab.22.(12分)用数学归纳法证明1·(n2