哈尔滨某大学结构力学IT10

第三章杆系结构单元分析最基本的概念都在第三、四章，因此必须下功夫学好11/28/2022哈尔滨工业大学土木学院王焕定第三章杆系结构单元分析引言等直杆单元的单元分析杆系结构单元分析的实质杆系结构单元分析子程序11/28/2022哈尔滨工业大学土木学院王焕定3.1引言结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也取荷载作用点。图中1、2、3、4点均为结点。单元：两结点间的等直杆段。图中1-3、2-4、3-4为单元。编码：黑的结点编号称整体码。红的1、2局限于单元，称局部码。坐标：兰的坐标称整体坐标。红的x、y局限于单元，称局部坐标1342yxxy121122右手系11/28/2022哈尔滨工业大学土木学院王焕定3.2等直杆单元的单元分析目的：像位移法一样，通过“一拆、一合”来解决结构分析。为此，必须首先掌握单元的特性。杆系最简单，由它介绍思想和方法容易掌握，可为以后学习奠定基础，因此必须深刻理解。3.2.1等直拉压杆结构中拆出的单元如图所示。1）广义坐标法设任意点位移为

u=a1+a2x广义坐标，边界条件只两个幂级数简单右手系ijxy12u1,F1u2,F2pEA，l11/28/2022哈尔滨工业大学土木学院王焕定3.2等直杆单元的单元分析利用边界条件可得

a1＝u1；a2＝(u2-u1)／l将广义坐标代回

u=a1+a2x，整理后可得

u=(1-x／l)u1+u2x／l右手系ijxy12u1,F1u2,F2pEA，l2）形函数及性质形函数自然坐标本点处为1它点处为0处总和为1任意点的位移可用形函数表为u=(1-x／l)u1+u2x／l=Ｎ1u1＋Ｎ２u２11/28/2022哈尔滨工业大学土木学院王焕定轴力右手系ijxy12u1,F1u2,F2pEA，l３）用虚位移原理列式3-1）虚位移设结点虚位移为ui

（i=1，2），则

u=Ｎ1

u1＋Ｎ２

u２3-2）外力虚功3-3）虚变形功3.2等直杆单元的单元分析11/28/2022哈尔滨工业大学土木学院王焕定右手系ijxy12u1,F1u2,F2pEA，l3-4）用矩阵表示3.2等直杆单元的单元分析11/28/2022哈尔滨工业大学土木学院王焕定ijxy12u1,F1u2,F2pEA，l3-5）单元刚度方程由虚位移原理可得引入如下矩阵：单元刚度矩阵单元等效荷载则单元刚度方程改写为3.2等直杆单元的单元分析11/28/2022哈尔滨工业大学土木学院王焕定4）小结4-1）单元位移场可用“广义坐标法”建立。4-2）形函数“本点1，它点0，任意点总和1”。4-3）虚位移原理列式结果单元刚度方程为满跨均布轴力时3.2等直杆单元的单元分析11/28/2022哈尔滨工业大学土木学院王焕定3.2.2等直杆扭转结构中拆出的单元如图所示。1）试凑法设任意点自然坐标为，为满足“本1，它0”可设N1=1-，N2=。=N1

1+

N2

2。由性质试凑得到右手系ijxy121,M12,M2mGJ，l2）势能原理列式2-1）外力势能2-2）应变能3.2等直杆单元的单元分析11/28/2022哈尔滨工业大学土木学院王焕定右手系ijxy121,M12,M2mGJ，l2-3）总势能=U+Pf2-4）势能原理列列式结果为3）小结3-1）形函数可根据其性质通通过试凑来建立。3-2）将总势能表表为结点位移移的函数，可可由变分为零零列式（偏导数数为零）得到到单元刚度方方程。满跨均布扭矩时3.2等直杆单元的的单元分析11/26/2022哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定3.2.3等直弯曲杆杆单元1）杆端位移移（不计轴轴向变形））2）杆中任意意点位移2-1）设挠度为为2-2）由此可见见，N1是图示v1=1的挠曲线，，因此由积分二次，利用边界条件可得3.2等直杆单元元的单元分分析11/26/2022哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定同理，可得得3）势能原理理单元列式式3-1）应变能为为则3-2）外力势能能为3.2等直杆单元元的单元分分析11/26/2022哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定在图示荷载载作用下（（坐标正向为为正）外力力势为3-3）总总势势能能为为3.2等直直杆杆单单元元的的单单元元分分析析11/26/2022哈尔尔滨滨工工业业大大学学土土木木学学院院王王焕焕定定3-4）单单元元列列式式由势势能能原原理理可可得得单元刚度方程单元刚度矩阵经数数学学推推导导可可得得单单元元刚刚度度矩矩阵阵元元素素如如下下等效结点荷载满跨均布时3.2等直直杆杆单单元元的的单单元元分分析析11/26/2022哈尔尔滨滨工工业业大大学学土土木木学学院院王王焕焕定定3.2等直直杆杆单单元元的的单单元元分分析析单元刚度矩阵经数数学学推推导导可可得得单单元元刚刚度度矩矩阵阵元元素素如如下下和转转角位位移方方程结结果相相同2911/26/2022哈尔尔滨滨工工业业大大学学土土木木学学院院王王焕焕定定3-5)小结结3-5-1)杆件件单单元元形形函函数数也也可可由由挠挠曲曲线线微微分分方方程程求求得得。。3-5-2)利用用虚虚位位移移原原理理或或势势能能原原理理列列式式所所的的结结果果和和用叠叠加加原原理理建建立立的的杆杆端端位位移移-力关系一样。。3-5-3)所得单元刚度度矩阵对称、、奇异（1、3行1、3列是相关的））。3.2.4考虑轴向变形形直杆弯曲单单元1)单元上任一点点的位移1-1)单元上任一点点的位移包含含轴向和横向向位移分量由纯弯单元建立由拉压单元建立3.2等直杆单元的的单元分析11/26/2022哈尔滨工业大大学土木学学院王焕定定1-2)单元形函数由由3.2.1和3.2.3组合得到2)应变能1-3)任意点位移式中2-1)应变由两部分引起：拉压和和弯曲。3.2等直杆单元的的单元分析11/26/2022哈尔滨工业大大学土木学学院王焕定定拉压弯曲4)单元列式由应变能和外外力势能可见见，单元刚度度方程可由拉压和弯曲上上述已获得的的结果组合得得到。3)外力势能式中p、u向右为正；q、v向上为正；m和转角逆时针为正。2-2)应变能也包含含两部分，拉拉压和弯曲互互不藕联。3.2等直杆单元的的单元分析11/26/2022哈尔滨滨工业业大学学土土木学学院王王焕焕定3.2等直杆杆单元元的单单元分分析11/26/2022哈尔滨滨工业业大学学土土木学学院王王焕焕定同理可可以组组合得得到单元刚度方程5)小结5-1)这种单单元称称作““梁柱自由式式单元元”，，它也具具有对称性性、奇奇异性性。5-2)单元刚刚度矩矩阵和和等效效结点点荷载载矩阵阵可由由拉压压和弯曲单单元组组合得得到。。下面多多处在在“变变形不不藕联联”条件下下，利利用简简单单单元直直接构构造组组合单单元。。3.2等直杆杆单元元的单单元分分析11/26/2022哈尔滨滨工业业大学学土土木学学院王王焕焕定3.2.5有约束束单元元1)由“梁柱自由式式单元元”建立有有约束束单元元刚度度方程的原原则为为1-1)刚度矩矩阵中中划去去被约约束位位移对对应的的行和和列。。1-2)等效结结点荷荷载矩矩阵中中划去去被约约束位位移对对应的的行。。1-3)单元刚刚度方方程形形式不不变。。单元刚度方程2)连续梁单元

划去1、2、4、5行、列。3.2等直杆杆单元元的单单元分分析11/26/2022哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定单元刚度矩矩阵和单元元等效荷载载矩阵为试自行写出出单元刚度度和单元等等效荷载矩矩阵。3)简支单元

划去1、2、5行、列。满跨均布时4)小结如约束能限限制刚体位位移，单元元刚度矩阵阵非奇异。。3.2等直杆单元元的单元分分析式中MG为固端弯矩矩，顺时针针为正。11/26/2022哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定3.2.6计剪切变形形和带有刚刚域的单元元1)计剪切变形形的单元（（短粗杆））1-1)形函数用用广广义坐标、、试凑和解挠曲曲线微分方方程都比较困难，这这里直接给给出。3.2等直杆单元元的单元分分析参考《有限单元法法基础》P.41-4411/26/2022哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定图和式中的的为对细长杆趋于零，形形函数同前。。对形函数建建立有兴趣的同同学可用力法+位移计算来验验证3.2等直杆单元元的单元分分析11/26/2022哈尔滨工业业大学土土木学院王王焕定1-2)用力法解解超静定定，求ij时考虑剪剪切变形形影响。。由所建立立的形常常数、载载常数，，可利用用叠加原原理得到杆端端力-位移的关关系，它它即单元元刚度方方程。1-3)用杆件模模型计算算高层框框架-剪力墙结结构时，，代表剪力墙墙的杆件件要考虑虑剪切变变形。1-4)单元刚度度、等效效荷载矩矩阵的各各元素见见《教材》。2)带刚域的的单元高层框架架-剪力墙结结构用杆杆件模型型分析时时，与剪剪力墙连接接的单元元，要考考虑刚域域的影响响。这种单元元的刚度度特性，，可由弹弹性段单单元刚度度方程，再考考虑此段段杆端位位移、杆杆端力和和单元杆杆端位移移、杆端力间间的变换换关系来来建立。。结果见见《教材》。3.2等直杆单单元的单单元分析析11/26/2022哈尔滨工工业大学学土木木学院王王焕定定3.2.7平面单元元分析总总结3)虚位移原原理、势势能原理理的结果果完全相相同。4)单元刚度度矩阵对对称。自自由单元元奇异，，无刚体体位移单元可逆逆。1)单元分析析的关键键是：建建立单元元位移场场。2)单元位移移场一般般可用广广义坐标标法、试试凑法建建立。5)无藕联情情况下，，组合单单元的单单元特性性可由简简单单元组装得得到。6)单元刚度度方程和和由形、、载常数数用叠加加原理所所得单元杆端位位移-杆端力关关系完全全相同。。7)单元上外外力是平平衡的（（静力问问题），，但由位位移求内力并不不平衡，，杆中内内力以后后解决。。3.2等直杆单单元的单单元分析析11/26/2022哈尔滨工工业大学学土木木学院王王焕定定3.2.8空间单元元分析总总原则空间单元元的单元元特性由由平面简简单单元元组装得得到。1)空间拉压压（桁架架）单元元空间桁架架单元与与平面桁桁架单元元相同。。2)交叉梁（（格栅））单元杆端位移移、杆端端力如图图所示可由无轴轴向变形形弯曲单单元和扭转单单元组合合得到。。由于杆端端位移和和内力的的编号顺顺序如图图所示因此必须须注意，，1、3（4、6）力-位移正向向规定和和弯曲单元元的区别别，故k13、k16、k46的符号与与弯曲单单元相反。同同理，等等效荷载载元素的的符号也也要改变变。3.2等直杆单单元的单单元分析析12354611/26/2022哈尔滨工工业大学学土木木学院王王焕定定由此可得得交叉梁梁单元的的单元刚刚度矩阵阵为3.2等直杆单单元的单单元分析析对称1611/26/2022哈尔