变形监测数学模型及应用

第8章变形监测数学模型及应用主要内容概述统计模型的建立灰色系统分析模型时间序列分析模型8.1概述变形观测成果的分析，主要是在分析归纳工程建筑物变形值、变形幅度、变形过程、变形规律等的基础上，对工程建筑物的结构本身(内因)及作用于其上的各种荷载(外因)以及变形观测本身进行分析和研究，确定发生变形的原因及其规律性，进而对工程建筑物的安全性能做出判断，并对其未来的变形值范围做出预报。在积累了大量资料后，找出工程建筑物变形的内在原因、外在因素及其规律，则可对现行的设计理论及其所采用的经验系数和常数进行修正。变形监测资料仅仅通过初步的整理和绘制成相应的图表，还远远不能满足变形监测分析工作的要求，因为这些图表只能用于初步地判断建筑物的运行情况。对于建筑物产生的变形值是否异常，变形与各种作用因素之间的关系，预报未来变形值的大小和判断建筑物安全的情况等问题都不可能确切地解答。变形分析的任务是根据具有一定精度的观测资料，经过数学上的合理处理，从而寻找出建筑物变形在空间的分布情况及其在时间上的发展规律性，掌握变形量与各种内、外因素的关系，确定出建筑物变形中正常和异常的范围，防止变形朝不安全的方向发展。有些变形监测的目的在于验证建筑物设计的正确性以及反馈难于用通常方法获得的多种有用信息等。为达到上述这许多目的，变形监测资料合理而准确的处理是一件极为重要的工作。建筑物变形和各变形因素之间的关系复杂，但从数理统计的理论出发，对建筑物的变形量与各种作用因素的关系，在进行了大量的试验和观测后，仍然有可能寻找出他们之间的一定规律性。这种处理变形监测资料的方法称为回归分析法。建立起来的数学模型称为统计分析模型。回归分析法是数理统计中处理存在着相互关系的变量和因变量之间关系的一种有效方法，它也是变形监测资料分析中常用的方法。传统的统计分析模型有一元线性统计模型，多元线性统计模型，逐步回归分析模型等。变形量和引起变形的因子之间的关系除了可以用回归分析法处理外，还可以通过变形体或建筑物的结构分析，根据各种荷载的组合情况、建筑物材料的物理力学特性以及边界条件等因素计算出应力与变形之间的关系，从而建立变形体的确定性模型进行分析。这种处理变形分析的方法，能比较深刻地揭示建筑物结构的工作状况，对进一步理解和分析变形的产生有很大作用。将统计模型和确定性模型进行有机结合的模型称为混合模型。新近几年又发展了灰色系统模型、时间序列分析模型、神经网络模型等；这些模型在建筑物变形监测中都已经得到较好的应用。模型分类——数学方法统计模型确定性模型混合模型灰色系统模型时间序列模型神经网络模型其他模型模型分类——测点分布单测点模型多测点模型一维分布模型型二维分布模型型空间分布模型型时空分布模型型统计模型统计模型是建建立在数理统统计基础上的的一种模型。。统计模型是通通过分析所观观测的物理量量和环境量之之间的相关性性，来建立荷荷载与监测量量之间关系的的数学模型，，该方法利用用的是过去的的变形观测数数据，因此，，具有“后验验”的性质。。建立统计模型型的主要手段段是回归分析析。统计模型的一一大缺陷是它它需要的样本本个数(数据量)较多，这样在在大坝的运行行初期由于没没有大量的观观测数据，统统计模型的可可靠性就较低低，从而使模模型的预报精精度受到较大大的影响。统计模型基本本表达式式中：H为水位类因子子集；T为温度类因子子集；θ为时效类因子子集；x、y、z为测点的空间间坐标。由于各种监测测量受到的环环境量影响程程度有较大的的差异，因此此，在实际建建模中，常根根据不同监测测量类型拟定定不同的监控控模型形式。。单测点统计模模型一维分布统计计模型二维分布统计计模型空间分分布模模型确定性性模型型确定性性模型型是一一种建建立在在物理理力学学概念念基础础上的的模型型，它它结合合大坝坝和基基础的的实际际工作作状态态，应应用有有限元元方法法或工工程力力学方方法计计算外外荷载载作用用下大大坝和和基础础的位位移场场，然然后以以实测测值进进行校校验，，求得得反映映大坝坝和基基础的的平均均力学学参数数的调调整系系数，，从而而建立立确定定性模模型。。确定定性性模模型型的的计计算算方方法法主主要要有有：：有有限限差差分分法法、、有有限限单单元元法法和和单单元元边边界界法法。。由于于水水压压分分量量和和温温度度分分量量是是用用力力学学方方法法计计算算求求得得，，它它可可以以包包括括可可能能发发生生的的极极限限状状态态，，因因此此，，这这种种模模型型的的外外延延能能力力较较强强。。由于于各各种种分分量量独独立立计计算算，，克克服服了了统统计计模模型型计计算算中中，，由由于于因因子子的的关关联联而而产产生生的的各各分分量量计计算算不不准准确确的的问问题题。。确定定性性模模型型的的建建立立需需进进行行大大量量的的有有限限元元计计算算，，因因此此，，建建模模费费用用较较高高。。在实实际际应应用用中中，，由由于于缺缺少少建建筑筑物物的的温温度度场场资资料料或或温温度度场场资资料料误误差差大大、、不不完完善善，，材材料料的的力力学学参参数数等等的的误误差差影影响响，，确确定定性性模模型型预预测测的的精精度度有有时时不不能能令令人人满满意意，，从从而而影影响响了了其其实实际际应应用用。。单测测点点确确定定性性模模型型空间间分分布布确确定定性性模模型型混合合模模型型混合合模模型型是是综综合合利利用用统统计计分分析析和和确确定定函函数数法法建建立立分分析析模模型型的的一一种种方方法法。。这这种种方方法法主主要要考考虑虑到到前前面面两两种种基基本本方方法法的的优优缺缺点点，，综综合合两两种种方方法法的的优优点点进进行行。。混合合模模型型以以有有限限元元方方法法求求得得水水压压分分量量的的表表达达式式，，而而将将温温度度分分量量计计算算改改用用统统计计方方法法求求得得，，即即用用常常规规的的温温度度因因子子和和时时效效因因素素组组成成分分析析模模型型，，用用统统计计方方法法求求得得最最佳佳回回归归方方程程，，并并用用实实测测值值进进行行校校正正和和修修改改，，从从而而使使预预测测模模型型更更加加接接近近实实际际。。混合合模模型型形形式式灰色色系系统统模模型型灰色色系系统统理理论论是是80年代代初初由由我我国国学学者者邓邓聚聚龙龙教教授授提提出出并并发发展展起起来来的的，，该该理理论论主主要要研研究究解解决决灰灰色色系系统统的的分分析析、、建建模模、、预预测测、、决决策策和和控控制制。。灰色色系系统统理理论论提提供供了了在在贫贫信信息息情情况况下下解解决决系系统统问问题题的的新新途途径径。。一一个个贫贫信信息息的的系系统统或或灰灰色色信信息息的的系系统统，，称称为为灰灰色色系系统统。。表表征征灰灰色色系系统统行行为为的的离离乱乱观观测测数数据据，，按按生生成成原原理理处处理理后后可可建建立立系系统统的的灰灰色色模模型型。。灰色系统统理论提提出了一一种新的的分析方方法，它它对样本本量的多多少没有有过分要要求，也也不需要要典型的的分布规规律，计计算工作作量小，，因此，，灰色系系统在许许多领域域中得到到应用。。灰色模型型从不同同角度，，不同关关系，不不同用途途着眼就就有不同同的模型型，灰色色系统理理论用到到的模型型一般是是微分方方程描述述的动态态模型，，时间函函数形式式的时间间响应模模型，拉拉普拉斯斯变换关关系描述述的线性性常系数数的系统统动态模模型。由于灰色色系统理理论研究究的是信信息不完完全的对对象，内内涵不确确定的概概念，关关系不明明的机制制。因此此，在研研究过程程中，显显然是问问题多、、难度大大，特别别是模型型结果对对大坝变变形物理理成因的的解释还还不很明明确，因因此，还还需要进进一步地地完善和和发展。。统计模型型存在的的问题①法矩矩阵的病病态性当法矩阵阵存在病病态性时时，参数数估计的的准确性性和稳定定性将大大大降低低，从而而使模型型的可靠靠性受到到影响。。解决法矩矩阵病态态性问题题的主要要方法是是采用新新的估计计方法，，如：岭岭估计、、主成分分估计、、Stein压缩估计、根根方估计、特特征根估计等等有偏估计方方法，它们有有效地克服了了法矩阵的病病态性对LS估计的影响。。②粗差影响响当观测值中不不可避免地含含有粗差时，，LS估计会受到很很大的干扰，，导致计算成成果不可靠。。目前，解决粗粗差问题的有有效方法主要要方法两类，，一类是基于于函数模型的的检验方法，，如数据探测测法等；另一一类是基于随随机模型的抗抗差估计方法法，如：Huber的抗差M-估计等，它们们能有效地抵抵抗粗差的干干扰，克服了了LS估计易受粗差差影响的问题题。③线性相关关问题系数矩阵A（环境量观测值值）中的列向向量之间往往往存在近似多多重共线性关关系，这将使使参数估值的的方差变大，，精度降低，，稳定性变差差，从而使各各种分量的分分离不准确，，回归模型的的可靠性也受受到影响。造成线性相关关的主要原因因主要有两种种，一种是变变量之间客观观上就存在近近似线性相关关，这在多输输入、多输出出复杂系统中中经常出现；；另一种可能能是由于收集集数据的局限限性所引起，，这在变形监监测的初期常常常遇到。解决自变量线线性相关的主主要方法有：：a）通过数据的收收集整理和加加工消除多重重共线性可以通过重新新收集和扩大大收集数量，，或者对数据据进行分解、、综合、降维维等技术处理理来消除共线线性。例如，，当样本为时时间序列数据据时，利用差差分法对数据据进行变换。。b）设法排除引起起多重共线性性的变量这类方法比较较多，有基于于自变量的多多重相关平方方和的多重相相关法，基于于一组变量内内部的多重相关系数的的方法，逐步回归法等等。c）适当选取参数数的估计方法法如：岭估计、、主成分估计计、特征根估估计、部分最最小二乘估计计等，它们共共同特点是有有偏估计。模型误差对监监控模型的影影响在因子过多的的情况下，所所估计的原参参数其无偏性性不改变，方方差变大，单单位权方差估估计仍保持无无偏性。在因子不足的的情况下，原原参数估计有有偏，所估单单位权方差也也有偏。定权不正确将将影响估计量量的最优性，，使估计精度度降低，使单单位权方差估估计有偏。人工神经网络络模型传统模型一般般要求大子样样的测值样本本，而且测值值的时空遍历历性要较好，，如果这些条条件不满足，，则所建监控控模型的精度度和可靠性一一般都比较差差。由于因子之间间的相关性的的影响，各种种影响因素的的分离结果往往往不很准确确。传统方法建立立的监控模型型由于不再考考虑以后测值值的发展趋势势，其预报时时段往往较短短，从而不得得不定期地重重建监控模型型。人工神经网络络是一种用计计算机模拟生生物机制的方方法，它不要要求对事物机机制有明确的的了解，系统统的输出取决决于系统输入入和输出之间间的连接权，，而这些连接接权的数值则则是通过训练练样本的学习习获得，这种种方式对解决决机理尚不十十分明确的问问题特别有效效。由于引起大坝坝变形等的因因素十分复杂杂，再加上各各工程的具体体条件千差万万别，许多理理想条件下的的理论模型很很难应用于实实际，确定性性的模型需随随着时间和地地点的改变而而不断修改模模型的参数甚甚至模型的结结构，因而失失去了模型的的普遍性。在在这种情况下下，以实测资资料为基础的的神经网络无无疑是一种有有效的途径。。BP算法存在的主主要问题收敛速度慢在建立模型时时，网络的训训练往往需要要很长的时间间，这对建立立大批量测点点模型十分不不利，收敛速速度慢只在建建立模型时表表现得突出。。存在不少局部部最小点从数学上看，，BP可看作非线性性的梯度优化化问题，因此此，不可避免免地存在局部部极小问题，，从而造成网网络完全得不不到训练。另另外，初始随随机加权的大大小，对局部部最小的影响响也很大，如如果这些加权权太大，一开开始就可能使使网络处于S形函数的饱和和区，则系统统有可能陷入入局部最小。。隐含结点个数数难以确定目前，网络的的隐含结点个个数的选取尚尚缺少统一而而完整的理论论指导，分析析人员只能凭凭经验或通过过多次试算确确定隐含层结结点的个数。。由于不同问问题所需要的的隐含层结点点数有较大的的差异，因此此，这种选择择方法存在明明显的盲目性性。实践经验验表明，过多多或过少的隐隐含层结点数数对网络训练练结果都是不不利的。计算参数选取取困难在开始网络训训练时，需要要设定迭代步步长和惯性系系数，这些参参数目前尚无无明确的理论论计算公式，，分析人员一一般根据自己己的经验选取取。当这些参参数选取不当当时，会引起起网络振荡甚甚至导致网络络麻痹而不能能收敛，从而而不能得到计计算结果。关键问题在神经网络建建模过程中，，应合理地确确定隐含层神神经元的数量量，过少的隐隐含层神经元元数量将严重重影响模型的的预测精度，，过多的隐含含层神经元数数量，不仅大大大增加计算算工作量，而而且使模型的的表面精度提提高，而使模模型的粗差检检验能力降低低，这对监控控模型是十分分不利的。因因此，在实际际工作中，应应根据具体情情况，经训练练样本多次试试算后，再确确定隐含层的的神经元数量量。灰色动态神经经网络模型输入层优化根据监测物理理量的影响分分析，确定模模型的因子集集利用灰色关联联分析方法，，对因子集中中的各因子与与监测物理量量进行关联分分析，计算各各因子与监测测量之间的关关联系数，确确定因子关联联序根据关联序和和工程实际情情况确定输入入层的因子和和个数网络学习设输入层结点点个数为n，输出层结点个个数为m，隐含层结点个个数为n0，并设有N个样本（xk，yk）（k=1，2，…，N），xk∈Rn，yk∈Rm的样本集为S1，xk为输入，yk为其预期相应应的输出；另另有M个样本（x’k，y’k）（k=1，2，…，M）的样本集S2。学习过程（1）初始化f1=1，f2=1；（2）根据样本S1学习得权矩矩阵W；（3）由S2验证权矩阵阵W，若正确，则则f1=1，否则，f1=0；（4）根据样本S2学习得权矩矩阵W；（5）由S1验证权矩阵阵W，若正确，则则f2=1，否则，f2=0；（6）若P(f1∧f2)=1，则计算结束束，否则，，增加L个隐含结点点，转(2)。8.2统计模型的的建立定义是指从数理理统计的理理论出发，，对建筑物物的变形量量与各种作作用因素的的关系，进进行大量的的试验和观观测后，寻寻找出它们们之间的规规律性的处处理变形监监测资料的的方法，它它是变形监监测资料分分析中常用用的方法。。用此法建立立起来的数数学模型称称为统计分分析模型。。一元线性回回归分析定义：是利用回归归分析确定定两个互为为线性关系系的变量间间相互关系系的方法。。一元线性回回归的数学学模型：回归方程：：评价回归方方程好坏用用相关系数数，越接接近于1，方程越有有效。一元线性回回归分析多元线性回回归在实际工作作中，建筑筑物的变形形是比较复复杂的，是是由多种因因数的影响响而产生的的综合反映映。建筑物的变变形量与作作用因子间间通常并不不完全是线线性关系。。仅用一元线线性回归分分析，在实实际工作中中不能完全全解决问题题，更主要要的是利用用多元回归归的方法进进行处理。。多元线性回回归数学模型表表达式：在最小二乘乘原理下，，利用间接接平差方法法列出方程程式，求解解出待定系系数：多元线性回回归回归方程：：回归方程的的精度估计计考察多元回回归方程的的回归效果果，据复相相关系数R来判断。多元回归分分析中，遇遇到各变量量之间的相相互关系关关系不是线线性时，可可先进行变变量代换，，把它们线线性化，进进而就可进进行多元回回归分析。。多元线性回回归方差分析与与逐步回归归原理总体思想利用回归分分析方法可可对建筑物物变形监测测资料进行行处理，但但在处理时时，回归方方程河宜的的数学模型型在开始时时不可能完完全确定下下来，因此此在回归开开始时，只只能根据经经验或对变变形量进行行某数学力力学的分析析后建立一一个初步的的回归方程程模型，然然后利用方方差分析原原理对各个个因子进行行显著性的的统计检验验，把作用用甚微的因因子剔除，，把那些考考虑不周而而遗漏掉的的显著因子子接纳进方方程中。回归效果显显著性的检检验（一）设初选选的数学模模型为：y=a0+a1x1+a2x2++akxk（二）进行多多元回归，，求出方程程中各带定定系数的最最佳估值及及每组观测测所对应的的应变量的的最佳估值值，由此求求出总差方方和Q、回归平方和和Q1及残差平方方和Q2之值上式表明，，总差方和和可以分成成两个部分分，一部分分称为回归归平方和Q1，主要反映回回归方程描描述变形量量与各变形形因子间相相互作用的的效果好坏坏。另一部部分称为残残差平方和和Q2，它反映了其其他各种随随机因素的的影响，如如观测误差差、回归模模型误差等等部分的作作用。对于一个确确定的变形形观测项目目，对于某某N组数据而言言，总差方方和Q是一个定值值，若Q1越大，则Q2越小，说明明回归方程程越有效。。所以回归归方程的好好坏，可从从Q1、Q2的比值大小确确定。回归方程中中各因子作作用显著性性的检验（一）第一次次回归后得得到的回归归方程如下下：求出相应的的残差平方方和Q2(二）在初选选模型中减减去一个因因子xk，另外进行回回归得第二二个回归方方程：此回归方程程相应的残残差平方和和Q2`(三）两个回回归方程的的残差平方方和之差值值Q2=Q2-Q2`上式式为为减减少少一一个个因因子子后后，，回回归归平平方方和和的的减减少少值值，，它它表表明明xk因子子对对回回归归平平方方和和的的贡贡献献大大小小。。（四四））构构造造统统计计检检验验量量在原原假假设设H0:ak=0下，，Q2/2是自自由由度度为为1的2变量量，，而而Q2`/2是自自由由度度为为（（n-k)的2变量量，，构造造统统计计检检验验量量在给给定定的的自自信信水水平平下，，判判断断是是否否接接纳纳xk因子子入入回回归归方方程程中中。。逐步回归归的计算算步骤（一）全面面回归