专题28 证明不等式的常见技巧-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（解析版）

专题28证明不等式的常见技巧【高考地位】证明数列不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的证明技巧。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地选择不等式的证明技巧.在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.方法一比较法万能模板内容使用场景一般不等式证明解题模板第一步通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系；第二步得出结论.例1设实数满足，求证：．【答案】详见解析.【解析】第一步，通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系：第二步，得出结论：考点：不等式的证明.【点评】两个多项式的大小比较常用的两种方法是作差法和作商法.【变式演练1】【2020年全国普通高等学校统一招生考试试验检测卷】设不等式的解集为且，．（1）证明：；（2）比较与的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）先将变成分段函数形式，即可求得集合M，则可得的范围，利用绝对值的三角不等式，即可进行证明；（2）将两式分别平方，利用作差法比较大小即可.【详解】（1）证明：∵，不等式等价为，解得，从而，∵，，∴且，∴．（2）∵，，∴，由（1）知，，即且，∴，即，故．方法二分析法万能模板内容使用场景一般不等式证明解题模板第一步从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件；第二步把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题；第三步如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立.例2设证明：。【答案】原命题等价于，利用分析法。【解析】第一步，从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件：第二步，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题：第三步，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立：【变式演练2】吉林省通化市梅河口五中2020届高三高考数学（文科）七模】设函数．（1）若的解集为，求实数，的值；（2）当，时，若存在，使得成立的的最大值为，且实数，满足，证明：．【答案】（1）或；（2）证明见解析.【分析】（1）就、、分类求解后结合已知的解集可得的值；（2）利用绝对值不等式求得最小值为，解不等式后可得，最后利用综合法和分析法可证.【详解】（1）即为，所以.若，，的解集不可能为，舍.当时，的解为，所以，解得.当时，的解为，所以，解得.综上，或.（2）当，时，，当且仅当时等号成立，故即，故，所以.故.因为，故，所以即.要证：，即证：，即证：，也就是即证：，即证：，也就是即证：，因为恒成立，故必成立，故.综上，.方法三综合法万能模板内容使用场景一般不等式证明解题模板第一步从已知或证明过的不等式出发，逐步推出其必要条件；第二步根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式；第三步得出结论.例3已知，，求证：【答案】详见解析.【解析】第一步，从已知或证明过的不等式出发，逐步推出其必要条件：第二步，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式：第三步，得出结论：【点评】其证明过程最关键的一步是连续利用两次基本不等式放缩得到所证的结果，但要特别注意的是两次不等式的放缩能否均取得到等号，需进行验证.【变式演练3】【四川省巴中市2021届高三零诊考试】已知.（1）若存在使得，求的取值范围；（2）记是（1）中的最大值且，证明.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）先求出，再解不等式即得解；（2）先证明，再结合基本不等式证明即得证.【详解】（1）由题得，所以，所以.（2）由题得，所以，因为，所以，(当且仅当时取等)所以.所以得证.方法四放缩法万能模板内容使用场景一般不等式证明解题模板第一步根据已知找出其通项公式；第二步然后运用恰当的放缩法对通项进行放缩；第三步利用数列求和公式即可得出结论.例4设求证【答案】详见解析.【解析】第一步，根据已知找出其通项公式：第二步，然后运用恰当的放缩法对通项进行放缩;第三步,利用数列求和公式即可得出结论:【点评】=1\*GB3①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！=2\*GB3②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里，其中等的各式及其变式公式均可供选用。【变式演练4】求证：.【答案】见解析.考点：放缩法；不等式的证明.【变式演练5】设、、是三角形的边长，求证.【答案】见解析.学&科网考点：放缩法；不等式的证明.【变式演练6】【四川省巴中市2021届高三零诊考试】已知数列满足，.（1）证明：数列为等差数列；（2）设，证明：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）根据1，结合等差数列的定义可证结论；（2）由（1）知，，根据放大后裂项求和，可证不等式成立.【详解】（1）因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）知，，所以，当时，，所以.方法五数学归纳法万能模板内容使用场景对于含有的不等式类型解题模板第一步验证当取第一个值时不等式成立；第二步当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立；第三步这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立得出结论.例5若，观察下列不等式：，，…，请你猜测将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。【答案】（x1+x2+…+xn）（）≥n2（n≥2），证明见解析【解析】第一步，验证当取第一个值时不等式成立：第二步，当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立：那么，当时，显然，当时，结论成立。第三步，这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立得出结论：由,知对于大于的整数，成立。（12分）考点：用数学归纳法证明不等式.【点评】应用数学归纳法最关键的一步是当假设使不等式在时成立的假设下，如何证明不等式在时也成立.学&科网考点：放缩法；不等式的证明.【变式演练7】已知数列{an}满足a1＝2，（n∈N*）.（1）求证：数列是等比数列；（2）比较与的大小，并用数学归纳法证明；（3）设，数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＜m对任意n∈N*恒成立，求实数m的取值范围.【来源】2021年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用））【答案】（1）证明详见解析；（2）；证明详见解析；（3）.【分析】（1）由得递推式，可得证明；（2）由（1）求出，再用数学归纳法证明；（3）求得，用裂项相消可求得答案.【详解】（1）证明：由得，且首项a1+1＝3≠0，∴数列是公比为-2，首项为3的等比数列.（2）由（1）知：，∴，∴，下面利用数学归纳法证明：.（i）n＝1时，|a1|＝|3﹣1|＝2，，∴|a1|≥.（ii）假设n＝k∈N*，|ak|≥.则n＝k+1，|ak+1|＝|3×2k﹣1|＝|2（3×2k﹣1﹣1）+1|≥+1≥.综上可得：n＝k+1时成立.综上可得：假设成立.因此∀n∈N*，.（3）∴，∴.【点睛】本题考查数列递推式、数学归纳法、数列的求和，要有好的运算能力、推理能力.方法六换元法万能模板内容使用场景对于一般的不等式证明解题模板第一步恰当的换元，适当的引入参数；第二步利用已知求出新元的取值范围；第三步根据现有的不等式放缩法得出结论.例7求证【答案】见解析.【解析】第一步，恰当的换元，适当的引入参数：第二步，利用已知求出新元的取值范围：第三步，根据现有的不等式放缩法得出结论：【点评】通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用.【变式演练8】已知：，求证：.【答案】见解析.考点：换元法；不等式的证明.【高考再现】1.【2016高考浙江理数】已知实数a，b，c（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100【答案】D考点：不等式的性质．【方法点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．2.【2015年陕西卷】设f(x)=lnx,0<a<A．q=r<pBC．p=r<qD【答案】C【解析】p=f(ab)=lnab，q=f(a+b2)=ln【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．3.【2014年四川卷】若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．ad＞bcB．ac＜bcC．ac＞bdD【答案】B【解析】因为c<d<0,所以-c>-d>0,0<1-c<14.【2014年四川卷】若则一定有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】本题主要考查不等关系。已知,所以，所以，故。故选5.【2011年上海市文科数学】若a,b∈RA．a2+b2>2abB．a+b≥2【答案】D【解析】试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确．考点：不等式的性质6.【2015高考浙江，理20】已知数列满足=且=-（）（1）证明：1（）；（2）设数列的前项和为，证明（）.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.学&科网试题分析：（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知，从而得证；（2）由和得，【考点定位】数列与不等式结合综合题.【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式，不等式的证明等知识点，属于较难题，第一小问易证，利用条件中的递推公式作等价变形，即可得到，再结合已知条件即可得证，第二小7.【2015高考广东，理21】数列满足，(1)求的值；(2)求数列前项和；(3)令，，证明：数列的前项和满足．【答案】（1）；（2）；（3）见解析．（3）依题由知，，，∴，记，则，∴在上是增函数，又即，8.【2015高考湖南，文21】函数，记为的从小到大的第个极值点。（I）证明：数列是等比数列；（II）若对一切恒成立，求的取值范围。【答案】（I）略；(II)试题解析：（I）因此，恒成立，当且仅当，解得，故实数的取值范围是。【考点定位】恒成立问题；等比数列的性质【名师点睛】解决数列与函数的综合问题时，如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明的方向，如果是不等式恒成立问题，要使用不等式恒成立的各种不同解法，如变量分离法、最值法、因式分解法等，总之解决这类问题把数列看做特殊函数，并把它和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．9.【2015高考陕西，文21】设(=1\*ROMANI)求；(=2\*ROMANII)证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.【答案】(=1\*ROMANI)；(=2\*ROMANII)证明略，详见解析.试题解析：(=1\*ROMANI)由题设，所以=1\*GB3①由=2\*GB3②=1\*GB3①=2\*GB3②得，所以【考点定位】1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.【名师点睛】（1）在函数出现多项求和形式，可以类比数列求和的方法进行求和；（2）证明零点的唯一可以从两点出发：先使用零点存在性定理证明零点的存在性，再利用函数的单调性证明零点的唯一性；（2）有关函数中的不等式证明，一般是先构造函数，再求出函数在定义域范围内的值域即可；（4）本题属于中档题，要求有较高逻辑思维能力和计算能力.10．【2019新课标1】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.【详解】（1）当且仅当时取等号，即：（2），当且仅当时取等号又，，（当且仅当时等号同时成立）又【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.【反馈练习】1．已知函数.（1）解不等式；（2）若正实数，满足，试比较与的大小.【来源】四川省大数据精准联盟2021届高三第三次统一监测文科数学试题【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分，和三种情况解不等式即可；（2）先利用作差法判断与1的大小，然后利用函数的单调性可得答案【详解】（1）由题当时，，得，此时不成立；当时，，得，此时取；当时，，得，此时取.综上，不等式的解集为.（2）.因为正实数，满足，即有，则，所以，由（1）已知函数为的增函数，所以.【点睛】关键点点睛：本小题主要考查含绝对值的不等式、基本不等式、不等式证明方法等基础知识；考查运算求解、推理论证等数学能力；考查分类与整合、化归与转化等数学思想，解题的关键是比较与1的大小，属于中档题2．设不等式的解集为M，．（1）求M；（2）证明．【来源】江西省鹰潭市第一中学2021届高三上学期第一次月考数学（文）试题【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）分段讨论可得解集；（2）平方之后比差可证得结果.【详解】（1）记，所以，原不等式等价于，解得，即原不等式解集；（2）由可知，，，即，，所以，故.3．已知实数，满足，．（1）求证：；（2）求证：．【来源】广西师大附属外国语学校2021届高三5月高考考前模拟考试数学（理）试题【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由绝对值三角不等式放缩得证；（2）用比差法：作差，变形，判断符号，写出结论.【详解】解法一：（1）由题意得．由绝对值三角不等式得所以．（2）由已知得，，所以，即．因为，，所以．所以由同向不等式相加得，得，即．解法二：（1）由题意知，当时，；当时，由绝对值三角不等式得．所以．（2）．由已知得，，所以所以.4．已知函数（1）求不等式的解集；（2）设，求证：.【来源】全国Ⅲ卷2021届高三数学（文）模拟试题（三）【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）所求不等式即为|2x+1|+|x﹣1|>3，然后分类讨论，去掉绝对值符号，解不等式即可；（2）利用分析法可知，即证(b﹣a)2<(ab﹣1)2，结合a，b∈M易得证.【详解】（1）由f(x)+f(2x+2)>3得|2x+1|+|x﹣1|>3，当时，原不等式可化为﹣(2x+1)﹣(x﹣1)>3，解得x<﹣1；当时，原不等式可化为(2x+1)﹣(x﹣1)>3，解得x>1，此时无解；当x>1时，原不等式可化为(2x+1)+(x﹣1)>3，解得x>1；综上，所求不等式的解集为(﹣∞，﹣1)∪(1，+∞)；（2）证明：要证，只需证，即证，即证|b﹣a|<|ab﹣1|，即证(b﹣a)2<(ab﹣1)2，而(ab﹣1)2﹣(b﹣a)2=a2b2﹣a2﹣b2+1=(a2﹣1)(b2﹣1)，由a，b∈M，得a2>1，b2>1，∴(a2﹣1)(b2﹣1)>0，即得证.【点睛】分析法证明不等式，结构是：要证——即证——即证……；然后证明一个简单的结论即可.5．已知函数，不等式的解集为A.（1）求A；（2）当a，时，证明：.【来源】安徽省合肥市第一中学2021届高三下学期6月最后一卷理科数学试题【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）讨论自变量取值范围去掉绝对值求解不等式即可；（2）通过分析法逐步证明最后只需证明一个明显成立的不等式即可．【详解】（1）当时，，解得(舍)；当时，，解得；当时，，解得.综上可知；（2）要证：只要证：只要证：只要证：只要证：，，，成立，所以原命题成立．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．6．已知函数.（1)解不等式；（2)记函数的最小值为，且，其中均为正实数，求证：【来源】贵州省铜仁市思南中学2021届高三第十二次考试数学（文）试题【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由题知，进而分，，三种情况讨论求解；（2）由绝对值三角不等式得，故，所以，再根据基本不等式得，故.【详解】（1）令，①当时，，则，②当时，，则，③当时，，则，综上,不等式的解集为；（2）因为，则，，则，又（当且仅当时取等号），所以，所以，即;【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于利用绝对值三角不等式得，进而转化为证明，再结合基本不等式求解即可.7．已知函数（）（1）求函数的单调区间；（2）当时，证明：对任意的，.【来源】宁夏银川一中2022届高三上学期第一次月考数学（文）试题【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，分和两种情况判断导数的正负，从而可求得函数的单调区间，（2）要证明，只需证明，构造函数，则问题转化为证明对任意的，，然后利用求出的最小值大于零即可【详解】（1）函数的定义域是，当时，对任意恒成立，所以，函数在区间单调递增；当时，由得，由，得，所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；综上：时，的单调增区间为，无单调减区间.时，的单调增区间为，单调减区间为.（2）当时，，要证明，只需证明，设，则问题转化为证明对任意的，，，易知在上单调递增，因为，，故存在唯一的使得，则满足，当x变化时，和变化情况如下表x0递减递增，因为，且，所以，因此不等式得证.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，解题的关键是要证明，只需证明，构造函数，则问题转化为证明对任意的，，然后利用导数解决即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题8．设，已知函数在点处的切线方程为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当时，．【来源】浙江省金华十校2021届高三下学期4月模拟考试数学试题【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（I）求导，根据导数几何意义即切线斜率，，结合，求得参数值.（II）由（Ⅰ）可知，分别证得（化简得），，从而将转化为，易知当，右式小于0.当时，函数单增，单减，则，从而证得结论.【详解】解：（Ⅰ）由题意得：，则，解得，又，可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，（ⅰ）先证：由，即，得证．（ⅱ）再证：．∵，令，则．当时，．即在上单调递增，∴，得证.（ⅲ）由（ⅰ）可得，即有．结合以上结论及（ⅱ）可得，当时，．令∴当，有；（ⅳ）当时，函数单增，单减则．综上，原不等式得证．【点睛】方法点睛：对于指数函数、幂函数、分式等函数组合成的不等式恒成立问题，可以通过放缩法证得.如本题中使用的，，将幂函数和指数函数均放缩成分式函数，易于求解.9．已知数列满足，.（1）证明：数列是等差数列；（2）令，证明：.【来源】福建省厦门市2021届高三5月二模数学（A卷）试题【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）依题意可得，再两边取倒数，即可得到，从而得证；（2）由（1）可得，则，利用放缩法得到，再利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解：（1）因为，所以，因为，所以﹐所以所以又因为.所以是以1为首项，公差为1的等差数列.（2）由（1）得，所以，所以，所以，所以即，【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．10．已知函数.（1）若时，，求实数的取值范围；（2）求证：.【来源】河南省洛阳市2021届高三二模数学（理）试题【答案】（1）；（2）证明见解析．【分析】（1）先分离参数转化为求函数的最小值，通过求导函数，进而分析单调性再求得最小值得出结果；（2）由（1）知：恒成立，即，则累加后结合放缩法即可证明命题．【详解】解：（1）不等式，即为，记，故，令，则，∵，∴在单调递增，故，故，故在上单调递增，故，故；（2）由（1）知：恒成立，即，令，则，故，，累加得：，故．【点睛】方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．11．已知数列的前n项和为，若.（1）求通项公式；（2）若，为数列的前n项和，求证：.【来源】2022届高三数学一轮复习【答案】（1）；