高考数学压轴专题易错题备战高考空间向量与立体几何难题汇编附答案

新《空间向量与立体几何》专题一、选择题.设〃？、〃是两条不同的直线，。、?是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若〃?_La,nila,则mJ_〃；②若a〃/7, 则〃?_!_/?：③若mHa，nila,则m//〃；④若〃z_La,a工p,则〃其中真命题的序号为（）A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④【答案】A【解析】【分析】逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项.【详解】对于命题①，潦〃Ha,过直线〃作平面夕，使得ac4=。，则。〃“，vml6z,。ua, ，命题①正确：对于命题②，对于命题②，若々，〃z_La,则〃?上），命题②正确；对于命题③，若加〃a,〃〃a,则，"与〃相交、平行或异面，命题③错误：对于命题④，若m_La,al。,则〃?u/7或加//夕，命题④错误.故选：A.【点睛】本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.内部的构造各不相同,鲁班锁玩具的直观图,KTr图1A.8（6+60+向.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的桦卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即梯卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和一般都是易拆难装.如图1，内部的构造各不相同,鲁班锁玩具的直观图,KTr图1A.8（6+60+向B.6（8+8>/2+>/3）C.8（6+6有+。D.6（8+86+。【答案】A【解析】【分析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表

面积公式计算即可.【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2走的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为JI，则该几何体的表面积为S=6x(2+2&-+8S=6x(2+2&-+8故选：A.【点睛】本题考查数学文化与简单几何体的表面枳，考查空间想象能力和运算求解能力..已知正方体A5CO—A与GA中，M，N分别为A5，的中点，则异面直线QM与5N所成角的大小为（）30°45°60°90°30°45°60°90°作4N的中点N',连接A.作4N的中点N',连接A.若m〃&则m〃/B.若m//K则m//6C.若巾_16,则mJJD.若m，/,则mj_6【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解【详解】如图:G”由题设可知则异面直线GM与5N所成角为“‘河£或其补角，设正方体的边长为4,由几何关系可得，W）w|二a,CM=6,6人1=闻，得RNf 即Z/V）WG=90。故选D【点睛】本题考查异面直线的求法，属于基础题.已知平而ac8=/,m是a内不同于/的直线，那么下列命题中错误的是（）【答案】D【解析】【分析】A由线面平行的性质定理判断.B根据两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面判断.C根据线面垂直的定义判断.D根据线面垂直的判定定理判断.【详解】A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；故选：D.【点睛】本题主要考查线线关系和面面关系，还考查了推理论证的能力，属于中档题..设。为平面，。，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）A.若b//a,则。//b B.若。_La,allb则C.若a_La,"15，则b//a D.若〃//&,则【答案】B【解析】【分析】利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】若c〃/a,b//a，则。与〃相交、平行或异面，故A错误；若cj_La,allb,则由直线与平面垂直的判定定理知Z?_La,故8正确；若cj_La,alb'则8//a或bua,故C错误；若a//a,： ,则b//a,或bua,或6与a相交，故。错误.故选：B.【点睛】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养..已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）

俯视图正视图俯视图正视图3兀12兀A,323兀12兀【答案】C【解析】【分析】该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，把这个三棱锥放到正方体中，即可求出其外接球的表面积.【详解】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，如图所示该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥A—5C3,AB=BC=BD=\..所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，球的直径力•为正方体体对角线的长.即zyJf+f+f=5所以外接球的表面积为4x产=故选：C.【点睛】本题考查几何体的三视图，考杳学生的空间想象能力，属于基础题..己知正方体AdQR-ABC。的棱441的中点为E，AC与80交于点。，平面。过点石且与直线0G垂直，若A6=l，则平面。截该正方体所得截面图形的面枳为（）C.叵2C.叵24【答案】A【解析】【分析】根据正方体的垂直关系可得6O_L平面ACGA，进而6O_LOQ,可考虑平面50E是否为所求的平面，只需证明。即可确定平面【详解】如图所示，正方体48co—Adan中，石为棱44的中点，AB=1»则0G2=1+4=之，OE~=A+—=—,EC.2=2+—=—,1 22 424 1 44OC：+OEZ=EC；,:.OE_LO£；又BDt平面ACC^,.•.8。_LOG，且0石口3。=。，平面50E，JLS邺de=~BD*OE=；x5/2x »即。截该正方体所得截面图形的面积为.4故选：A.【点睛】本题考查线面垂直的判定，考杳三角形面枳的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题..以下说法正确的有几个（）①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【解析】【分析】对四个说法逐一分析，由此得出正确的个数.【详解】①错误，如空间四边形确定一个三棱锥.②错误，直线可能和平面相交.③正确，根据公理二可判断③正确.④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行.综上所述，正确的说法有1个，故选B.【点睛】本小题主要考查空间有关命题真假性的判断，属于基础题..如图，在长方体ABC。—A4G。中，邳二|aq|=J?，Ma|=l而对角线A5上存在一点「，使得|AP|十|30取得最小值，则此最小值为（）A." B.3 C.1+7J D.2【答案】A【解析】【分析】把面A\B绕Afi旋转至面B\M使其与对角面\BCD,在同一平面上，连接“仅并求出，就是最小值.【详解】把面绕4/旋转至面BAM使其与对角面A8CR在同一平面上，连接MR.就是|AP|+|RP|的最小值，|AB|=|AO|=0,|A4J=1，「•tanZ4A8=9=.•.Z/M18=60°.所以NMAR=90+60=150°MD[=[aQ；+ '-2Al£)—-McosNMA^i=^l+3-2x2x^3x(-4)=-jl故选A.【点睛】

本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题.10.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）•正视图俯现留•正视图俯现留B.3对B.3对D.5又寸易证平面平面人5C£＞，平面PCD_L平面A.2对C.4对【答案】C【解析】【分析】画出该几何体的直观图P-ABCD，PAD,平面平面B4O,平面PA5，平面PCO,从而可选出答案.【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面A4O_L平面作POJ_A。于O,则有PO_L平而4BCD,POLCD,又八。_LCD,所以，CD_L平而以D,所以平面尸C0_L平面PAD，同理可证：平面E45_L平面B4O，由三视图可知：PO=AO=OD,所以，APLPD,又4P_LCD,所以，4P_L平面PCD,所以，平面Q46_L平面尸C。，所以该多面体各表面所在平而互相垂直的有4对.【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题.11.如图，在棱长为2的正方体A5CD—AqGA中，点M是AO的中点，动点P在底面45CD内（不包括边界），若4P〃平面46M,则G2的最小值是（）A闻 B2闻TOC\o"1-5"\h\z5 5C." D.晅5 5【答案】B【解析】【分析】在A"上取中点。，在5c上取中点N,连接DN,NB「BQQD,根据面面平行的判定定理可知平面4QON//平面AjBM,从而可得。的轨迹是DV（不含。,N两点）；由垂直关系可知当CP_L3N时，C/取得最小值：利用面积桥和勾股定理可求得最小值.【详解】如图，在AA上取中点。，在5C上取中点N,连接DN,NB「BQ，2D♦.•DN3BM,。。//人眼且平面瓦QON//平面ABM,则动点。的轨迹是DV（不含O,N两点）又CC;_L平面ABC。，则当CP_LON时，CJ取得最小值本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.12.己知〃71是两条不同的直线，0，/是两个不同的平面，则下列可以推出a_L々的是()A.〃7_!_/,/〃u/7,/_La b.m,ctc/3=I,muaC.in//I,m-LaJ±p D.I±ajnfll,m/ip【答案】D【解析】【分析】A,有可能出现。，夕平行这种情况B会出现平面。，夕相交但不垂直的情况C根据面面平行的性质定理判断Q,根据面面垂直的判定定理判断.【详解】对于A, 若/_L4,则a//〃，故4错误；对于B,会出现平面。，?相交但不垂直的情况，故B错误；对于C,因为"〃/,〃7_La,则/_La,又因为/〃/,故C错误；对于D,/J_a,in//1=>m±a,又由〃7〃尸=>a_L,故D正确.故选：D【点睛】本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题..设。，〃是两个不同的平面，加是直线且“加||77"是"。||夕〃的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：也Ud,也〃月得不到*因为0月可能相交，只要我和内户的交线平行即可得到叨〃月；阴匚《,・•・加和户没有公共点，・•・阴”月，即区用能得到冽〃£；・・・"物〃X?"是"必‘尸"的必要不充分条件.故选B.考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题：也？与并得不到区根据面面平行的判定定理，只有仪内的两相交直线都平行于£,而区户,并且也U2,显然能得到巾这样即可找出正确选项..如下图，在正方体48co—4月££\中，点反尸分别为棱84，ca的中点，点。为上底面的中心，过£、F、O三点的平面把正方体分为两部分，其中含A的部分为匕，

不含A的部分为匕，连接A和匕的任一点加，设4〃与平面4及ga所成角为。，则sma的最大值为（）.A走 R2/ 26 2遥2 5 5 6【答案】B【解析】【分析】连接EF,可证平行四边形EFGH为截面，由题意可找到AM与平面AdG2所成的角，进而得到sina的最大值.【详解】连接EF,因为EF〃面ABCD,所以过EFO的平面与平面ABCD的交线一定是过点。且与EF平行的直线，过点0作GH〃BC交CD于点G,交AB于H点，则GH〃EF,连接EH,FG,则平行四边形EFGH为截面，则五棱柱A4E/M—RC/G。为匕，三棱柱EBH-FCG为匕，设M点为匕的任一点，过M点作底面A4GA的垂线，垂足为N,连接AN,则/扬1/V即为AM与平面AM与平面44GA所成的角，所以乙也N=a,MN因为;而，要使0的正弦最大，必须MN最大，最小，当点M与点H重合时符合题意，故sina的最大值为【点睛】本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题.15.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面枳与侧面积之比为A.1：2 B.1：73C.1：旺 D.小：2【答案】C【解析】【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r,则高6=2r,・•.其母线长l=®. 傅="/=小w2,S底="故选C.【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面枳公式，属于基础题.16.己知正三棱柱A6C—AMG的所有棱长都相等，。是44的中点，则40与平面10BCQq所成角的正弦值为（）10A.五 B.空5 5【答案】D【解析】【分析】先找出直线4。与平面所成角，然后在△5£尸中，求出sin/Eq尸，即可得到本题答案.【详解】如图，取45中点石，作EF工BC于F,连接4瓦4尸，则NE芝尸即为人。与平面BCQd所成角.不妨设棱长为4,则5尸=1,5E=2,，EF=5B]E=2下...sin/£4/=g=史.2邪10故选：。【点睛】

本题主要考查直线与平面所成角的求法，找出线面所成角是解决此类题目的关键..圆锥（其中S为顶点，D为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1,则圆锥SD与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（）A.9:32 B.8:27 C.9:22 D.9:28【答案】A【解析】【分析】根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r的关系，从而得到圆锥的高与r关系，计算圆锥体积，由截面图得到外接球的半径R与r间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案.【详解】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为I,则侧面积为兀U,侧面积与底面积的比为」与nr侧面积与底面积的比为」与nr=；=2,则母线l=2r,圆锥的高为h= ,则圆锥的体积为［兀/h=@3 3设外接球的球心为0,半径为R,截面图如图，则0B=0S=RQD=h-R=32乃“在直角三角形B0D中，由勾股定理得05? +即='+（6『一R）一,展开整理得R=一0.，所以外接球的体积为:乃川=:〃x—=/32乃“V3 3 3 30寿3932——932故所求体枳比为寿丁32万「9a/3故选：A【点睛】本题考查圆锥与球的体积公式的应用，考查学生计算能力，属于中档题..某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为（）A.y[6 B.y/5 C.2 D.1【答案】A【解析】由三视图可知该多面体的直观图为如图所示的四棱锥尸—ABCD：其中，四边形A6C。为边长为1的正方形，尸石_1面48c且4E=1,PE=\-,AP= +PE>=&，BE=AB+AE=2,DE=JAD[+>6=近*-CE=ylBE2+BC1= »PB=+PE?=&PD=4PE?+DE?=不•・PC=y)CE2+PE2=yf6••最长棱为PC故选A.点睛:思考三视图还