有心圆锥曲线一类共同性质的探究

PAGE6有心圆锥曲线一类共同性质的探究吴享平(361000福建省厦门第一中学)我们知道，圆锥曲线有许多相同或相类似的性质，特别是定点、定值、定线等问题，是历年高考的重点与热点之一，虽然有些考题并非直接考查这些性质，但会从这些性质的某一侧面出发，多角度、多方位地编拟试题，因此，平时教学时，适当引导学生展开棎索与研究是很有必要的，圆锥曲线有些结论很美妙，且有“家族现象”.下面笔者就将有心圆锥曲线的一个共性展开探究，供读者参考与欣赏。１.从平时习题中引起的猜想.在高三的一次月考卷中有如下一道试题：题１.已知（I）求CD中点M的轨迹方程，（II）若圆C与x轴相交的左、右两点分别为A、B,且直线AC与BD相交于点P，试问点P是否在一条定直线上，如果在，写出该定线的方程；如果不在，说明理由.从后面的几次练习中又看到如下两道题：题２.已知A,B是双曲线C：的左、右两顶点，过该双曲线左焦点F的直线与双曲线C相交于C,D两点（A,B与C,D不重合），（I）若直线的斜率为２时，求弦CD的长；（II）若直线AC与BD相交于M,直线AD与BC相交于N，求证.题３.已知A,B是椭圆C:的左、右两顶点,直线：，与C有相异两交点E,F，（I）求实数的取值范围；（II）若直线AE与BF相交于M，直线AF与BE相交于点N，求证M,N两点恒在一条定直线上，并求出该直线方程.对以上三题的（II）进行求解后，容易产生如下猜测与联想：.对于有心圆锥曲线C:（m,n是两个不全为负数的两个非零实数），A,B是曲线C的直径（当C为椭圆时，A,B为一条轴（长轴或短轴）的两端点；当C为双线时，A,B为实轴两端点），直线与曲线C相交于相异两点C,D，且直线AC与直线BD相交于M，直线AD与直线BC相交于N.猜想１.当恒过直线AB上的一定点T时，M,N是否都在同一直线上？如果是，直线方程如何？猜想２.若M,N恒在同一直线上，则直线是否恒过直线AB上的一个定点？如果是，定点坐标如何？带着这些疑问与猜想展开探索，可以得到如下“美妙”的结论.２.有心圆锥曲线的一类共同性质探究为了表述方便，这里只论述A,B在x轴的情形（类似可得A,B在y轴情形）.性质１..对于有心圆锥曲线C:（n是非零常数），A、B分别是曲线C与x轴的左、右两交点，直线与曲线C相交于相异两点C,D（A,B,C,D四点互不重合），若直线AC与BD相交于M，直线AD与BC相交于N，则.证明:（如图１所示）由性质的条件知A，B,设，，则由A,C,M三点共线得①；同理可得以下各式②；③；④由①④得由②③得，由此可得.因为曲线C：:（n是非零常数），随着n取不同的值，可以表示过A，B两点的所有的有心圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线），所以该性质１的结论，对一切满足中心在线段AB的中点且经过A,B两点的有心圆锥曲线均成立.性质２.对于有心圆锥曲线C:（n是非零常数），A、B分别是曲线C与x轴的左、右两交点，若恒过定点T的直线与曲线C相交于相异两点C,D（A,B,C,D四点互不重合），且直线AC与BD相交于M；直线AD与BC相交于N，则点M，N恒在定直线上.证明：（以上参看性质１的证明过程）由①，②联立，解得（同理，也可解得），设直线的方程为，将与曲线C的方程联立即消去x得，，又将代入（a）式得（同理可也得），又由性质１知，点M，N都恒在定直线上.由于性质２的结论“点M，N都恒在定直线上”，这条定直线方程与曲线C方程中的系数n无关，因此，性质２不仅告诉我们“不论满足性质２条件的（过定点T的）直线怎样变动，性质２的结论成立”；而且告诉我们“不论满足性质２条件的曲线C怎样变化结论也都成立”，即以AB为直径的圆、以AB为一条轴（长轴或短轴）的所有椭圆或以AB为实轴的所有双曲线，满足性质２条件所产生的一切点M,N都恒在同一条定直线上（如下图２的（a）、（b）、（c）所示）.由性质２，我们证实了上面猜想１是正确的，那么上面的猜想２又如何呢?在性质２结论的引导下，容易得到如下的性质３.性质３.对于有心圆锥曲线C:（n是非零常数），A、B分别是曲线C与x轴的左、右两交点，直线：，在直线上任取一点M（点M既不在直线AB上又不在曲线C上），若直线AM，BM分别与曲线C相交的另一交点分别为C，D（A,B,C,D四点互不重合），则经过C,D两点的直线恒过定点T.事实上，设经过C,D两点的直线与x轴的交点为，由性质２可知直线AC与BD的交点M在直线上，于是，因此,性质３的结论成立，即上面的猜想２也是正确的.于是可将以上的３个性质总结成如下的结论：定理：对于有心圆锥曲线C:（n是非零常数），A，B，C,D是曲线C上不同于A,B的另外两个相异点，则直线CD恒过定点T的充要条件是直线AC与BD的交点（或直线AD与BC的交点）恒在定直线且上。特别地，当曲线C的方程为椭圆方程：时，记，若直线CD通过焦点F（或），则连结直线AC与直线BD（或直线AD与直线BC）的交点在准线（或）上；同样地，当曲线C的方程为双曲线方程：时，记，若直线CD通过焦点F（或），则连结直线AC与直线BD（或直线AD与直线BC）的交点在准线（或）上，于是，由定理可得如下一个推论：推论１：对于椭圆C:（或双曲线C：），A，B，C,D是曲线C上不同于A,B的另外两个相异点，则直线CD恒过其焦点的充要条件是直线AC与BD的交点（或直线AD与BC的交点）恒在该焦点所对应的准线上。３.从一道高考试题的推广可得三种圆锥曲线的一个定值结论２０１１年高考四川省理科第２１题如图３所示，椭圆有两顶点A、B，过其焦点F（０，１）的直线与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q.（１）当|CD|时，求直线的方程；（２）当P异于A、B两点时，求证：为定值。解：（I）略，（II）设P（t,0）根据定理的结论知：点Q在直线，此时a=1点Q在直线上，设Q，于是，，为定值１。由此，根据以上定理的结论，我们不难得到该题第（２）小题的一个一般性推广，得到以上定理的又一个推论推论２.对于有心圆锥曲线C:（n是非零常数），A，B，C,D是曲线C上不同于A,B的另外两个相异点，且直线CD与直线AB相交于一点P。若直线AC与直线BD交于点Q，则恒有（或若直线AD与BC相交于点R，则恒有）.证明：设P，由定理可知点Q在直线上，于是,记Q则＝，（同理可得），即推论２的结论成立.４.定理及推论在平面几何问题中的应用例１.（如图４（１）、（２）所示）在中，｜CA||CB|（即），AE,BF,CG分别是对应边上的高，的垂心为H，直线EF与直线AB相交于点P，O为AB边的中点，若记AB边长为,求证.证明：１）当都非直角时，以O为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则点E,F都在以AB为直径的圆C：上，由推论２很快可得.２）当有一个为直角时，不妨让，由例１的题设条件可知G,B,P,H,E五点重合，于是等式同样成立.综上述１）、２）可得例１的结论成立.事实上，由CG是AB边上的高，因此，在直线CG上的任意一点M，均有，于是可得如下一个结论，[结论]:对于满足｜CA||CB|（即）的任意，AE,BF分别是的边BC,AC上的高，直线EF与直线AB相交于点P，O为AB边的中点，都有例２.（如图５（１）、（２）所示）在非直角中，是两个不相等的锐角，AE,BF,C