高等数学2期末考试总复习课件

配合《数学（下）》使用微分方程、级数、空间解析几何、多元微分学和多元积分学2011级高数（下）复习重点配合《数学（下）》使用2011级高数（下）复习重点1第7章微分方程1.熟练掌握一阶微分方程的解法2.熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程特解的结构解：(1)所以方程为全微分方程，于是有：即所以方程通解为：第7章微分方程解：(1)所以方程为全微分方程，于是有：即22.已知连续函数f(x)满足求f(x)解：对所给方程两边求导，得为一阶线性方程，其通解为：由所给方程可得所以2.已知连续函数f(x)满足求f(x)解：对所给3【例3】求解【解】特征方程通解为：【例4】求解【解】特征方程特征根为：（二重根），通解为【例3】求解【解】特征方程通解为：【例4】求解【解】特征方程4第8章级数20%1.熟练掌握判别常见级数的敛散性2.熟练掌握常见幂级数的收敛域及和函数的求法3.准确理解狄里克雷定理的内涵4.准确理解正项级数判别法的内涵级数绝对收敛级数条件收敛1.判别级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？且收敛，所以原级数绝对收敛第8章级数20%级数绝对收敛级数条件收敛1.判别级数的敛52.级数（常数）(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关解：由而所以原级数绝对收敛3.设级数收敛，则必收敛的级数为解：因为收敛的级数加括号后仍然收敛.2.级数（常数）(A)发散(B)64.设有下列命题：(1)若收敛，则收敛.(2)若收敛，则收敛.(3)若，则发散.(4)若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是

(A)(1)(2). (B)(2)(3). (C)(3)(4). (D)(1)(4)解：(1)是错误的，如令

则收敛，而发散.(4)是错误的，如令

4.设有下列命题：(1)若收敛，则7解：5.求级数的和.故部分和为ex.求级数的和.解：5.求级数的和.故部分和为ex.求级数的和.8解：收敛半径R=3，且x=3时两边积分得6.求级数的收敛域及和函数.发散，收敛域(3,3].解：收敛半径R=3，且x=3时两边积分得6.求级数的9ex.求级数的收敛域及和函数.ex.求级数的收敛域及和函数.10第9章空间解析几何15%1.二次曲面的特性及其作图：2.常见的直线和平面方程特殊位置的平面方程：与坐标轴平行；与坐标面平行特殊位置的直线方程：与坐标轴平行，与坐标面垂直第9章空间解析几何15%2.常见的直线和平面方程特殊位113.求下列曲面在指定点的切平面和法线方程：4.求下列曲面与指定直线的位置关系：与轴与轴3.求下列曲面在指定点的切平面和法线方程：4.求下列曲面12第10章多元微分学30%1.多元函数重点概念之间个关系2.全微分的计算；3.会描绘多元复合函数符合关系图4.一阶复合函数偏导数的计算5.极值、最值和条件极值;实际应用问题函数连续函数偏导存在函数可微函数偏导连续P20第10章多元微分学30%函数连续函数偏导存在函数可微函数13P25P25141.求下列极限：2.求偏导数：，求（2，1）的方向导数.3.求方向导数：在(1,-1)处指向1.求下列极限：2.求偏导数：，求（2，1）的方向导数.154.求下列函数的一阶偏导数：5.求，在(1,1)处的梯度gradient。在（1，1，1）处的求散度divergence

。6.求在限制条件时的最大值和最小值。4.求下列函数的一阶偏导数：5.求，在(1,1)处的梯度16第11章重积分20%1.熟练掌握二重积分的极坐标2.会改变二重积分的积分次序3.熟练掌握用对称性计算重积分4.熟练掌握三重积分柱坐标1.设f(x)在[0,4]上连续，且D：x2+y2≤4,则在极坐标系下先对r积分的二次积分为__________.2.若区域D为(x－1)2+y2≤1,则二重积分的值为（）第11章重积分20%1.设f(x)在[0,4]上连续，173.

计算解：积分区域关于x,y

轴及原点对称，所以3.计算解：积分区域关于x,y轴及原点对称，所以18解知交线为解知交线为19高等数学2期末考试总复习课件20*6.

计算二重积分其中(05数二、三)解：如图,将D分成D1与D2两部分.

*6.计算二重积分其中(05数21*7.

求其中D是由圆所围成的平面区域(如图).解:令

由对称性注:对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(04数三)*7.求其中D是由圆所围成的平面区域(如图).解:令由对22*8.

设f(x)为连续函数，(A)2f(2).(B)f(2).(C)–f(2).(D)0.(04数一)解：交换积分次序，得

从而有

故应选(B)*9.

计算二重积分解：*8.设f(x)为连续函数，(A)2f(2).23第12章曲线积分与曲面积分15%1.熟练掌握格林公式及其常规题型2.熟练掌握高斯公式及其常规题型1.

计算其中ABCD为：取逆时针方向。解：

注:(1)第一步利用了边界方程化简被积函数；

(2)第二步用格林公式。

xoy11ABCD第12章曲线积分与曲面积分15%1.计算242.

设曲线积分与路径无关，其中具有连续导数，且(0)=0,计算解：与路径无关，所以又(0)=0，所以C=0，故(x)=x2.2.设曲线积分与路径无关，其中具有连续导数，且(0)253.

已知与路径无关，并求当P1，P2分别为(0,0),(1,1)时此积分的值.解：要曲线积分与路径无关，必须由此得f(x)满足的微分方程：解得3.已知与路径无关，并求当P1，P2分别为(0,0)264.

计算曲面积分其中是由曲面所围立体表面外侧.解:4.计算曲面积分其中是由曲面所围立体表面外侧.解:275.

计算曲面积分其中L是圆周按逆时针转一周6.

计算曲面积分其中S是曲面外侧7.

计算曲线积分其中L是沿曲线从（0，1）到5.计算曲面积分其中L是圆周按逆时针转一周6.计算曲面28配合《数学（下）》使用微分方程、级数、空间解析几何、多元微分学和多元积分学2011级高数（下）复习重点配合《数学（下）》使用2011级高数（下）复习重点29第7章微分方程1.熟练掌握一阶微分方程的解法2.熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程特解的结构解：(1)所以方程为全微分方程，于是有：即所以方程通解为：第7章微分方程解：(1)所以方程为全微分方程，于是有：即302.已知连续函数f(x)满足求f(x)解：对所给方程两边求导，得为一阶线性方程，其通解为：由所给方程可得所以2.已知连续函数f(x)满足求f(x)解：对所给31【例3】求解【解】特征方程通解为：【例4】求解【解】特征方程特征根为：（二重根），通解为【例3】求解【解】特征方程通解为：【例4】求解【解】特征方程32第8章级数20%1.熟练掌握判别常见级数的敛散性2.熟练掌握常见幂级数的收敛域及和函数的求法3.准确理解狄里克雷定理的内涵4.准确理解正项级数判别法的内涵级数绝对收敛级数条件收敛1.判别级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？且收敛，所以原级数绝对收敛第8章级数20%级数绝对收敛级数条件收敛1.判别级数的敛332.级数（常数）(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关解：由而所以原级数绝对收敛3.设级数收敛，则必收敛的级数为解：因为收敛的级数加括号后仍然收敛.2.级数（常数）(A)发散(B)344.设有下列命题：(1)若收敛，则收敛.(2)若收敛，则收敛.(3)若，则发散.(4)若收敛，则，都收敛.则以上命题中正确的是

(A)(1)(2). (B)(2)(3). (C)(3)(4). (D)(1)(4)解：(1)是错误的，如令

则收敛，而发散.(4)是错误的，如令

4.设有下列命题：(1)若收敛，则35解：5.求级数的和.故部分和为ex.求级数的和.解：5.求级数的和.故部分和为ex.求级数的和.36解：收敛半径R=3，且x=3时两边积分得6.求级数的收敛域及和函数.发散，收敛域(3,3].解：收敛半径R=3，且x=3时两边积分得6.求级数的37ex.求级数的收敛域及和函数.ex.求级数的收敛域及和函数.38第9章空间解析几何15%1.二次曲面的特性及其作图：2.常见的直线和平面方程特殊位置的平面方程：与坐标轴平行；与坐标面平行特殊位置的直线方程：与坐标轴平行，与坐标面垂直第9章空间解析几何15%2.常见的直线和平面方程特殊位393.求下列曲面在指定点的切平面和法线方程：4.求下列曲面与指定直线的位置关系：与轴与轴3.求下列曲面在指定点的切平面和法线方程：4.求下列曲面40第10章多元微分学30%1.多元函数重点概念之间个关系2.全微分的计算；3.会描绘多元复合函数符合关系图4.一阶复合函数偏导数的计算5.极值、最值和条件极值;实际应用问题函数连续函数偏导存在函数可微函数偏导连续P20第10章多元微分学30%函数连续函数偏导存在函数可微函数41P25P25421.求下列极限：2.求偏导数：，求（2，1）的方向导数.3.求方向导数：在(1,-1)处指向1.求下列极限：2.求偏导数：，求（2，1）的方向导数.434.求下列函数的一阶偏导数：5.求，在(1,1)处的梯度gradient。在（1，1，1）处的求散度divergence

。6.求在限制条件时的最大值和最小值。4.求下列函数的一阶偏导数：5.求，在(1,1)处的梯度44第11章重积分20%1.熟练掌握二重积分的极坐标2.会改变二重积分的积分次序3.熟练掌握用对称性计算重积分4.熟练掌握三重积分柱坐标1.设f(x)在[0,4]上连续，且D：x2+y2≤4,则在极坐标系下先对r积分的二次积分为__________.2.若区域D为(x－1)2+y2≤1,则二重积分的值为（）第11章重积分20%1.设f(x)在[0,4]上连续，453.

计算解：积分区域关于x,y

轴及原点对称，所以3.计算解：积分区域关于x,y轴及原点对称，所以46解知交线为解知交线为47高等数学2期末考试总复习课件48*6.

计算二重积分其中(05数二、三)解：如图,将D分成D1与D2两部分.

*6.计算二重积分其中(05数49*7.

求其中D是由圆所围成的平面区域(如图).解:令

由对称性注:对于二重积分，经常利用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简单区域来简化计算.(04数三)*7.求其中D是由圆所围成的平面区域(如图).解:令由对50*8.

设f(x)为连续函数，(A)2f(2).(B)f(2).(C)–f(2).(D)0.(04数一)解：交换积分次序，得

从而有

故应选(B)*9.

计算二重积分解：*8.设f(x)为连续函数，(A)2f(2).51第