高等数学定积分在几何上的应用课件

第五章定积分及其应用第一节定积分及其计算第二节定积分在几何上的应用第三节定积分在物理上的应用1第五章定积分及其应用第一节定积分及其计算第二节定积分在几何上的应用

一.定积分的微元法二.定积分求平面图形的面积本节主要内容:三.定积分求体积四.平面曲线的弧长2第二节定积分在几何上的应用

一.定积分的一.定积分的微元法设曲边梯形由连续曲线以及两直线所围成,曲边梯形的面积解决步骤:1)分割2)取近似3)求和4)取极限3一.定积分的微元法设曲边梯形由连续曲线以及两直线所围成设函数y=f(x)在[a,b]上连续,(1)在区间[a,b]上任取小区间[x,x+dx],相应地小区间上面积的近似值为:

ΔA≈f(x)dxabxyo面积元素记作dA(2)将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得4设函数y=f(x)在[a,b]上连续,(1)在区应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:

1)选取积分变量,确定它的变化区间[a,b];2)在区间[a,b]上任取一个小区间[x,x+dx],并在小区间上找出所求量F的微元dF=f(x)dx(局部近似值);3)求定积分5应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:1)选取积分变量,二.定积分求平面图形的面积(一)直角坐标系下平面图形面积的计算

1.由曲线y=f(x)和直线x=a,x=b,y=0所围成曲边梯形曲边梯形的面积面积微元:6二.定积分求平面图形的面积(一)直角坐标系下平面图形面积的计2.求由两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x))及直线x=a,x=b所围成平面曲边梯形的面积面积微元:X-型72.求由两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x3.求由两条曲线x=(y),x=(y),((y)(y))及直线y=c,y=d所围成平面曲边梯形的面积:面积微元:Y-型83.求由两条曲线x=(y),x=(y),((y)例1求由y2=x,y=x2

所围成的图形的面积选x为积分变量

x[0,1]两曲线的交点(0,0),(1,1)面积微元:9例1求由y2=x,y=x2所围成的图形的面积选例2求由y2=2x,y=x-4所围成的图形的面积两曲线的交点选为积分变量10例2求由y2=2x,y=x-4所围成的图形的面积42–24–4问题若选x为积分变量呢？1142–24–4问题若选x为积分变量呢？11例3求由y=cosx,y=sinx在区间[0,]上所围成的图形的面积.两曲线的交点12例3求由y=cosx,y=sinx在区间[0,设曲边梯形的曲边参数方程为其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公式经过定积分的换元法得到:参数方程情形:13设曲边梯形的曲边参数方程为其面积的计算公式可由直角坐标下曲边例4求摆线的一拱与x轴围成的图形的面积.14例4求摆线14椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例5求椭圆的面积.15椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例5在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线Ox叫做极轴.极坐标系:极坐标系是由一个极点和一个极轴构成,极轴的方向为水平向右.①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可.16在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定θOρM点的极坐标

设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到OM的角度,那么ρ叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.17θOρM点的极坐标设M点是平面内任意一点,如果ρ是正的,则在OP上取一点M使得OM=ρ;如果ρ是负的,则在OP的反向延长线上取一点M使得OM=ρ.极角θ为正表示逆时针旋转,为负表示顺时针旋转.θOρMP18如果ρ是正的,则在OP上取一点M使得OM=1919极坐标和直角坐标互化公式:极坐标化直角坐标公式直角坐标化极坐标公式20极坐标和直角坐标互化公式:极坐标化直角坐标公式直角坐标化(二)极坐标系下面积的计算曲边扇形是由曲线()及射线,(<)所围成的图形.1.取极角为积分变量,其变化区间为[,]以圆扇形面积近似小曲边扇形面积,得到面积元素:3.作定积分21(二)极坐标系下面积的计算曲边扇形是由曲线例6计算心形线=a(1+cos)

所围图形的面积22例6计算心形线=a(1+cos)所围图形的面积220xy所围面积.求双纽线练习230xy所围面积.求双纽线练习23解由对称性所围面积.求双纽线练习24解由对称性所围面积.求双纽线练习24求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)作出示意图;(弄清相对位置关系)(2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)(3)确定积分变量及被积函数;(4)计算积分.25求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)作出示意图

设立体介于平面x=a,x=b之间,立体内垂直于x轴的截面面积为A(x).三.定积分求体积(一)平行截面面积为已知的立体体积xA(x)dV=A(x)dxx.aVb体积元素为dv=A(x)dx.

26设立体介于平面x=a,x=b之间,立体内垂直例7设有底圆半径为R的圆柱,被一与圆柱面交成角且过底圆直径的平面所截,求截下的锲形体积.oyRxy–RRytan(x,y),截面积A(x)27例7设有底圆半径为R的圆柱,被一与圆柱面交成角且过底(二)旋转体的体积

旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体.这条直线叫做旋转轴.圆柱圆台圆锥28(二)旋转体的体积旋转体——由一个平面图形绕同平xf(x)ab曲边梯形:y=f(x),x=a,x=b(a<b),y=0绕x轴旋转29xf(x)ab曲边梯形:y=f(x),x=a,x=旋转体的体积元素考虑旋转体内点x处垂直于x轴厚度为dx的切片,用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,旋转体的体积

于是体积元素为

dV[f(x)]2dx.30旋转体的体积元素用圆柱体的体积[f(x)]2d当考虑连续曲线段绕y

轴旋转一周围成的立体体积时,31当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,31绕x轴旋转的椭球体,它可看作上半椭圆例8求由椭圆分别绕x轴及y轴旋转而成的椭球体的体积.与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成旋转椭球体的体积为32绕x轴旋转的椭球体,它可看作上半椭圆例8求由椭圆绕y轴旋转的椭球体,它可看作右半椭圆

与y轴围成的图形绕y轴旋转而成旋转椭球体的体积为33绕y轴旋转的椭球体,它可看作右半椭圆与y轴围成的图例9

把抛物线y24ax(a0)及直线xx0(x00)所围成的图形绕x轴旋转计算所得旋转体的体积.旋转椭球体的体积为34例9把抛物线y24ax(a0)及直线xx例10

由yx3

x2

y0所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转计算所得两个旋转体的体积

绕x轴旋转所得旋转体的体积为绕y轴旋转所得旋转体的体积为35例10由yx3x2y0所围成的图形分别四.平面曲线的弧长曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长36四.平面曲线的弧长曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长37曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长37例11

计算曲线上相应于x从a到b

的一段弧的长度.38例11计算曲线上相应于例12

计算摆线一拱的弧长.39例12计算摆线例13

求星形线的弧长.根据对称性第一象限部分的弧长40例13求星形线

1.定积分的微元法2.定积分求平面图形的面积内容小结:41

1.定积分的微元法2.定积分求平面图形的面积3.定积分求体积4.平面曲线的弧长(1)平行截面面积为已知的立体体积(2)旋转体的体积元素423.定积分求体积4.平面曲线的弧长第五章定积分及其应用第一节定积分及其计算第二节定积分在几何上的应用第三节定积分在物理上的应用43第五章定积分及其应用第一节定积分及其计算第二节定积分在几何上的应用

一.定积分的微元法二.定积分求平面图形的面积本节主要内容:三.定积分求体积四.平面曲线的弧长44第二节定积分在几何上的应用

一.定积分的一.定积分的微元法设曲边梯形由连续曲线以及两直线所围成,曲边梯形的面积解决步骤:1)分割2)取近似3)求和4)取极限45一.定积分的微元法设曲边梯形由连续曲线以及两直线所围成设函数y=f(x)在[a,b]上连续,(1)在区间[a,b]上任取小区间[x,x+dx],相应地小区间上面积的近似值为:

ΔA≈f(x)dxabxyo面积元素记作dA(2)将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得46设函数y=f(x)在[a,b]上连续,(1)在区应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:

1)选取积分变量,确定它的变化区间[a,b];2)在区间[a,b]上任取一个小区间[x,x+dx],并在小区间上找出所求量F的微元dF=f(x)dx(局部近似值);3)求定积分47应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:1)选取积分变量,二.定积分求平面图形的面积(一)直角坐标系下平面图形面积的计算

1.由曲线y=f(x)和直线x=a,x=b,y=0所围成曲边梯形曲边梯形的面积面积微元:48二.定积分求平面图形的面积(一)直角坐标系下平面图形面积的计2.求由两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)g(x))及直线x=a,x=b所围成平面曲边梯形的面积面积微元:X-型492.求由两条曲线y=f(x),y=g(x)(f(x3.求由两条曲线x=(y),x=(y),((y)(y))及直线y=c,y=d所围成平面曲边梯形的面积:面积微元:Y-型503.求由两条曲线x=(y),x=(y),((y)例1求由y2=x,y=x2

所围成的图形的面积选x为积分变量

x[0,1]两曲线的交点(0,0),(1,1)面积微元:51例1求由y2=x,y=x2所围成的图形的面积选例2求由y2=2x,y=x-4所围成的图形的面积两曲线的交点选为积分变量52例2求由y2=2x,y=x-4所围成的图形的面积42–24–4问题若选x为积分变量呢？5342–24–4问题若选x为积分变量呢？11例3求由y=cosx,y=sinx在区间[0,]上所围成的图形的面积.两曲线的交点54例3求由y=cosx,y=sinx在区间[0,设曲边梯形的曲边参数方程为其面积的计算公式可由直角坐标下曲边梯形的面积公式经过定积分的换元法得到:参数方程情形:55设曲边梯形的曲边参数方程为其面积的计算公式可由直角坐标下曲边例4求摆线的一拱与x轴围成的图形的面积.56例4求摆线14椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例5求椭圆的面积.57椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．例5在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线Ox叫做极轴.极坐标系:极坐标系是由一个极点和一个极轴构成,极轴的方向为水平向右.①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可.58在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定θOρM点的极坐标

设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到OM的角度,那么ρ叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.59θOρM点的极坐标设M点是平面内任意一点,如果ρ是正的,则在OP上取一点M使得OM=ρ;如果ρ是负的,则在OP的反向延长线上取一点M使得OM=ρ.极角θ为正表示逆时针旋转,为负表示顺时针旋转.θOρMP60如果ρ是正的,则在OP上取一点M使得OM=6119极坐标和直角坐标互化公式:极坐标化直角坐标公式直角坐标化极坐标公式62极坐标和直角坐标互化公式:极坐标化直角坐标公式直角坐标化(二)极坐标系下面积的计算曲边扇形是由曲线()及射线,(<)所围成的图形.1.取极角为积分变量,其变化区间为[,]以圆扇形面积近似小曲边扇形面积,得到面积元素:3.作定积分63(二)极坐标系下面积的计算曲边扇形是由曲线例6计算心形线=a(1+cos)

所围图形的面积64例6计算心形线=a(1+cos)所围图形的面积220xy所围面积.求双纽线练习650xy所围面积.求双纽线练习23解由对称性所围面积.求双纽线练习66解由对称性所围面积.求双纽线练习24求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)作出示意图;(弄清相对位置关系)(2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)(3)确定积分变量及被积函数;(4)计算积分.67求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:(1)作出示意图

设立体介于平面x=a,x=b之间,立体内垂直于x轴的截面面积为A(x).三.定积分求体积(一)平行截面面积为已知的立体体积xA(x)dV=A(x)dxx.aVb体积元素为dv=A(x)dx.

68设立体介于平面x=a,x=b之间,立体内垂直例7设有底圆半径为R的圆柱,被一与圆柱面交成角且过底圆直径的平面所截,求截下的锲形体积.oyRxy–RRytan(x,y),截面积A(x)69例7设有底圆半径为R的圆柱,被一与圆柱面交成角且过底(二)旋转体的体积

旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体.这条直线叫做旋转轴.圆柱圆台圆锥70(二)旋转体的体积旋转体——由一个平面图形绕同平xf(x)ab曲边梯形:y=f(x),x=a,x=b(a<b),y=0绕x轴旋转71xf(x)ab曲边梯形:y=f(x),x=a,x=旋转体的体积元素考虑旋转体内点x处垂直于x轴厚度为dx的切片,用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,旋转体的体积

于是体积元素为

dV[f(x)]2dx.72旋转体的体积元素用圆柱体的体积[f(x)]2d当考虑连续曲线段绕y

轴旋转一周围成的立体体积时,73当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,31绕x轴旋转的椭球体,它可看作上半椭圆例8求由椭圆分别绕x轴及y轴旋转而成的椭球体的体积.与x轴围成的平面图形绕x轴旋转而成旋转椭球体的体积为74绕x轴旋转的椭球体,它可看作上半椭圆例8求由椭圆绕y轴旋转的椭球体,它可看