配套课件-概率论与数理统计学习指导及习题解析-马继丰

第1章随机事件与概率第一节知识梳理第二节重点解析第三节典型例题第四节习题全解第1章随机事件与概率第一节知识梳理第一节知识梳理第一节知识梳理第二节重点解析

1.随机事件

1)随机试验

定义：在一定条件下，对某随机现象的一次观察或测量称为随机试验（简称试验），记为E。第二节重点解析

1.随机事随机试验具有以下三条性质：

（1）可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行。

（2）可观察性：每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果。

（3）不确定性：进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。随机试验具有以下三条性质：

（1）可重复性：

2)样本空间

定义：设E是一试验，其所有可能出现的结果组成的集合称为试验E的样本空间，记为S。样本空间的元素，也就是随机试验的直接结果，称为样本点。2)样本空间

定义：设E是一试验，其所有可

3)随机事件

定义：随机试验的若干个结果组成的集合称为随机事件（简称事件），常用大写字母A、B、C等表示。只含一个试验结果的事件称为基本事件。3)随机事件

定义：随机试验的若干个结果组成的

4)事件间的关系与运算

（1）事件的包含：如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于事件B，记做A

B。

（2）事件的相等:如果事件A包含于事件B，同时事件B也包含于事件A,即A

B且B

A，则称事件A与事件B相等，记做A=B。

（3）事件的和:“事件A与事件B至少有一个发生”的事件称为事件A与事件B的和，记做A∪B，当A与B不同时发生时，也可记做A+B。4)事件间的关系与运算

（1）事件的包含：如果（4）事件的积：“事件A与事件B同时发生”的事件称为事件A与事件B的积，记做A∩B或AB。

（5）事件的差：“事件A发生而事件B不发生”的事件称为事件A与事件B的差，记做A－B。

（6）互不相容事件：若事件A与事件B不可能同时发生，即AB=，则称事件A与事件B互不相容,也称为互斥。

（7）对立事件:“事件A不发生”的事件称为事件A的对立事件，记做A。事件A与事件B互为对立事件当且仅当AB=，A+B=S。（4）事件的积：“事件A与事件B同时发生”的事件

（8）事件运算满足的定律:设A、B、C为样本空间S中的事件，则有（8）事件运算满足的定律:设A、B、C

2.概率的统计定义

1)频率

定义：设随机事件A在n次重复试验中发生了m次，则称比值为事件A在n次重复试验中发生的频率。2.概率的统计定义

1)频率

定义：设

2)概率的统计定义

定义：设有随机试验E，若当试验的次数n充分大时，事件A发生的频率fn(A)稳定在某数p附近摆动，而且随着试验次数的增加，摆动幅度越来越小，则称数p为事件A的概率，记为P(A)=p。概率的这种定义，称为概率的统计定义。2)概率的统计定义

定义：设有随机试验E，若

3)概率的公理化定义

定义：设随机试验E的样本空间为S,若对于E的每一个事件A都有一个实数P(A)与之对应，且P(A)满足下列三个条件：

(1)非负性：P(A)≥0;

(2)规范性：P(S)=1;

(3)可列可加性：对于两两互不相容的事件A1,A2,…,A3,…,有

则称P(A)为事件A的概率。

概率的这种定义称为概率的公理化定义。3)概率的公理化定义

定义：设随机试验E的样本空4)概率的性质4)概率的性质

3.古典概型

1)古典概型（等可能概型）

定义：在古典型试验中，随机事件A发生的概率定义为

。其中，n为S中包含的基本事件总数，m为事件A中包含的基本事件数。由关系式计算事件概率的数学模型称为古典概型。3.古典概型

1)古典概型（等可能概型）

2)几何概型

定义：如果一个随机试验E具有以下两个特点：

（1）样本空间S是一个大小可以计量的几何区域（如线段、平面、立体）；

（2）向区域S内任意投一点，该点落在区域内任意点处都是“等可能的”,那么，随机点落在区域A的概率为

由上式计算事件概率的数学模型称为几何概型。2)几何概型

定义：如果一个随机试验E具有以下

4.条件概率

1)条件概率

定义：设A与B是两个随机事件，其中P(B)>0，规定

为事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。4.条件概率

1)条件概率

定义：设A

2)乘法定理

定理：设P(A)>0，P(B)>0，则有

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)2)乘法定理

定理：设P(A)>0，P(B)

3)全概率公式

定理：设S为随机试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为一组事件，且满足下列条件：

（1）B1，B2，…，Bn两两互斥，且；

（2）P(Bi)＞0(i=1，2，…，n),则对S中的任意一个事件

A都有3)全概率公式

定理：设S为随机试验E的样本空

4)贝叶斯公式

定理：设S为随机试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn

为样本空间S的一个划分，且P(A)＞0，P(Bi)＞0(i=1，2，…，n)，则有4)贝叶斯公式

定理：设S为随机试验E的样本空定义：设A、

B是随机试验E的两个事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。

定理：若事件A、B相互独立，且P(B)＞0，则P(A|B)=P(A)。定义：设A、B是随机试验E的两个事件，若满足P(A第三节典型例题

【例1.1】一个工人生产了3个零件，以事件Ai来表示他生产的i个零件是合格品(i=1，2，3)，试用Ai(i=1，2，3)表示下列事件：

(1)只有第一个零件是合格品(B1)；

(2)三个零件中只有一个合格品(B2)；

(3)第一个是合格品，后两个零件中至少有一个是次品(B3)；(4)三个零件中最多只有两个合格品(B4)；

(5)三个零件都是次品(B5)；

(6)三个零件中最多有一个次品(B6)。第三节典型例题

【例1.1】解（1）B1等价于“第一个零件是合格品，同时第二、三个都是次品”，故有

（2）B2等价于“第一个是合格品而第二、三个是次品”或“第二个是合格品而第一、三个是次品”或“第三个是合格品而第一、二个是次品”,故有解（1）B1等价于“第一个零件是合格品，同时（3）

（4）方法一:B4的逆事件是“三个零件都是合格品”,

故有

方法二：与B4等价的事件是“三个零件中至少有一个次品”，故有（3）

（4）方法一:B4的逆事件是“三（5）也可以利用事件“三个零件中至少有一个合格品”的逆事件与B5等价，得出

（6）B6等价于“三个事件中无次品”或“三个零件中只有一个次品”，故有

另外，也可以利用B6与事件“三个零件中至少有两个合格品”等价，得出（5）也可以利用事件“三个零件中至少

【例1.2】设随机事件A、

B、C满足CAB，

ＣAB,

证明AC=AB∪CB。

证明由于

故

【例1.2】设随机事件A、B、C满足CAB，从而故从而故

【例1.3】假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率。

解记A={目标进入射程}，Bi={第i次射击命中目标}(i=1，2),故所求概率为事件B=B1∪B2的概率。由于目标不在射程之内是不可能命中目标的，因此可利用全概率公式来求解。【例1.3】假设目标出现在射程之内的概率为0.7由题意知P(A)=0.7，P(Bi|A)=0.6

(i=1，2),由于

P(AB)=0(A表示目标不在射程之内)，因此由全概率公式有由题意知P(A)=0.7，P(Bi|A)=0.由题意知B1与B2相互独立,从而

P(B1B2|A)=P(B1|A)P(B2|A)=0.6×0.6=0.36

由加法公式得

P(B1∪B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)－P(B1B2|A)

=0.6+0.6－0.36=0.84

故

P(B)=P(A)P(B1∪B2|A)=0.7×0.84=0.588由题意知B1与B2相互独立,从而

P(B1B

【例1.4】将n个人等可能地分配到N(n≤N)间房中去，试求下列事件的概率:

(1)A={某指定的n间房中各有一人}；

(2)B={恰有n间房，其中各有一人}；

(3)C={某指定的房中恰有m(m≤n)个人}。【例1.4】将n个人等可能地分配到N(n≤N)间解把n个人等可能地分配到N间房中去，由于并没有限定每间房中的人数，因此这是一个可重复的排列问题，分法共有Nn种。

（1）对于事件A，今固定某n间房，第一个人可分配到

n间房的任一间，有n种分法；第二个人可分配到余下的n－1间房中的任一间，有n－1种分法。依次类推，得到A共含有

n!个样本点。

故解把n个人等可能地分配到N间房中去，由于并没有（2）对于事件B，因为n间房没有指定，所以可先在N

间房中任意选出n间房（共有CnN种选法），然后对于选出来的某n间房，按照上面的分析，可知B共含有CnN·n!个样本

点。故（2）对于事件B，因为n间房没有指定，所以可先在N

(3)对于事件C，由于m个人可从n个人中任意选出，并不是指定的，因此有Cmn种选法，而其余的n－m个人可任意地分配到其余的N－1间房中，共有(N－1)n－m种分法，故C中共含有Cmn·(N－1)n－m个样本点。

因此(3)对于事件C，由于m个人可从n个人中任意选出，

【例1.5】从1~100的整数中任取一数，已知取出的数是不超过50的整数，求它是2或3的倍数的概率。

解记A={取出的数不超过50}，B={取出的数是2的倍数}，C={取出的数是3的倍数}，则所求概率为条件概率P(B∪C|A)，利用条件概率的性质进行计算。【例1.5】从1~100的整数中任取一数，已知由条件概率的性质知由条件概率的性质知由于，，故由于，，故

【例1.6】设P(A)＞0，试证。

证明由于P(A∪B)≤1，即P(A)+P(B)－P(AB)≤1,从而由乘法公式知

P(A)+P(B)－P(A)P(B|A)≤1

故

P(A)·P(B|A)≥P(A)－［1－P(B)］【例1.6】设P(A)＞0，试证因而有由于P(A)>0,因此得因而有由于P(A)>0,因此得

【例1.7】设有甲、乙、丙三门炮，同时独立地向某目标射击，各炮的命中率分别为0.2、0.3和0.5，目标被命中一发而被击毁的概率为0.2，被命中两发而被击毁的概率为0.6，被命中三发而被击毁的概率为0.9，求：

（1）三门炮在一次射击中击毁目标的概率；

（2）在目标被击毁的条件下，只由甲炮击中的概率。【例1.7】设有甲、乙、丙三门炮，同时独立地解设事件A1、A2、A3分别表示甲、乙、丙炮击中目标，D表示目标被击毁，Hi表示由i门炮同时击中目标(i=1，2，3)，则由全概率公式有

其中P(Hi)由题设条件及独立性求出，而第二问可由贝叶斯公式来处理。解设事件A1、A2、A3分别表示甲、乙、丙炮由题设知P(A1)=0.2，P(A2)=0.3，P(A3)=0.5

P(D|H1)=0.2，P(D|H2)=0.6，P(D|H3)=0.9

由于A1、A2、A3相互独立，故同理由题设知P(A1)=0.2，P(A2)=0.3，P(A（1）由全概率公式得（2）由贝叶斯公式得（1）由全概率公式得（2）由贝叶斯公式得第四节习题全解

1.1

简述下列基本概念：

（1）随机试验具有的三个特点；

（2）随机事件的定义；

（3）概率的统计定义。第四节习题全解

1.1简答（1）①可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行；②可观察性：每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；③不确定性：进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

（2）随机试验的若干个结果组成的集合称为随机事件（简称事件），常用大写字母A、B、C等表示。答（1）①可重复性：试验可以在相同的条件下（3）设有随机试验E，若当试验的次数n充分大时，事件A发生的频率fn(A)稳定在某数p附近摆动，而且随着试验次数的增加，摆动幅度越来越小，则称数p为事件A的概率，

记为P(A)=p。概率的这种定义，称为概率的统计定义。（3）设有随机试验E，若当试验的次数n充分大时，事

1.2

写出下列随机试验的样本空间:

（1）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；

（2）会议室的所有人员是教师、学生或工人，从中随机地喊一个人出来，记录被喊人的职业；

（3）记录一个班级一次考试的平均分数（以百分制计分）；

（4）记录某话务员在一个工作日内接听电话的次数；

（5）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。1.2写出下列随机试验的样本空间:

（1）解（1）设第一、二、三颗骰子点数的样本空间分别为S1、S2、S3，三颗骰子点数之和的样本空间为S，则

S1={1，2，3，4，5，6}

S2={1，2，3，4，5，6}

S3={1，2，3，4，5，6}

故S={3，4，…，18}。

（2）设试验的样本空间为S，则

S={教师，学生，工人}解（1）设第一、二、三颗骰子点数的样本空间分（3）设试验的样本空间为S，以n表示该班的学生数，因以百分制计分，故该班在一次考试中的总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n。该班在一次考试中平均分数的所有可能结果即为该随机试验的样本空间，因而所求的样本空

间为

（4）设试验的样本空间为S，则

S={0，1，2，…}（3）设试验的样本空间为S，以n表示该班的学生数，（5）设试验的样本空间为S，由题设可知，若生产的10件产品均为正品，则记录的产品总件数为10；若生产的10件产品中有1件次品，则需继续生产，且若第11件产品恰为正品，则记录的产品总件数为11。一般假设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，则记录的产品总件数的所有可能结果，即样本空间为

S={10+k|k=0，1，2，…}

或写成S={10，11，12，13，14，15，…}（5）设试验的样本空间为S，由题设可知，若生产的10

1.3

从某班学生中任选一名学生，设A={选出的学生是男生}，B={选出的学生是数学爱好者}，C={选出的学生是班干部}，试问下列运算结果分别表示什么事件。1.3从某班学生中任选一名学生，设A={选出的解（1）A表示选出的学生是男生,B表示选出的学生是数学爱好者,C表示选出的学生是班干部,故ABC表示选出的学生是爱好数学的男生班干部。

（2）A表示选出的学生是女生，B表示选出的学生是数学爱好者，C

表示选出的学生不是班干部，故ABC表示选出的学生是爱好数学的女生，且不是班干部。解（1）A表示选出的学生是男生,B表示选出的学生是（3）A表示选出的学生是男生，C表示选出的学生是班干部，则A∪C表示选出的学生是男生班干部，故A∪C表示选出的学生为不是班干部的女生。

（4）A表示选出的学生是男生，B表示选出的学生是数学爱好者，C表示选出的学生是班干部，则B∪C表示选出的学生是数学爱好者也是班干部，故A－(B∪C)表示选出的学生是不是数学爱好者也不是班干部的男生。（3）A表示选出的学生是男生，C表示选出的学生是班干部

1.7

朋友聚会，其中有a位男士，b位女士，大家随机地围绕圆桌就座，求其中甲、乙两人坐在一起（即座位相邻）的概率。1.7朋友聚会，其中有a位男士，b位女士，解a+b围成一圈共有(a+b－1)!种排法。而甲乙两人相邻时，将甲乙两人视为一个整体，与余下的a+b－2个人围成一圈共有(a+b－2)!种排法。再考虑到甲乙两人本身有2种排列方法，故甲乙两人相邻时，大家围成一圈共有2(a+b－2)!种排法。所以甲乙两人相邻的概率为解a+b围成一圈共有(a+b－1)!种排法。而甲

1.8

某教研室共有20名教师，其中中老年教师12名，

年轻教师8名，现要选4名优秀教师，求：

（1）至少有1名年轻教师的概率；

（2）有2名年轻教师的概率。1.8某教研室共有20名教师，其中中老年教师1解（1）令事件A={4名优秀教师中至少有1名年轻教师}，A的对立事件A={4名优秀教师中没有1名年轻教师}，从12名中老年教师中选出4名优秀教师共有C412种选法，从20名教师中选出4名优秀教师共有C420种选法，故所以解（1）令事件A={4名优秀教师中至少有1名年（2）令事件B={有2名年轻教师}，从20名教师中选出4名优秀教师共有C420种选法，从8名年轻教师中选出2名优秀教师共有C28种选法，然后从12名中老年教师中选出2名优秀教师共有C212种选法。因此从20名教师中选出4名优秀教师且其中有2名是年轻教师共有C212C28种选法，故（2）令事件B={有2名年轻教师}，从20名教师中选

1.9

两艘船都要停泊在同一个码头，而这个码头不能同时停泊两艘船，它们可能在一个昼夜的任何时刻到达，设两艘船停靠的时间分别是1小时和2小时，求有一艘船要靠位必须等待一段时间的概率。1.9两艘船都要停泊在同一个码头，而这个码头不

解以X、Y分别表示两艘船到达时刻，那么0≤X≤24，0≤Y≤24；若以（X，Y）表示平面上的点的坐标，则所有基本事件可以用这平面上的边长为24的一个正方形：0≤X≤24,0≤Y≤24内的所有的点表示出来。于是一艘船停靠时需要等待空出码头分两种情况：甲先到，乙在随后的1小时内到达；乙先到，甲在随后的2小时内到达。解以X、Y分别表示两艘船到达时刻，那么0≤X于是这一事件可表示为（X，Y）落在区域：{(X，Y)|0≤

X≤24，0≤Y≤24，0≤Y－X≤1}∪{(X，Y)|0≤X≤24，

0≤Y≤24，0≤X－Y≤2}。如图1-1所示，根据几何概型计

算可得于是这一事件可表示为（X，Y）落在区域：{(X，Y)|0图1-1图1-1

1.11

设A、B、C是三个事件，P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=1/8，P(AC)=0，求：

（1）A、B、C都发生的概率；

（2）A、B、C至少有一个发生的概率；

（3）A、B、C都不发生的概率。1.11设A、B、C是三个事件，P(A)=

解（1）由ABC

AC可知P(ABC)≤P(AC)=0,又由

概率的公理化定义可知P(ABC)≥0，所以

P(ABC)=0解（1）由ABCAC可知P(ABC)≤P(（2）由概率的性质可知（3）由（2）得（2）由概率的性质可知（3）由（2）得

1.12

设A、B是两个随机事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，问：

（1）在什么条件下P(AB)取最小值？最小值是多少？

（2）在什么条件下P(AB)取最大值？最大值是多少？

解由A、B两事件的概率看，A、B两事件相容。利用加法公式有

P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)1.12设A、B是两个随机事件，且P(A)=0.（1）因为P(B)≤P(A∪B)≤1，故当P(A∪B)=1时，P(AB)最小，且

P(AB)|min=P(A)+P(B)－1=0.6+0.7－1=0.3

（2）由P(B)=0.7和P(A)=0.6可知，P(B)>P(A)。

当BA时，AB=A，

A∪B=B，P(A∪B)=P(B)为最小，此时P(AB)为最大，故

P(AB)|max=P(A)=0.6（1）因为P(B)≤P(A∪B)≤1，故当P(A∪

1.13

袋中有10个球，8红2白，现从袋中任取两次，每次取一个球做不放回抽样，求下列事件的概率：

（1）两次都是红球；

（2）两次中一次取红球，另一次取白球；

（3）至少有一次取到白球；

（4）第二次取到的是白球。1.13袋中有10个球，8红2白，现从袋中任解（1）令事件A={两次都是红球}，从10个球中取

2个球有C210种取法，从8个红球中取2个球有C28种取法，故解（1）令事件A={两次都是红球}，从10个（2）令事件B={两次中一次取红球，另一次取白球}，从10个球中取2个球有C210种取法，从8个红球中取1个球有C18种取法，从2个白球中取1个球有C12种取法，则两次中一次取红球，另一次取白球有C18C12种取法，故（2）令事件B={两次中一次取红球，另一次取白球}，（3）令事件C={至少有一次取到白球}，则事件C的对立事件是事件A，所以（3）令事件C={至少有一次取到白球}，则事件C的对（4）令事件D={第二次取到的是白球}，从10个球中取2个球有C210种取法，从10个球中取2个球且第一次取到的是红球，第二次取到的是白球有C18C12种取法；从10个球中取2个球且第一次和第二次取到的都是白球有C12种取法。因为第一次取到红球和取到白球的概率各占一半，故（4）令事件D={第二次取到的是白球}，从10个球中

1.14

假设某学校学生四级英语考试及格率为98%，其中70%的学生通过英语六级考试，试求从该学校随机地选出一名学生通过六级英语考试的概率。1.14假设某学校学生四级英语考试及格率为98%，解令事件A={通过四级英语考试}，B={通过六级英语考试}。由条件知

P(A)=0.98，P(B|A)=0.7

故随机地选出一名学生通过六级英语考试的概率为

P(AB)=P(A)P(B|A)=0.686解令事件A={通过四级英语考试}，B={通过六

1.15

设某事件分两阶段进行，已知通过第一阶段试验的概率为60%，通过第二阶段试验的概率为40%，试求已通过第一阶段试验后再通过第二阶段试验的概率。1.15设某事件分两阶段进行，已知通过第一阶段解令事件A＝｛通过第一阶段｝，事件B＝｛通过第二阶段｝，那么条件A下事件B的概率可由条件概率的公式求得。由于先要通过第一阶段然后才能通过第二阶段，所以AB=B，于是解令事件A＝｛通过第一阶段｝，事件B＝｛通过第

1.16

某商店出售尚未过关的某电子产品，进货10件，其中有3件是次品，已出售2件，现从剩下的8件产品中任取一件，求这件是正品的概率。1.16某商店出售尚未过关的某电子产品，进货1解令事件B={顾客买到的是正品}，Ai={售出的两件中有i件次品}，由题意知由全概率公式有解令事件B={顾客买到的是正品}，Ai={售出

1.17

有两批产品：第一批20件，其中有5件特级品；第二批12件，其中有2件特级品。今按下列两种方法抽样：（1）将两批产品混在一起，从中任取2件；

（2）从第一批中任取2件混入第二批中，再从混合后的第二批中抽取2件。

试分别求出两种抽样情况下所抽两件都是特级品的概率。1.17有两批产品：第一批20件，其中有5件解（1）将两批产品混在一起后共有32件产品，其中有7件是特级品。从32件产品中任取2件有C232种取法，从7件特级品中任取2件有C27种取法，故两件都是特级品的概率为解（1）将两批产品混在一起后共有32件产品，（2）令事件A0、A1、A2分别表示从第一批产品中抽到的2件有0、1、2件是特级品，事件B表示从混合后的第二批中抽到的2件产品都是特级品，由题意知由全概率公式算得（2）令事件A0、A1、A2分别表示从第一批产品中抽到的

1.18

某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种产品，每个车间的产量分别占该工厂总产量的25%、35%、40%，每个车间的产品中次品的概率分别为0.05、0.04、0.02，现从该厂总产品中任取一件产品，结果是次品，求取出的这件次品是乙车间生产的概率。1.18某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生解令事件A1、A2、A3分别表示所抽出的产品是由甲、乙、丙车间生产的，事件B表示抽到一个次品，由题意知解令事件A1、A2、A3分别表示所抽出的产品是由由全概率公式算得由贝叶斯公式算得由全概率公式算得由贝叶斯公式算得

1.19

甲、乙、丙三个人各自去破译一个密码，他们能破译出的概率分别为1／3、1/4、1/5，试求：

（1）恰有一人能破译出的概率；

（2）密码能被破译的概率。1.19甲、乙、丙三个人各自去破译一个密码，解（1）令事件A、

B、C分别表示甲、乙、丙三人译出密码，事件D表示恰有一人能破译密码。

由题意知解（1）令事件A、B、C分别表示甲、乙、故所以恰有一人能破译密码的概率为故所以恰有一人能破译密码的概率为（2）令事件A、B、C分别表示甲、乙、丙三人译出密码，则所求的概率为A、B、C至少有一个发生的概率，所以（2）令事件A、B、C分别表示甲、乙、丙三人译出密码

1.20已知P(A)=a，P(B)=0.3，P(A∪B)=0.7。

（1）若事件A与事件B互不相容，求a；

（2）若事件A与事件B相互独立，a应取何值？1.20已知P(A)=a，P(B)=0.3，解由概率的性质可知解由概率的性质可知所以故（1）由题意知事件A与事件B互不相容，即所以故（1）由题意知事件A与事件B互不相容，即（2）由题意知事件A与事件B相互独立，故所以（2）由题意知事件A与事件B相互独立，故所以

1.21

有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在这两批种子中各随机地抽取一粒，试求下列事件的概率：

（1）两粒种子都能发芽；

（2）至少有一粒种子能发芽；

（3）恰有一粒种子能发芽。1.21有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8解（1）令事件A={甲种子发芽}，B={乙种子发芽}，AB={两粒种子都能发芽},由题意知

P(A)=0.8，P(B)=0.7

故两粒种子都能发芽的概率为

P(AB)=P(A)P(B)=0.56解（1）令事件A={甲种子发芽}，B={乙种子发（2）令事件AB={两粒种子都没有发芽}，其对立事件

AB={至少有一粒种子能发芽},则两粒种子都没有发芽的概

率为

所以至少有一粒种子能发芽的概率为（2）令事件AB={两粒种子都没有发芽}，其对立事件

（3）令事件C={恰有一粒种子能发芽}，则故恰有一粒种子能发芽的概率（3）令事件C={恰有一粒种子能发芽}，则故恰有一粒第2章随机变量及其分布第一节知识梳理第二节重点解析第三节典型例题第四节习题全解第2章随机变量及其分布第一节知识梳理第一节知识梳理

第一节知识梳理

第二节重点解析

1.随机变量及其分布函数

1)随机变量

定义：设随机试验E的样本空间为S={e},X=X(e)是定义

在样本空间S上的实值单值函数，对于任意实数x，集合{e|X(e)≤x}有确定的概率,则称X=X(e)为随机变量。第二节重点解析

1.随机变量及

2)随机变量的分布函数

定义：设X是一个随机变量，x为任意实数，函数F(x)=P{X≤x}（－∞<x<+∞）称为X的分布函数，记为

X～F(x)。

性质1：F(x)是一个单调非减函数，若x1＜x2，则F(x1)≤F(x2)。

2)随机变量的分布函数

定义：设X是一个随机变性质2：0≤F(x)≤1(－∞<x<+∞)，且，性质3：F(x)右连续，即性质2：0≤F(x)≤1(－∞<x<+∞)，且，性

2.离散型随机变量及其分布律

1)离散型随机变量的分布律

定义：设X是离散型随机变量，X可能的取值为x1，x2，…，则称

P{X=xi}=pi

（i=1，2，…）

为离散型随机变量X的概率分布律或分布律。

由概率定义知，离散型随机变量的分布律具有如下性质：（1）非负性：pi≥0（i=1，2，…）；

（2）归一性：。2.离散型随机变量及其分布律

1)离散型随机变

2)常用离散型分布

（1）两点分布（（0-1）分布）：

P{X=1}=p，P{X=0}=1－p

（0<p<1）

（2）二项分布：X～b(n，p)，

P{X=k}=Cknpk(1－p)n－k

(k=0，1，…，n；0＜p＜1;n和p是参数)2)常用离散型分布

（1）两点分布（（0-1）（3）泊松分布:X~π(λ)，（4）超几何分布:（5）几何分布:

P{X=k}=(1－p)k－1p(k=1，2，…；0<p<1)（3）泊松分布:X~π(λ)，（4）超几何分布:

3.连续型随机变量及其密度函数

1)密度函数及其性质

定义：设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使对任意实数x，有

则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，并称X的分布为连续型分布。3.连续型随机变量及其密度函数

1)密度函数及密度函数f(x)具有以下性质：

（1）f(x)≥0(－∞＜x＜+∞)；

（2）；

（3）对任意实数x1、x2(x1≤x2)，有

（4）若f(x)在点x处连续，则有F′(x)=f(x)。密度函数f(x)具有以下性质：

（1）f(x)≥定理：设X为任意一个连续型随机变量，F(x)与f(x)分别是它的分布函数与密度函数，则

（1）对任意一个常数a(－∞<a<+∞)，有P{X=a}=0；

（2）对任意两个常数a、b（－∞<a<b<+∞），有

P{a<X<b}=P{a≤X<b}=P{a≤X≤b}

=P{a<X≤b}=定理：设X为任意一个连续型随机变量，F(x)与f(x

2)三种重要的连续型分布

（1）均匀分布：X～U(a，b)，2)三种重要的连续型分布

（1）均匀分布：X（2）指数分布:X～e(λ)，（2）指数分布:X～e(λ)，（3）正态分布:X~N(μ，σ2)，引理1：若X~N(μ，σ2)，则Y=aX+b~N(aμ+b，a2σ2)(a≠0)。引理2：若X~N(μ，σ2)，则~N(0，1)。（3）正态分布:X~N(μ，σ2)，引理1：

4.随机变量函数的分布

1)离散型随机变量函数的分布

设离散型随机变量X的分布律为则随机变量函数Y=g(X)的分布律可由下表求得,即4.随机变量函数的分布

1)离散型随机变量函数

2)连续型随机变量函数的分布

设连续型随机变量X的概率密度函数为fX(x)，则随机变量Y=g(X)的分布函数为其中，{X∈Iy}与{g(X)≤y}是等价的随机事件，而Iy={x|g(x)≤y}是实数轴上的某个集合，随机变量Y的概率密度函数fY(y)可由fY(y)=F′Y(y)得到。2)连续型随机变量函数的分布

设连续型随机变量X定理：设连续型随机变量X的概率密度函数为fX(x)

（－∞<x<+∞），设y=g(x)处可导且恒有g′(x)>0（或恒有g′(x)<0），

x=h(y)是y=g(x)的反函数，则Y=g(X)的概率密度函数为其中α=min{g(－∞)，g(+∞)}，β=max{g(－∞)，g(+∞)}。定理：设连续型随机变量X的概率密度函数为fX(x)

（第三节典型例题

【例2.1】一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率为。用X表示3个零件合格品的个数，求X的分布律。第三节典型例题

【例2.1】

解因为利用同一台机器制造3个同种零件，所以可认为这3个零件是否合格是相互独立的，以Ai表示第i个零件是合格的，则。因X表示零件的合格数，所以X的分布律为解因为利用同一台机器制造3个同种零件，所以可认配套课件-概率论与数理统计学习指导及习题解析--马继丰

【例2.2】甲、乙两选手轮流射击，直到有一个命中

为止，若甲命中率为0.6，乙命中率为0.7，如果甲首先射击，求:

（1）两人射击总次数X的分布律；

（2）甲射击次数X1的分布律；

（3）乙射击次数X2的分布律。【例2.2】甲、乙两选手轮流射击，直到有一个

解因为轮流射击，直到有一个命中为止，且由甲首先射击，所以可以看出，如果由甲射中，则总的射击次数应为奇数，乙比甲少射一次，而由乙射中的话，则甲、乙两人射击次数相同，并且可以知道，乙可能没有射击。而由题意可知，每次是否射中是相互独立的。解因为轮流射击，直到有一个命中为止，且由甲首令Ai表示甲第i次射击时射中，则P(Ai)=0.6(i=1，2，…)；令Bi表示乙第i次射击时射中，则P(Bi)=0.7(i=1，2，…)。由此可知（1）令Ai表示甲第i次射击时射中，则P(Ai)=0.6(i（3）（2）（3）（2）

【例2.3】若X的分布函数为N(60，9)，求分点x1、x2、x3、x4，使得X落在(－∞，x1)，(x1，x2)，(x2，x3)，(x3，x4)，(x4，+∞)中的概率之比为7∶24∶38∶24∶7。【例2.3】若X的分布函数为N(60，9)，

解由正态分布对称性和题目比例知x1、x2分别与x4、

x3关于x=60对称，且故解由正态分布对称性和题目比例知x1、x2分别与

【例2.6】某科统考成绩X近似服从正态分布

N(70，102)，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约

为多少分？【例2.6】某科统考成绩X近似服从正态分布

N(解设第20名的成绩为x,因为而又因为解设第20名的成绩为x,因为而又因为所以

P{X≥x}=0.2×0.8413=0.16826

即所以，，所以

P{X≥x}=0.2×0.8413=0

【例2.7】设随机变量X服从［a，b］上的均匀分布，令Y=cX+d(c≠0)，试求随机变量Y的密度函数。

解因为【例2.7】设随机变量X服从［a，b］上的均匀分当c>0时，当c<0时，当c>0时，当c<0时，

【例2.8】设连续型随机变量X的密度函数为

求:

（1）Y=2X+3；

（2）Y=X2的密度函数。【例2.8】设连续型随机变量X的密度函数为

解（1）由Y=2X+3有，，所以解（1）由Y=2X+3有，，所以（2）利用分布函数法求解，即所以（2）利用分布函数法求解，即所以第四节习题全解

2.1下列给出的数列，哪些是随机变量分布律，并说明理由。第四节习题全解

2.1解（1）因为pk≥0(k=0，1，2，3，4，5)，且所以满足概率分布的条件，故该数列是随机变量分布律。解（1）因为pk≥0(k=0，1，2，（2）因为所以不满足概率分布的条件，故该数列不是随机变量分布律。（2）因为所以不满足概率分布的条件，故该数列不是随机变（3）因为，且所以满足概率分布的条件，故该数列是随机变量分布律。（3）因为，且所以满足概率分布的条件，故该数列是随

2.2

设随机变量X的分布函数为

F(x)=α+βarctanx(－∞<x<+∞)

试求：

（1）常数α和β；

（2）随机变量X落在区间(－1，1］内的概率。2.2设随机变量X的分布函数为

F(解（1）根据分布函数的性质知，解得解（1）根据分布函数的性质知，解得（2）由（1）知故随机变量X落在区间(－1，1］内的概率为（2）由（1）知故随机变量X落在区间(－1，1］内的

2.3

一个袋中装有5个编号为1、2、3、4、5的乒乓球，从袋中同时取3只，以X表示取出的3只乒乓球中的最大号码，写出随机变量X的分布律和分布函数。2.3一个袋中装有5个编号为1、2、3、4解事件“X=3，4，5”表示取出的3只乒乓球中的最大号码，所以X的分布律为解事件“X=3，4，5”表示取出的3只乒乓或写成或写成下面求X的分布函数F(x)。

当x<3时，{X≤x}是不可能事件，因此

F(x)=0

当3≤x<4时，{X≤x}等同于{X=3}，因此下面求X的分布函数F(x)。

当x<3时，{X≤当4≤x<5时，{X≤x}等同于{X=3或X=4}，因此当x≥5时，{X≤x}为必然事件，因此

F(x)=1当4≤x<5时，{X≤x}等同于{X=3或X=4}，综上可得，F(x)的分布函数为

综上可得，F(x)的分布函数为

2.4

试确定常数a，使

成为某个随机变量X的分布律，并求：

（1）P{X≤1}；

（2）2.4试确定常数a，使

成为某个随机变量X的分解由于，因此。

而因此由等式解得将代入原式得解由于，因此。

而因（1）对于该题{X≤1}等价于{X=0或X=1}，因此（2）对于该题等价于{X=1或X=2}，因此（1）对于该题{X≤1}等价于{X=0或X=1}，因

2.5从含有10个黑球及3个白球的袋中一个一个随机摸球，在下列三种情形下，分别求出直到摸到黑球为止所需次数X的分布律：

（1）每次取出的球，待观察颜色后，立即放回袋中再取下一个；

（2）每次取出的球都不放回袋中；

（3）每次取出一个球后总是放回一个黑球。2.5从含有10个黑球及3个白球的袋中一个一个随解（1）事件“X=1，2，3，…，k”表示摸到黑球所需要的次数，所以X的分布律为解（1）事件“X=1，2，3，…，k”或写成（2）作不放回抽取时，由于白球共3个，至多到第4次抽取便会抽到黑球，所以X的可能取值为1、2、3、4，故X的分布律为或写成（2）作不放回抽取时，由于白球共3个，至多到第4次配套课件-概率论与数理统计学习指导及习题解析--马继丰或写成（3）由于每次取出一球后总放回一个黑球，所以至多到第4次抽取时便可取到黑球，因此X的可能取值为1、2、3、4，故X的分布律为或写成（3）由于每次取出一球后总放回一个黑球，所以至多到配套课件-概率论与数理统计学习指导及习题解析--马继丰或写成或写成

2.6

设离散型随机变量X的分布函数为且，试求常数a、b的值和X的分布律。2.6设离散型随机变量X的分布函数为且解

X的分布律为据题意，故①解X的分布律为据题意，故①再利用分布律的归一性知

a+b=1②将①和②联立方程组解得代入X的分布律中有再利用分布律的归一性知

a+b=1

2.9

设随机变量X的密度函数为

试求：

（1）常数a；

（2）X的分布函数F(x)。2.9设随机变量X的密度函数为

试求：

解（1）由于，即故

a=2解（1）由于，即故（2）由(1)得X的密度函数为由定义，得当x≤0时，

F(x)=0当0<x<1时，（2）由(1)得X的密度函数为由定义当0<x<1时，所以X的分布函数为当x≥1时，当0<x<1时，所以X的分布函数为当x≥1时，

2.10

设随机变量X的密度函数为

（1）求常数a；

（2）求X的分布函数F(x)；

（3）画出f(x)和F(x)的图形。2.10设随机变量X的密度函数为

解（1）由于，即故

a=2解（1）由于，即故（2）由（1）得X的密度函数为由定义，得当x<0时，

F(x)=0当0≤x<1时，（2）由（1）得X的密度函数为由定义当1≤x<2时，当x≥2时，当1≤x<2时，当x≥2时，所以X的分布函数为所以X的分布函数为（3）图2－1所示为f(x)的图形，图2－2所示为F(x)的

图形。图2-1（3）图2－1所示为f(x)的图形，图2－2所示为F图2-2图2-2

2.11

设随机变量X的密度函数为

f(x)=ae－|x|(－∞<x<+∞)

试求：

（1）常数a；

（2）P{－1<X<2}；

（3）X的分布函数F(x)。2.11设随机变量X的密度函数为

解（1）由于，即故。解（1）由于，即故。（2）由（1）得X的密度函数为（2）由（1）得X的密度函数为由连续型随机变量的性质可得由连续型随机变量的性质可得（3）由定义，得

当x<0时，当x≥0时，（3）由定义，得

当x<0时，所以X的分布函数为所以X的分布函数为

2.12

设随机变量X的分布函数为

试求：

（1）常数a；

（2）P{X≥4}；

（3）P{3<X<4}；

（4）P{X=2.5}；

（5）X的密度函数f(x)。2.12设随机变量X的分布函数为

试求：解（1）根据分布函数的性质知F(x)是右连续的，故

即

1－a=0

所以a=1。解（1）根据分布函数的性质知F(x)是右连续的（2）由（1）知X的分布函数为

由F(x)的形式知X~e(0.4)，故X为连续型随机变量。

根据连续型随机变量的性质知

P{X=4}=0，

所以

P{X≥4}=1－P{X≤4}=1－F(4)

=1－(1－e－0.4×4)=e－1.6（2）由（1）知X的分布函数为

（3）P{3<X<4}=P{3<X≤4}=F(4)－F(3)

=(1－e－0.4×4)－(1－e－0.4×3)=e－1.2－e－1.6

（4）根据连续型随机变量的性质知对于任意一个常数x，恒有

P{X=x}=0

所以

P{X=2.5}=0（3）P{3<X<4}=P{3<X≤4}=F(4)－F（5）随机变量X的密度函数f(x)在连续点x处可由f(x)=F′(x)得到。

当x>0时，

f(x)=F′(x)=(1－e－0.4x)′=0.4e－0.4x

当x≤0时，

f(x)=F′(x)=0

故X的密度函数为（5）随机变量X的密度函数f(x)在连续点x处可由f(

2.16

设X~N(3，22)。

（1）求P{2<X≤5}，P{－4<X≤10}，P{|X|>2}，P{X>3}；

（2）确定c，使得P{X>c}=P{X≤c}；

（3）设d满足P{X>d}≥0.9015，问d至多为多少？2.16设X~N(3，22)。

（1）解（1）随机变量X服从正态分布，且μ=3，σ=2,

故对于任意区间(x1，x2］有①解（1）随机变量X服从正态分布，且μ=3，σ=②②③③④

P{X>3}=1－P{X≤3}=1－F(3)

因为所以④P{X>3}=1－P{X≤3}=1－F(3)（2）对于X~N(3，22)有μ=3,因为正态概率密度曲线关于直线x=μ对称,所以有

P{X≤μ}=P{X>μ}

故

c=μ=3（2）对于X~N(3，22)有μ=3,因为正态概率（3）由P{X>d}≥0.9015得

1－P{X≤d}≥0.9015

即所以故（3）由P{X>d}≥0.9015得

因为分布函数Φ(x)是一个不减函数，故解得因为分布函数Φ(x)是一个不减函数，故解得

2.17

设随机变量X的密度函数为

（1）求常数a的值；

（2）X服从什么分布?参数是多少？2.17设随机变量X的密度函数为

（1解（1）依题意有又于是得到，即解（1）依题意有又于是得到，即（2）由（1）知X的密度函数为即X服从正态分布，且，记做X～N(2，2)。（2）由（1）知X的密度函数为即X服从正态分布，且

2.18

设随机变量X的分布律为分别求Y=X2，Z=3X+1，W=|X|－1的分布律。2.18设随机变量X的分布律为分别求Y=X2，解①Y所有可能取值为0、1、4，因为

P{Y=0}=P{X2=0}=P{X=0}=0.4

P{Y=1}=P{X2=1}=P{X=－1}=0.3

P{Y=4}=P{X2=4}=P{X=－2}+P{X=2}=0.2+0.1=0.3

所以Y的分布律为解①Y所有可能取值为0、1、4，因为②Z所有可能取值为－5、－2、1、7，因为

P{Z=－5}=P{X=－2}=0.2

P{Z=－2}=P{X=－1}=0.3

P{Z=1}=P{X=0}=0.4

P{Z=7}=P{X=2}=0.1

所以Z的分布律为②Z所有可能取值为－5、－2、1、7，因为

③W所有可能取值为－1、0、1，因为

P{W=－1}=P{X=0}=0.4

P{W=0}=P{X=－1}=0.3

P{W=1}=P{X=－2}+P{X=2}=0.2+0.1=0.3

所以Z的分布律为③W所有可能取值为－1、0、1，因为

2.19

设随机变量X的密度函数为

分别求随机变量Y=X2，Z=2X，W=－X+1的密度函数。2.19设随机变量X的密度函数为

分别求随解①Y的分布函数为当0<y<1时，解①Y的分布函数为当0<y<1时，当y≥1时，所以Y的分布函数为因此当y≥1时，所以Y的分布函数为因此②Z的分布函数为当z≤0时,当0<z<2时，②Z的分布函数为当z≤0时,当0<z<2时，当z≥2时，所以Z的分布函数为因此当z≥2时，所以Z的分布函数为因此

2.20

设随机变量X的密度函数为

试求：

（1）常数a的值；

（2）Y=arctanX的密