第11讲 对数与对数函数-高考数学一轮复习

第11讲对数与对数函数A组夯基精练一、单项选择题(选对方法，事半功倍)1.已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x∈－∞，0]，,2fx－1，x∈0，＋∞，))则f(log23)等于()A.eq\f(9,16) B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,2) D.32.若函数y＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)的图象过(－1,0)和(0,1)两点，则a，b的值分别为()A.eq\r(2)，2 B.2,2C.2,1 D.eq\r(2)，eq\r(2)3.“天问一号”是我国自主研发的第一个火星探测器，于2020年7月23日发射升空，2021年2月10日成功地进入火星轨道，并于2021年3月4日传来3幅高清火星影像图．已知火星的质量M约为6.4171×1023kg，“天问一号”的质量m约为5.34×103kg，则lgeq\f(M,m)≈()(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48，lg5≈0.70)A.19.22 B.19.92C.20.08 D.20.484.(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A.是偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上单调递增B.是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递减C.是偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递增D.是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减二、多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)5.若1<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，则下列结论中正确的是()A.logab>logbaB.|logab＋logba|>2C.(logba)2<1D.|logab|＋|logba|>|logab＋logba|6.已知－1<a<0且b>1，则下列不等式成立的是()A.logb(b－a)>0B.logb(b－a)>log(b－a)eq\f(1,b)C.logb(－a)<log(－a)eq\f(1,b)D.log(－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,b)))<log(－a)(b－1)三、填空题(精准计算，整洁表达)7.(2021·濮阳期末)已知正实数a满足aa＝(9a)8a，则loga(3a)＝________.8.(2021·日照二模)若函数f(x)＝logax(a>1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a＝________.9.任意一个正实数N都可以表示成N＝a×10n(1≤a<10，n∈Z)，此时lgN＝n＋lga.若一个20位整数的64次方根仍是一个整数，则这个64次方根是________．(参考数据：lg3≈0.48，lg4≈0.60)四、解答题(让规范成为一种习惯)10.已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在区间[－2,4]上的最大值是16.(1)求实数a的值；(2)假设函数g(x)＝log2(x2－3x＋2a)的定义域是R，求不等式loga(1－2t)≤1的实数t的取值范围．11.设实数a>0且a≠1，函数f(x)＝logaeq\f(x－2,x＋2).(1)解关于x的不等式f(x)>0；(2)设g(x)＝1＋loga(x－1)，如果方程f(x)＝g(x)有实根，求实数a的取值范围．B组滚动小练12.(多选)若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是()A.eq\f(a,b)<1 B.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2C.eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D.a2＋a＜b2＋b13.若定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减且f(2)＝0，则满足xf(x＋1)≥0的x的取值范围是()A.[－3,1] B.[－3,0]∪[1，＋∞)C.(－∞，－3]∪[0,1] D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)14.(1)计算：0.064eq\s\up7(-\f(1,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up7(\f(2,3))＋logeq\r(3)27＋；(2)已知集合A＝{x|y＝lg(x－3)＋eq\r(9－2x)}，B＝{x|x2－9x＋20≤0}，C＝{x|a＋1≤x<2a－1}．若C⊆(A∪B)，求实数a的取值范围．

第11讲对数与对数函数1.D【解析】f(log23)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(3,2)))＝4feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(3,4)))＝4×2log2eq\f(3,4)＝3.2.B【解析】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝logab－1，,1＝logab，))解得a＝b＝2.3.C【解析】lgeq\f(M,m)＝lgeq\f(6.4171×1023,5.34×103)＝lg6.4171＋23－lg5.34－3≈lg6－lg5＋20≈lg2＋lg3－lg5＋20≈0.30＋0.48－0.70＋20＝20.08.4.D【解析】由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，得f(x)定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠±\f(1,2)))，关于坐标原点对称．又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为定义域上的奇函数，可排除AC；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))时，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，因为y＝ln(2x＋1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递增，y＝ln(1－2x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递减，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))上单调递增，排除B；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,2x－1)))，因为μ＝1＋eq\f(2,2x－1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减，f(μ)＝lnμ在定义域内单调递增，由复合函数单调性可知，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减，D正确．5.ABC【解析】因为1<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以0<b<a<1，则logab>1,0<logba<1，logab·logba＝1，所以logab>logba，故A正确；由基本不等式得logab＋logba≥2eq\r(logab·logba)＝2，又b<a，上面的不等式不能取等号，所以logab＋logba>2成立，故B正确；0<(logba)2<1，故C正确；|logab|＋|logba|＝|logab＋logba|，故D错误．6.ABC【解析】对于A，因为－1<a<0且b>1，所以b－a>1，故logb(b－a)>0，A正确；对于B，因为－1<a<0且b>1，所以b－a>1，eq\f(1,b)∈(0,1)，所以log(b－a)eq\f(1,b)<0，logb(b－a)>0，所以logb(b－a)>log(b－a)eq\f(1,b)，B正确；对于C，因为－1<a<0且b>1，所以eq\f(1,b)∈(0,1)，－a∈(0,1)，所以logb(－a)<0<log(－a)eq\f(1,b)，C正确；对于D，取a＝－eq\f(1,2)，b＝2，则log(－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,b)))＝1>log(－a)(b－1)＝0，D错误．7.eq\f(9,16)【解析】若正实数a满足aa＝(9a)8a，则alogaa＝8aloga(9a)，所以1＝8(loga9＋1)，所以loga9＝－eq\f(7,8)，所以loga3＝－eq\f(7,16)，则loga(3a)＝1＋loga3＝1－eq\f(7,16)＝eq\f(9,16).8.eq\r(2)【解析】因为a>1，所以函数f(x)在区间[a,2a]上为增函数，由已知条件可得loga(2a)＝3logaa＝logaa3，所以a3＝2a，因为a>1，解得a＝eq\r(2).9.2【解析】设该位整数为N，其64次方根为k，则eq\r(64,N)＝k，即N＝k64，因为N＝a×1019，所以lgN＝lgk64＝64lgk＝19＋lga，即lgk＝eq\f(19＋lga,64)，因为1≤a<10，所以0≤lga<1，从而0.2969≤lgk<0.3125，又因为lg4＝2lg2≈0.60，所以lg2≈0.30，于是k＝2.10.【解答】(1)当0<a<1时，函数f(x)在区间[－2,4]上是减函数，因此当x＝－2时，函数f(x)取得最大值16，即a－2＝16，因此a＝eq\f(1,4).当a>1时，函数f(x)在区间[－2,4]上是增函数，当x＝4时，函数f(x)取得最大值16，即a4＝16，因此a＝2.(2)因为g(x)＝log2(x2－3x＋2a)的定义域是R，即x2－3x＋2a>0恒成立，则方程x2－3x＋2a＝0的判别式Δ<0，即(－3)2－4×2a<0，解得a>eq\f(9,8)，又因为a＝eq\f(1,4)或a＝2，因此a＝2.代入不等式得log2(1－2t)≤1，即0<1－2t≤2，解得－eq\f(1,2)≤t<eq\f(1,2)，因此实数t的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).11.【解答】(1)当a>1时，logaeq\f(x－2,x＋2)>0⇒eq\f(x－2,x＋2)>1，解得x<－2，当0<a<1时，logaeq\f(x－2,x＋2)>0⇒0<eq\f(x－2,x＋2)<1，解得x>2，故当a>1时，原不等式的解集为(－∞，－2)；当0<a<1时，原不等式的解集为(2，＋∞)．(2)注意到方程f(x)＝g(x)有解时x的范围是(2，＋∞)，logaeq\f(x－2,x＋2)＝1＋loga(x－1)⇔eq\f(x－2,x＋2)＝a(x－1)⇔a＝eq\f(x－2,x＋2x－1)(*)，令x－2＝t，则t>0，(*)⇔a＝eq\f(t,t2＋5t＋4)＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋5)≤eq\f(1,9)，当且仅当t＝2时等号成立，故实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,9))).12.ABD13.B【解析】由xf(x＋1)≥0可得xf(|x＋1|)≥0.当x>0时，f(|x＋1|)≥0＝f(2)，可得|x＋1|≥2，即x＋1≤－2或x＋1≥2，解得x≤－3或x≥1，此时x≥1；当x≤0时，f(|x＋1|)≤0＝f(2)，可得|x＋1|≤2，即－2≤x＋1≤2，解得－3≤x≤1，此时－3≤x≤0.综上所述，满足xf(x＋1)≥0的x的取值范围是[－3,0]∪[1，＋∞)．14.【解答】(1)原式＝(0.43)－eq\f(1,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\f(2,3)＋2log333＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)－eq\f(4,9)＋6＋eq\f(1,2)＝eq\f(77