平面几何中的基本定理

平面几何中的基本定理及其应用【法二】易知三点共线，设交EF于点D，连，由题意知CE=CG，，BH=BF，又因为所以四点共圆，又因为所以A，H，P，D四点共圆.所以又因为所以五点共圆，即有，所以所以

实际上，对任意三角形，本结论也成立。如图所示，其中R为三角形ABC外接圆半径，r为内切圆半径，d为外接圆圆心O(外心)与内切圆圆心I(内心)之间的距离。证明：（1）连接AI，并延长，与外接圆相交于点E。再把连接内、外心的线段OI向两端延长，与外接圆分别相交于点G和H。如图所示。由相交弦定理，有。要证：,即证。于是，我们只需证明=1\*GB3①即可。（2）如下图所示。连接外接圆上的点E与外接圆圆心O，得线段EO，并延长，与外接圆相交于点F。于是，EF为外接圆的直径，长度为2R。连接FC，连接EC，得到（图中内部为红色的三角形）。再关注。显然，和都是直角三角形。并且，∠DAI=∠CAE(AI为∠BAC的平分线)，∠CAE=∠CFE(同弦上的圆周角相等），所以∠DAI=∠CFE。故，和相似，有，而。所以，上式变为：=2\*GB3②，比较以上=1\*GB3①=2\*GB3②两式，只要证明即可。（3）如上图所示，CE和IE都位于，所以，我们只要证明是等腰三角形，为此，我们来证明两个底角相等，即∠EIC=∠ECI。因为∠EIC=∠EAC+∠ACI(三角形外角等于不相邻两内角和)，∠ECI=∠ECB+∠BCI，上面两式中标以蓝色的两个角相等。而标以红色的两个角都等于∠EAB。所以，上面两式的左边也相等。从而三角形ICE是等腰三角形，等角对等腰，所以，CE=IE。综上，原命题成立。法二：连接AI，并延长，与外接圆相交于点E。则E为弧BC的中点，连接EO，并延长交圆O于F，交BC于D。作，M,N为垂足。,，又而，所以六：共边定理七：共角定理例4：八：蝴蝶定理蝴蝶定理：设M为圆内弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC分别交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。法一：霍纳证法过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST，易知△ESD∽△CSF，∴ES/CS=ED/FC，根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2∴ES/CS=EL/CT又∵∠E=∠C，∴△ESL∽△CST，∴∠SLN=∠STM∵S是AB的中点所以OS⊥AB∴∠OSN=∠OLN=90°，∴O，S，N，L四点共圆，同理O，T，M，S四点共圆∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON，∴∠SON=∠SOM∵OS⊥AB，∴MS=NS法二：对称法法三：帕斯卡证法连接CO、EO并延长分别交圆O于I、J，连接IF、DJ交于K，连接GK、HK。由帕斯卡定理得：M、O、K共线∵M为AB中点∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°又∵CI、EJ为⊙O直径，∴∠GFK=∠HDK=90°又∵∠GMK=∠HMK=90°∴∠GMK+∠GFK=∠HMK+∠HDK=90°+90°=180°∴G、F、K、M共圆，H、D、K、M共圆∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH又∵∠GFM=∠MDH，∴∠GKM=∠MKH又∵∠GMK=∠HMK=90°，∴△GMK≡△HMK（ASA）∴GM=MH法四：面积法【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式：坎迪定理】法五：作图法从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为Y'和Y''。法六：射影法1.构造特殊情况：如右图1，A'B'、C'D'、M'N'为⊙O'内三条直径，A'D'∩M'N'=P'，B'C'∩M'N'=Q'，则由圆中心对称性知P'O'=Q'O'.2.中心投影：在不属于⊙O'所在平面的空间上任取一点T作为投影中心，用平行于直线M'N'的平面截影，则圆O'被射影为椭圆，线段M'N'被射影为与之平行的M''N''，如图2，则对应存在P''O''=Q''O''.3.仿射：将图2的椭圆仿射为圆，如图3，由仿射不变性知PO=QO.推广：1.蝴蝶定理的圆外形式：如图，延长圆O中两条弦AB与CD交于一点M，过M做OM垂线，垂线与CB和AD的延长线交于E、F，则可得出ME=MF（证明方法可参考蝴蝶定理的对称法和面积法）2.在平行四边形中在平行四边形中，M为对角线AB与CD中点。3.坎迪定理去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”，即:。证明：设AP=a，BP=b，GP=x，HP=y法一：法二：4.在圆锥曲线中通过射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况）。圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。射影几何里面关于投影变换有一个重要结论，对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2.任意指定C1内部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2内部一个点A2和C2上面一个点B2,存在一个唯一投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.由此对于本题，我们可以通过投影变换将C1变换成一个圆M，而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。在此变换以后，弦AB和CD都是圆M的直径而且四边形ACBD是圆M内接矩形，PQ也是一条直径，有对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。又因为变换前后M都是线段PQ的中点，我们可以得出在直线PQ上这个变换是仿射变换，所以变换前M也是XY的中点。5.梯形中的蝴蝶定理（面积比例关系）九：三角形中的费马点十：（托勒密）三弦定理三弦定理：由圆上一点引出三条弦,中间一弦与最大角正弦的积等于其余每条弦与不相邻角正弦的积之和。如图，若A、B、C、D四点共圆，则。反之也成立。证明：推论（三交弦定理）：如图，圆O内三条弦交于点P，则证明：如图，过圆心O分别作三条弦的垂线，垂足分别为点R、S、T，又，，，代入上式得十一：斯特瓦尔特定理十二：密克尔（Miquel）定理1.三圆定理：在△ABC的AB,BC,AC,边上分别取点M,N,P,对△AMP,△BPM和△CPN分别作其外接圆，则这三个外接圆共点。该定理的证明很简单，利用“圆内接四边形对角和为180度”及其逆定理。证明：已知O是圆和的公共点。四边形BNOM和四边形CNOP分别是和的内接四边形，连接OM和ON，则∠OMB+∠ONB=∠OMB+∠OMA=180度，从而∠ONB=∠OMA。同理∠OPC+∠ONC=∠OPC+∠OPA=180度，从而∠OPA=∠ONC。又有∠ONB+∠ONC=180度，因此∠OMA+∠OPA=180度，这说明四边形AMOP是一个圆内接四边形，而该圆过点O，故这三个外接圆共点O。三圆定理的逆定理：设三个圆C1,C2,C3交于一点O，而M,N,P分别是C1和C2，C2和C3，C3和C1的另一交点。设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。那么B,N,C这三点共线。2.四圆定理：来自密克尔定理中的完全四边形定理：如上图，如果ABCDEF是完全四边形，那么三角形△EAD,△EBC,△FAB,△FDC的外接圆交于一点G，此点称为密克尔点（又译：米格尔点、密克点或米库尔点）。证明：如右图，记⊙CBE与⊙CDF的交点为G过G点对AE,CE,CF,AF作垂线，垂足记为P,Q,R,S由西姆松定理知，∵G在⊙CDF上，∴P,Q,R三点共线∵G在⊙CDF上，∴Q,R,S三点共线∴P,Q,R,S四点共线，∴G在⊙ADE,⊙ABF上即G在⊙ADE,⊙ABF,⊙CBE,⊙CDF上∴四圆共点四圆定理的逆定理：设C1，C2，C3，C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点，A2和B2是C2和C3的交点，A3和B3是C3和C4的交点，A4和B4是C1和C4的交点。那么A1，A2，A3，A4四点共圆当且仅当B1，B2，B3，B4四点共圆。3.布罗卡定理：如果ABCDEF是完全四边形，四边形ABCD的外接圆圆心为O，对角线AC与BD交于点G，则。十三：笛沙格定理笛沙格定理（同调三角形定理）：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。逆定理也成立。证明：梅涅劳斯定理证法：十四：牛顿定理牛顿定理1:完全四边形三条对角线中点共线证明：如图，四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点为M,AC中点为L,EF中点为N，取BE中点P,BC中点R,PN∩CE=Q，∵R,L,Q共线，∴QL/LR=EA/AB∵M,R,P共线，∴RM/MP=CD/DE∵N,P,Q共线，∴PN/NQ=BF/FC三式相乘得:QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC由梅涅劳斯定理知QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1由梅涅劳斯定理的逆定理知:L,M,N三点共线牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。证明：设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。显然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，S△CEI=S△AEI，故S△BIC+S△CEI-S△BCE=S△ADE+S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过点I，故结论成立。牛顿定理3：圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。证明：设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H.首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I'.显然∠AHI'=∠BFI'因此易知AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'故AI'/CI'=AH/CF.同样可证:AI/CI=AE/CG又AE=AH,CF=CG.故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'.从而I,I'重合.即直线AC,EG,FH交于一点.同理可证:直线BD,EG,FH交于一点.因此直线AC,BD,EG,FH交于一点.十五：帕斯卡（Pascal）定理如果一个六边形内接于一条二次曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上。分析：可以利用射影变换，将圆锥曲线的命题转化为圆的命题。这样，只需要证明圆的内接六边形ABCDEF三双对边的交点共线即可。帕斯卡定理的证法有许多种，列举如下：帕普斯定理：特殊的，这六个点，恰有两组三点共线时，即为帕普斯定理。十六：布列安桑（Brianchon）定理布列安桑（Brianchon）定理是一个射影几何中的著名定理，它断言六条边和一条圆锥曲线相切的六边形的三条对角线共点，此点被称为该六边形的布列安桑点。[注1]此处的对角线指主对角线，若六边形的六个顶点记作A1,A2,A3,A4,A5,A6，则三条（主）对角线为A1A4,A2A5,A3A6.布列安桑定理的逆定理亦同样成立，即如果一个六边形的三条对角线共点，则它的六条边和一条圆锥曲线相切。布列安桑定理是帕斯卡定理的对偶定理。证明方法：如图，六边形ABCDEF切圆锥曲线于X1、X2、X3、X4、X5、X6，设BE∩CF=O由牛顿定理3知X1X4∩X3X6∩AD=M，X2X5∩X3X6∩CF=N，X1X4∩X2X5∩BE=P，X6X1∩X5X2∩FB=T则观察图中两个绿色三角形知AX1∩PO=B，AX6∩NO=F，X6X1∩X5X2∩FB=T，根据笛沙格定理（逆）知M∈AO，又因M∈AD，故A、O、D共线，定理得证。十七：曼海姆定理曼海姆定理是指有一圆分别与三角形ABC的外接圆⊙O和直线AB,AC相切于D,P,Q，则PQ中点为三角形ABC的内心或旁心。若它与外接圆内切，即为内心；外切即为旁心。证明：当两圆内切时,过D作两圆外公切线上与B同侧一点为E，与C同侧一点为F联结DP,DQ并延长，交外接圆于S,T.联结BD,AD,PQ,SA.因为∠PDE=∠PQD=∠BPD=∠BAD+∠ADS,∠SDE=∠SAD=∠SAB+∠BAD,所以∠ADS=∠SAB，所以S为弧AB中点,所以S.I.C共线.同理，B.I.T共线.连接SC,BT.对ABTDSC运用Pascal定理，则P.I.Q共线.易知PQ⊥AI，故PI=IQ，I为PQ中点.命题得证。当两圆外切时，类似可证。十八：张角定理在△ABC中，D是BC上的一点，连结AD，则。逆定理：在△ABC中，若，则D在BC上。推论：在△ABC中，若AD平分，则B、C、D共线的充要条件是。十九：九点圆定理（欧拉圆、费尔巴赫圆）三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。二十：鸡爪定理鸡爪定理指的是设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC。其中KI、KJ、KB、KC组成的图形，形似鸡爪，故被称为鸡爪定理。证明：由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ同理，∠ICJ=90°∵∠IBJ+∠ICJ=180°∴IBJC四点共圆，且IJ为圆的直径∵AK平分∠BAC∴KB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB∴KB=KI∵IBJC四点共圆且KB=KI=KC∴点K是四边形IBJC的外接圆的圆心（只有圆心满足与圆周上超过三个以上的点的距离相等）∴KB=KI=KJ=KC鸡爪定理的逆定理：设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K。在AK及延长线上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的内部，J在△ABC的外部。则I是△ABC的内心，J是△ABC的旁心。证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理。取△ABC的内心I'和旁心J‘，根据定理有KB=KC=KI'=KJ'又∵KB=KI=KJ∴I和I'重合，J和J’重合即I和J分别是内心和旁心二十一：根轴的有关性质在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴。它是一条特殊的直线。即向不同心两圆引相等切线的点的轨迹，是垂直于两圆连心线的一条直线，该直线称为两圆的根轴两圆相交、相切时，根轴为两圆交点的连线；内含时，作一适当的圆与两圆相交，这圆与两圆的根轴的交点在根轴上.同理再作一点，两点所在的直线即为根轴（等幂轴），如图。常见的性质有：1、平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；2、若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；3、若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；4、若两圆外离，则两圆的根轴上的点分别引两圆的切线，则切线长相等。从而，根轴必过四条公切线的中点。5、蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行；6、反演后的圆和反演圆和被反演的圆3个圆共根轴。例5：（2013年（第54届）国际数学奥林匹克竞赛（IMO）第二天第4题）

已知是锐角三角形，H是垂心。W是BC上一点（在B和C之间）。M和N分别是从B和C作出的高的垂足。

和

的外接圆分别记为

和

。X,Y分别是

和

上的点，且WX和WY分别是

和

的直径。求证：X,Y,H三点共线。证明：如图，记

和

的另一个交点为U，则UW是

和

的根轴。显然，由于XW和YW分别是两圆的直径，因此XU⊥UW，YU⊥UW，从而X,U,Y共线。显然，B,C,M,N共圆，记该圆为

。注意到BN是

和

的根轴，而CM是

和

的根轴。BN和CM交于A点，由蒙日定理知，

和

的根轴UW必然通过A点，这也就是说A,U,W共线，从而AU⊥XY。记的

外接圆为

。显然，由于AN⊥NH，AM⊥MH，因此A,M,H,N四点共圆，即H也

在上。由密克定理，可以直接证明U也在

上（从而U就是

、

和

的公共点），从而A,N,U,H,M五点共圆，AH是该圆的直径，则必有AU⊥UH，再由A,U,W共线，知UH⊥UW，从而X,U,H,Y四点共线。证毕。二十二：调和四边形的有关性质调和四边形是指对边乘积相等的圆内接四边形。过圆外一点作圆的两条切线与一条割线，与圆相交的四点构成的凸四边形为调和四边形。它在射影几何中占有重要地位，常见性质有：1、调和四边形的其中一条对角线，与过其余两点的四边形外接圆的两条切线，这三条直线共点；2、设调和四边形ABCD中，对角线AC中点为M，则△AMB∽△DMA∽△DCB，△BMC∽△CMD∽△BAD；3、设调和四边形ABCD中，对角线AC与过B、D两点的四边形ABCD外接圆的切线所共的点记为P，记AP交BD于Q，则AQ为△ABD的一条陪位中线，A、Q、C、P四点为调和点列；取对角线AC中点M，设四边形ABCD外接圆圆心为O，则B、P、D、O、M五点共圆；二十三：调和点列的有关性质若同一直线上四点B、E、C、D满足BD×EC=BE×CD,则称B,D调和分割线段EC,或E,C调和分割线段BD，称B、E、C、D为调和点列。B、D与E、C称为调和共轭。性质1：若△ABC的三条Ceva线AD、BE、CF共点G,直线EF、CB交于P,则P、B、D、C成调和点列.性质2：对于A,B的内分点C和外分点D满足C,D调和分割线段AB，M是AB的中点，则有以下结论成立：1、点A,B调和分割线段CD；2、；3、AB×CD=2AD×BC；4、CA×CB=CM×CD。性质3：设B、D、C、E依次在一直线上,若下列命题中任意两个为真,则可以推得另外两个:=1\*GB3①AD是∠BAC的内角平分线；=2\*GB3②AE⊥AD；=3\*GB3③B、D、C、E成调和点列；=4\*GB3④AE是∠BAC的外角平分线。性质4：对于直线上的4点A，B，C，D，把各有向线段的量之间的比值称为这4点的交比，记为（AB，CD）。则交比为－1的4个点组成调和点列。调和点列的角元表示：

两个常见图形的调和点列表示：（1）完全四边形的调和点列；（2）圆中的调和点列则P、B、E、D成调和点列。二十四：摩德尔定理另外，初中阶段的基础知识主要有：角平分线定理，射影定理，四点共圆定理，切线长定理，弦切角定理，圆幂定理等。高中阶段还可选修反演和配极的有关知识。联赛真题：一、（2010年）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线