中考数学二轮专题复习：规律探索题

中考数学二轮专题复习：规律探索题1.如图．的面积为．分别取两边的中点，则四边形的面积为，再分别取的中点的中点，依次取下去…．利用这一图形．计算出的值是（）A. B. C. D.2.观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：______________________；（2）写出你猜想第n个等式：____________（用含n的等式表示），并证明.3.从2开始，连续偶数相加，它们的和（记为S）的情况如表：偶数的个数nS12=1×222+4=6=2×332+4+6=12=3×442+4+6+8=20=4×552+4+6+8+10=30=5×6（1）若n=7时．則S的值为（2）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式为：S=2+4+6+8+・・・+2n=（3）根据（2）中的规律计算：（要有过程）．4.观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……；按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：______（2）写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明．5.观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：______；（2）写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明．6.观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：．…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：________；（2）用含有的代数式表示第个等式：________；（为正整数）（3）试比较代数式的值与的大小关系．7.观察以下等式：第1个：；第2个：；第3个：；……（1）依此规律进行下去，第4个等式为______，（2）猜想第n个等式______（n为正整数），并证明．8.观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：________=________．（2）用含有的代数式表示第个等式：（为正整数）；________________________=________________________．（3）求的值．9.观察下列等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：……根据上述规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式；（2）写出你猜想的第个等式：（用含的等式表示），并证明．10.如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球个数之和相等．尝试求x＋y的值；应用若n＝22，则这些小桶内所放置的小球个数之和是多少？发现用含k（k为正整数）的代数式表示装有“4个球”的小桶序号．11.观察以下等式：第1个等式：第个等式：第3个等式：第个等式：第5个等式：······按照以上规律．解决下列问题：写出第个等式____________；写出你猜想的第个等式：(用含的等式表示)，并证明．12.如图，将边长分别为1、2、3、5、…的若干正方形按一定的规律拼成不同的矩形，依次记作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④……矩形n，那么按此规律．…（1）组成矩形n的正方形的个数为_________个；（2）矩形⑥的周长为_________．13.2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．操作：将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②，称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形．不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．（1）【规律总结】每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的倍；（2）【问题解决】试猜想第n次分形后所得图形的边数是；周长为（用含n的代数式表示）14.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1、3、6、10．……．按照以上规律，解决下列问题：

（1）第⑤个图中有_____个黑色圆点；第⑩个图中有______个黑色圆点；（2）第_______个图中有210个黑色圆点．15.如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为1，的坐标为，的坐标为．（1）的坐标为______，的坐标为______（用含n的代数式表示）；（2）若护栏长为2020，则需要小正方形______个，大正方形______个．16.如图①，我们把一个矩形称作一个基本图形，把矩形的顶点及其对称中心称作基本图形的特征点，显然这样的基本图形共有5个特征点，将此基本图形不断地复制并平移，使得相邻两个基本图形的两个特征点重合，这样得到第2个图；第3个图；……；（1）观察以上图形并完成下表：基本图形的个数1234…特征点的个数5811…猜想：在第n个图中特征点的个数为________（用含n的代数式表示）．（2）在平面直角坐标系中，点A、点B是坐标轴上的两点，且OA＝1，以OA、OB为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为y＝x，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图②所示，若各矩形的对称中心分别为O1、O2、O3、……，则O2022的坐标为________．17.在数学探究课上，老师布置如下活动：用若干个大小一样的小矩形拼成一个大矩形，探究图中包含的矩形（含正方形）个数．如图1，是由两个小矩形组成的一个图形，该图中共有3个矩形．尝试解决以下问题：（1）图2是由4个小矩形组成的图形，该图中共有______个矩形；图3是由6个小矩形组成的图形，该图中共有______个矩形；（2）小军在与同学探究时发现，矩形的个数与最大矩形的长和宽所包含的线段条数有关．如图4，最大矩形的长包含6条线段，宽也包含6条线段，则该图中共有______个矩形；若某大矩形是由mn个小矩形组成，则该图中共有______小矩形．（备注：）18.用同样规格的黑白两种颜色的正方形．按如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题：（1）在图②中用了块白色正方形，在图③中用了__块白色正方形（2）按如图的规律维续铺下去，那么第n个图形要用_块白色正方形；（3）如果有足够多的黑色正方形，能不能恰好用完2021块白色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．19.观察如图图形，把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1），对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法…，据此解答下面的问题．（1）填写下表：图形挖去三角形的个数图形11图形21＋3图形31＋3＋9图形4___________________（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数（用含n的代数式表示）；（3）若图中挖去三角形的个数为，求．20.如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆：（1）根据图中的规律，第5个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________；（2）如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影．①用含a的代数式分别表示第1个正方形中、第3个正方形中阴影部分的面积（结果保留）；②若，请直接写出第2022个正方形中阴影部分的面积（结果保留）．

2022年中考数学二轮专题复习：规律探索题参考答案1.如图．的面积为．分别取两边的中点，则四边形的面积为，再分别取的中点的中点，依次取下去…．利用这一图形．计算出的值是（）A. B. C. D.【答案】∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，

且△ABC的面积为1，

∴△A1B1C的面积为，∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积-△A1B1C的面积=，∴四边形A2A1B1B2的面积=△A1B1C的面积-△A2B2C的面积=，…，

∴第n个四边形的面积，故．故选：B．2.观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：______________________；（2）写出你猜想第n个等式：____________（用含n的等式表示），并证明.【答案】(1)解：通过观察可得：；(2)．证明：左边===右边，∴．3.从2开始，连续偶数相加，它们的和（记为S）的情况如表：偶数的个数nS12=1×222+4=6=2×332+4+6=12=3×442+4+6+8=20=4×552+4+6+8+10=30=5×6（1）若n=7时．則S的值为（2）根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式为：S=2+4+6+8+・・・+2n=（3）根据（2）中的规律计算：（要有过程）．【答案】（1）解：设加数的个数为n时，它们的和为Sn（n为正整数），

观察，发现规律：S1=2=1×2，S2=2+4=2×3，S3=2+4+6=3×4，S4=2+4+6+8=4×5，…，

∴Sn=2+4+6+…+2n=n（n+1）．当n=7时，．

故答案为：56．（2）．

故答案为：．（3）∵4.观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……；按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：______（2）写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明．【答案】（1）解：由题意得，第5个等式为：；（2）解：第n个等式为：，左边：右边，∵左边=右边，∴等式成立．5.观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：______；（2）写出你猜想的第n个等式：________（用含n的等式表示），并证明．【答案】（1）解：，故答案为：；（2）．证明：左边＝＝＝==＝右边，所以等式成立．故答案为：．6.观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：．…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：________；（2）用含有的代数式表示第个等式：________；（为正整数）（3）试比较代数式的值与的大小关系．【答案】（1）从等式可以得出：从分子为2，分母从2开始，连续偶数的乘积，可以拆成，分子是1，分母是以这两个偶数为分母的差，所以．故答案为：．（2）从等式可以得出：从分子为2，分母从2开始，连续偶数的乘积，可以拆成，分子是1，分母是以这两个偶数为分母的差，所以．故答案为：．（3）．故．7.观察以下等式：第1个：；第2个：；第3个：；……（1）依此规律进行下去，第4个等式为______，（2）猜想第n个等式______（n为正整数），并证明．【答案】（1）根据题意得：第4个等式为故答案为：（2）第n个等式为：（或者）证明：左边右边，左边＝右边，故猜想成立．故答案为：8.观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：________=________．（2）用含有的代数式表示第个等式：（为正整数）；________________________=________________________．（3）求的值．【答案】（1）故答案为；（2）=故答案为：；（3）9.观察下列等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：……根据上述规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式；（2）写出你猜想的第个等式：（用含的等式表示），并证明．【答案】解：（1）第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：第5个等式：故答案为：（2）由（1）可得第个等式为证明：左边==所以等式成立．10.如图，从左向右依次摆放序号分别为1，2，3，…，n的小桶，其中任意相邻的四个小桶所放置的小球个数之和相等．尝试求x＋y的值；应用若n＝22，则这些小桶内所放置的小球个数之和是多少？发现用含k（k为正整数）的代数式表示装有“4个球”的小桶序号．【答案】尝试：根据题意可得6＋3＋4＋5＝4＋5＋x＋y，∴x＋y＝9；应用：∵6＋3＋4＋5＝3＋4＋5＋x，又∵x＋y＝9，∴x＝6，y＝3，∴小桶内所放置的小球数每四个一循环，∵22÷4＝5⋯⋯2，∴（6+3+4+5）×5+9=99发现：装有“4个球”的小桶序号分别为3＝4×1－1，7＝4×2－1，11＝4×3－1…，∴装有“4个球”的小桶序号为4k－1．11.观察以下等式：第1个等式：第个等式：第3个等式：第个等式：第5个等式：······按照以上规律．解决下列问题：写出第个等式____________；写出你猜想的第个等式：(用含的等式表示)，并证明．【答案】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：；（2），证明：∵左边==右边，∴等式成立．12.如图，将边长分别为1、2、3、5、…的若干正方形按一定的规律拼成不同的矩形，依次记作矩形①、矩形②、矩形③、矩形④……矩形n，那么按此规律．…（1）组成矩形n的正方形的个数为_________个；（2）矩形⑥的周长为_________．【答案】（1）解：由图可知：矩形①包含正方形个数：个，矩形②包含正方形个数：个，矩形③包含正方形个数：个，矩形④包含正方形个数：个，∴矩形n包含正方形个数：个，（2）解：由图可知：矩形①的长宽分别为：2、1，矩形②的长宽分别为：3、2，矩形③的长宽分别为：5、3，矩形④的长宽分别为：8、5，∴矩形⑤的长宽分别为：13、8，矩形⑥的长宽分别为：21、13，故其周长为：．13.2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．操作：将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②，称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形．不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．（1）【规律总结】每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的倍；（2）【问题解决】试猜想第n次分形后所得图形的边数是；周长为（用含n的代数式表示）【答案】（1）解：等边三角形的边数为3，边长为1，第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长是，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长是，…，∴每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的倍．故答案为：4；；(2解：第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长是，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长是，…，所以第n次分形后所得图形的边数是，边长为，所以周长为．故答案为：；．14.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1、3、6、10．……．按照以上规律，解决下列问题：

（1）第⑤个图中有_____个黑色圆点；第⑩个图中有______个黑色圆点；（2）第_______个图中有210个黑色圆点．【答案】(1)解：第一个图形的数量是1，可以表示为；第二个图形的数量是3，可以表示为；第三个图形的数量是6，可以表示为；第四个图形的数量是10，可以表示为；所以第五个图形的数量是15，可以表示为；……第十个图形的数量是；故答案为：15；55．（2）解：由（1）可得，第n个图形的数量是，所以当=210时，n=20，故答案为：20．15.如图，某小区绿化区的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为1，的坐标为，的坐标为．（1）的坐标为______，的坐标为______（用含n的代数式表示）；（2）若护栏长为2020，则需要小正方形______个，大正方形______个．【答案】（1）∵A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2），∴A1，A2，A3，…，An各点的纵坐标均为2，∵小正方形的边长为1，∴A1，A2，A3，…，An各点的横坐标依次比前一个增加3，∴A3（5+3，2），An（，2），即A3（8，2），An（3n﹣1，2），故答案（8，2）；（3n﹣1，2）；（2）由已知可得，所有小正方形和大正方形之间的直角三角形是全等的等腰直角三角形∴直角三角形的直角边长等于小正方形边长，长度是1，∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：1+1+1=3，∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形673+1=674（个），大正方形673个．故答案为：674；673．16.如图①，我们把一个矩形称作一个基本图形，把矩形的顶点及其对称中心称作基本图形的特征点，显然这样的基本图形共有5个特征点，将此基本图形不断地复制并平移，使得相邻两个基本图形的两个特征点重合，这样得到第2个图；第3个图；……；（1）观察以上图形并完成下表：基本图形的个数1234…特征点的个数5811…猜想：在第n个图中特征点的个数为________（用含n的代数式表示）．（2）在平面直角坐标系中，点A、点B是坐标轴上的两点，且OA＝1，以OA、OB为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为y＝x，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图②所示，若各矩形的对称中心分别为O1、O2、O3、……，则O2022的坐标为________．【答案】解：由图表可知：基本图形的个数×3+2＝特征点的数量即：3n＋2解：将y＝1代入y＝x中，得x＝∴O1（，）根据规律，On（，）O2022（，）即，O2022（，）故答案为：3n＋2；（，）17.在数学探究课上，老师布置如下活动：用若干个大小一样的小矩形拼成一个大矩形，探究图中包含的矩形（含正方形）个数．如图1，是由两个小矩形组成的一个图形，该图中共有3个矩形．尝试解决以下问题：（1）图2是由4个小矩形组成的图形，该图中共有______个矩形；图3是由6个小矩形组成的图形，该图中共有______个矩形；（2）小军在与同学探究时发现，矩形的个数与最大矩形的长和宽所包含的线段条数有关．如图4，最大矩形的长包含6条线段，宽也包含6条线段，则该图中共有______个矩形；若某大矩形是由mn个小矩形组成，则该图中共有______小矩形．（备注：）【答案】（1）解：图2中，以1个小矩形为整体的有4个，以2个小矩形为整体的有4个，以4个小矩形为整体的有1个，故有个；图3中，以1个小矩形为整体的有6个，以2个小矩形为整体的有7个，以3个小矩形为整体的有2个，以4个小矩形为整体的有2个，以6个小矩形为整体的有1个，故有个；（2）图4，以1个小矩形为整体的有9个，以2个小矩形为整体的有12个，以3个小矩形为整体的有6个，以4个小矩形为整体的有4个，以6个小矩形为整体的有4个，以9个小矩形为整体的有1个，故有个，恰好等于长中线段数×宽中线段数，为了验证此结论，图2长有3条线段，宽有3条线段，共有个，图3长有6条线段，宽有3条线段，共有个，大矩形有mn个小矩形，m所在边有条线段，n所在边有条线段，那么小矩形的个数为：．18.用同样规格的黑白两种颜色的正方形．按如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题：（1）在图②中用了块白色正方形，在图③中用了__块白色正方形（2）按如图的规律维续铺下去，那么第n个图形要用_块白色正方形；（3）如果有足够多的黑色正方形，能不能恰好用完2021块白色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形；如果不能，说明你的理由．【答案】（1）解：根据题意得：图①中用了白色正方形的块数为5=3×1+2，图②中用了白色正方形块数为8=3×