高等固体物理例题.质量相同两种原子形成一维双链最近邻原子间

例题.质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间，并且最近邻的间距处的频率值的力常数交错等于

和求出色散关系和分析计算大致画出色散关系图绿色标记的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……红色标记原子位于2n，2n+2，

2n+4……——第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程——体系N个原胞，有2N个独立的方程——

方程的解令——A、B有非零的解，系数行列式满足——2

20

(11

20cos

qa

101)——两种色散关系220

(11

20cos

qa

101)——

色散关系图——两种色散关系例题一维复式格子中，如果和最小值，声学波频率计算光学波频率的最大值的最大值

；相应声子的能量,

和

；在

下，三种声子数目各为多少？如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段？1)声学波的最大频率rad

/

smax

2.991013

A光学波的最大频率光学波的最小频率minOmmax

5

2

6.701013

rad

/

so

2

5.991013

rad

/

sEOmax

4.41102

eVEOmin

3.94102

eVEAmax

1.97

102

eV2）相应声子的能量3)认为声子是独立的，形成无相互作用的声子气体，不受泡利原理的限制，属于玻色子系统。声子数不守恒。当系统处于热平衡状态时，频率为子数由玻色统计给出：1

1

)

1

2

(e

/

kBT1

1in

(q)

ei

/

kBT而其平均能量为：i

的

的平均声光学波频率的声子数目maxmaxnO(O

)

0.222min

minnO(O

)

0.278声学波频率的声子数目maxmaxn

A(

A

)

0.876EAmax

1.97

102

eVEOmin

3.94102

eVEOmax

4.41102

eV二维正单原子晶体德拜近似（连续弹性介质声学波近似）：二维：两支声学

（一纵、一横）两种极化方式色散关系：线性＝vk总模式数：2N对于倒空间，k值密度：（L/2）2对每种偏振模式：N=（L/2）2(k2）模式密度：D()=dN/d德拜温度：晶格比热：例题．由N个原子组成的一维简单晶格晶体，晶格常数为a。设

的 速度为c，应用Debye模型分别计算：(1)

晶格振动的模式密度D()；(2)截止频率D；(3)晶体的

零点振动能E0

。提示：Debye

model:

=

c

k(1)(2)(3)

d

cD()

L

dk

NaaD0

c

D(N)d

c

dD

NaD04a0D

1NcE0

2

D()d

例题计算一维单原子链的频率分布函数()设单原子链长度取值每个

的宽度状态密度dq间隔内的状态数对应q，取值相同，d间隔内的状态数目2(

)d

2

Na

dq2(

)d

2

Na

dq一维单原子链色散关系)222aqm4

sin

(令两边微分得到d间隔内的状态数目201

2(

)

2N代入频率分布函数例题限制在边长为L的正方形中的N个电子，电子的能量：能量求能态密度求二维系统在绝对零度时的将

改写为——对于给定的能量，该方程在k空间表示的是一个圆k空间，单位面积内的状态数半径的圆内的状态数能量E到E+dE之间的状态数能态密度mL22N

(E)

能量电子的数目绝对零度时的能量0N2EF

mL2例题设一维晶体的电子能带可以写成式中a为晶格常数。计算:电子在

k的状态时的速度；能带底部和能带顶部电子的有效质量电子在k的状态时的速度v(k

)

(sin

ka

1

sin

2ka)ma

4m*

2mm23m*

电子的有效质量能带底部能带顶部有效质量有效质量例题晶格常数为2.5埃的一维晶格，当外加102V/m和107V/m的电场时，分别估算电子自能带底运动到能带顶所需要的时间。提示:dt2）能带底到能带顶k

的变化为

/a1）电子倒空间里k

方向上匀速运动；F

dk

eE例题

写出一维近

电子近似，第n个能带（n=1,2,3）中，简约

的零级波函数一维近

电子近似中，用简约

表示的波函数第n个能带零级波函数第一个能带L1i

xe2a第二个能带eL2a1i

3

x第三个能带L1i

5

xe

2a例题电子在周期场中的势能函数且a=4b，是常数。画出此势能曲线，并计算势能的平均值；用近

电子模型，计算晶体的第一个和第二个带隙宽度势能的平均值势能的平均值令296a226mb2V

m

在近电子近似模型中，势能函数的第n个系数第一个带隙宽度Eg1

2V1第二个带隙宽度Eg

2

2V22

22

3

3a2m

m2

8b22

2ma216

2m

2

b例题用紧近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s态原子能级相对应的能带函数面心立方晶格——s态原子能级相对应的能带函数——任选取一个格点为原点——最近邻格点有12个O——s原子态波函数具有球对称性12个最邻近格点的位置O12

2

2

2

2

24J

(cos

kxa

cos

kya

cos

kxa

cos

kza

cos

kya

cos

kza

)——类似的表示共有12项——归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带Es

(k

)

Js

0，任选——

对于体心立取一个格点为原点O——有8个最邻近格点——最近邻格点的位置E

(k

)kyakxa

kzass

J

0

8J1

cos

2

cos

2

cos

2——类似的表示共有8项——归并化简后得到体心立方s态原子能级相对应的能带例题一维单原子链，原子间距a，总长度为L＝Na用紧

近似方法求出与原子s态能级相对应的能带函数求出其能态密度函数

的表达式如每个原子s态中只有一个电子，计算T=0K时的费密能级和

处的能态密度只计入最近邻格点原子的相互作用时，s态原子能级相对应的能带函数表示为对于一维情形,任意选取一个格点为原点——有两个最近邻的格点，坐标为：a和－aEs

(k)

J

2J

coskas

0

1能态密度函数的计算对于一维格子，

为

具有相同的能量，此外考虑到电子自旋有2种取向，在dk区间的状态数T=0K的费密能级计算总的电子数J0

2J1

cos

kaJ0Es(k)

sE(k

F

)

sT=0K费密能级处的能态密度例题：设晶胞参数为a，晶体体积为V。分别求简立方、面心立方、体心立方的晶胞和原胞体积，倒格子中晶胞和原胞的体积。倒空间中价电子的密度。k0

(/a

，

/a

)k1

(-/a

，

/a)k2

(/a

，-

/a)k3

(-/a

，-

/a

)G0

=

0G1

=

(2/a

,

0)G2

=

(0,

2/

a)G3

=

(2/a

,

2/a

)例题设有二维正方晶格，晶体势场为U

(x,

y)

4U

cos(

2

x)

cos(

2

y)a

a用近 电子近似的微扰论，近似求出布里渊区顶角处（

/a

，/a

）的能隙。提示：电子能量为四重简并，即可以找到四个倒格矢Gn，使得k’=k－Gn态与k态的零级能量相等，为E0根据微扰理论，零级近似的波函数为四个态的波函数的线性叠加，代入Schrödinger方程中，（H0+U)

0=E

0利用

电子的波动方程，得到00

1

0

20

31

011213202

122330313

23E

E(0)U

G

G

U

G

G

U

G

G

U

G

G

E

E(0)U

G

G

U

G

G

0U

G

G

U

G

G

E

E(0)U

G

G

U