2021-2022学年湖北省武汉市江夏区九年级（上）期中数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉市江夏区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0中，二次项系数和常数项分别是（）A．2，5 B．2，﹣5 C．2，1 D．2，﹣12．（3分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方得（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣4）2＝1 D．（x﹣4）2＝54．（3分）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）A．12x（x﹣1）＝36 B．12x（x+1）＝C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝365．（3分）如图，已知圆心角∠BOC＝100°，则圆周角∠BAC的大小是（）A．50° B．100° C．130° D．200°6．（3分）如图，将△ABD绕顶点B顺时针旋转40°得到△CBE，且点C刚好落在线段AD上，若∠CBD＝32°，则∠E的度数是（）A．32° B．34° C．36° D．38°7．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在函数y＝﹣x2﹣2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y38．（3分）将二次函数y＝x2+1的图象绕点（1，﹣1）旋转180°，得到的图象的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣3）2﹣2 D．y＝﹣（x+2）2﹣39．（3分）观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得，71+72+…+72020+72021的结果的个位数是（）A．0 B．1 C．7 D．810．（3分）已知抛物线y＝x2﹣（1+m）x+m与直线y＝﹣x两个交点的横坐标是x1，x2，并且x12+mx2＝2，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或2二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是．12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，4）关于原点对称点的坐标是．13．（3分）某种植物主干长出若干数目的枝干，每个分支又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是91，每个枝干长出小分支．14．（3分）在半径为10的⊙O中，弦AB＝12，弦CD＝16，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离是．15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1且小于0．其中正确的是．（只填序号）16．（3分）△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D为BC的中点，直线l经过点D，过B作BF⊥l于F，过A作AE⊥l于E，求AE+BF的最大值为．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．18．（8分）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD．19．（8分）如图，有一矩形的硬纸板，长为30cm，宽为20cm，在其四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长为何值时，所得长方体盒子的底面积为264cm2？20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，平行四边形ABCD的顶点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90°，画出对应线段AE；（2）过点E画一条直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；（3）过点D画格点线段DP，使得DP⊥BC于点M，垂足为M；（4）过点M画线段MN，使得MN∥AB，MN＝AB．21．（8分）如图，AB为⊙O直径，C为AB上一点，DC⊥AB于C，交⊙O于D，D为AE中点，AE交DC于点F．（1）求证：AE＝2DC；（2）若AC＝2，AE＝8，求⊙O半径R和CF长．22．（10分）某商店经销一种销售成本为30元/kg的水产品，据市场分析：若按50元/kg销售，一个月能售出300kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．设售价为x元/kg（x＞50），月销售量为ykg；（1）求月销售量y与售价x之间的函数解析式；（2）当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？（3）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润不少于4000元，销售单价应定在什么范围？请直接写出售价x的取值范围．23．（10分）等边△ABC中，D、E分别是边AC、BC边上的点，CD＝CE，以CE、CD为邻边作菱形CDFE，连BF，P为BF中点，连AP、EP．（1）作出△PEF关于点P成中心对称的△PQB，并证明：AP⊥EP；（2）将菱形CDFE绕点C旋转：①如图2，确定线段AP与线段EP的关系，并证明你的结论．②若AC＝3，DC＝1，菱形CDFE在旋转过程中，直接写出线段AP的最大值是，最小值是．24．（12分）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣2，0）和B两点，点C（6，4）在抛物线上．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，D为y轴左侧抛物线上一点，且∠DCA＝2∠CAB，求点D的坐标；（3）如图2，直线y＝mx+n与抛物线交于点E、F，连接CE、CF分别交y轴于点M、N，若OM•ON＝3．求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标．

2021-2022学年湖北省武汉市江夏区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0中，二次项系数和常数项分别是（）A．2，5 B．2，﹣5 C．2，1 D．2，﹣1【解答】解：一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的二次项系数和常数项分别是2和﹣1，故选：D．2．（3分）下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，故选：B．3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方得（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣4）2＝1 D．（x﹣4）2＝5【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣4x＝1，∴x2﹣4x+4＝5，∴（x﹣2）2＝5．故选：B．4．（3分）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）A．12x（x﹣1）＝36 B．12x（x+1）＝C．x（x﹣1）＝36 D．x（x+1）＝36【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：12x（x﹣1）＝36故选：A．5．（3分）如图，已知圆心角∠BOC＝100°，则圆周角∠BAC的大小是（）A．50° B．100° C．130° D．200°【解答】解：根据圆周角定理，可得：∠A=12∠BOC＝故选：A．6．（3分）如图，将△ABD绕顶点B顺时针旋转40°得到△CBE，且点C刚好落在线段AD上，若∠CBD＝32°，则∠E的度数是（）A．32° B．34° C．36° D．38°【解答】解：∵将△ABD绕点B顺时针旋转40°得到△CBE，∴CB＝AB，∠ABC＝40°，∠D＝∠E，∴∠A＝∠ACB=12（180°﹣40°）＝∵∠CBD＝32°，∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝40°+32°＝72°，∴∠D＝∠E＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣70°﹣72°＝38°．故选：D．7．（3分）已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在函数y＝﹣x2﹣2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+b，∴函数y＝﹣x2﹣2x+b的对称轴为直线x＝﹣1，开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∵﹣1﹣（﹣3）＝2，﹣1﹣（﹣1）＝0，2﹣（﹣1）＝3，∴y3＜y1＜y2，故选：B．8．（3分）将二次函数y＝x2+1的图象绕点（1，﹣1）旋转180°，得到的图象的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣3）2﹣2 D．y＝﹣（x+2）2﹣3【解答】解：∵抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），∴绕点（1，﹣1）旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（2，﹣3），∴所得到的图象的解析式为y＝﹣（x﹣2）2﹣3，故选：A．9．（3分）观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得，71+72+…+72020+72021的结果的个位数是（）A．0 B．1 C．7 D．8【解答】解：由71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，可得：个位数4个数一循环，且4个数一循环的个位数字之和为7+9+3+1＝20，∵2021÷4＝505…1，∴71+72+…+72021＝505×0+7＝7，故选：C．10．（3分）已知抛物线y＝x2﹣（1+m）x+m与直线y＝﹣x两个交点的横坐标是x1，x2，并且x12+mx2＝2，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣1或2【解答】解：令x2﹣（1+m）x+m＝﹣x，∴x2﹣mx+m＝0，∴m2﹣4m＞0，∴m＜0或m＞4，x1+x2＝m，∵x1∴x1∴x＝mx1﹣m+mx2，＝m（x1+x2）﹣m，＝m2﹣m，∴m2﹣m＝2，∴m1＝2（舍去），m2＝﹣1，故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是x1＝0，x2＝1．【解答】解：x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，∴x＝0或x﹣1＝0，∴x1＝0，x2＝1，故答案为：x1＝0，x2＝1．12．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，4）关于原点对称点的坐标是（﹣2，﹣4）．【解答】解：点P（2，4）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣4），故答案为：（﹣2，﹣4）13．（3分）某种植物主干长出若干数目的枝干，每个分支又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是91，每个枝干长出9小分支．【解答】解：设每个枝干长出x个小分支，则主干上长出了x个枝干，根据题意得：x2+x+1＝91．整理，得（x+10）（x﹣9）＝0，解得x1＝﹣10（舍去），x2＝9．即每个枝干长出9小分支．故答案是：9．14．（3分）在半径为10的⊙O中，弦AB＝12，弦CD＝16，且AB∥CD，则AB与CD之间的距离是2或14．【解答】解：过O作OE⊥CD于E，直线OE交AB于F，连接OC，OA，∵AB∥CD，OE⊥CD，∴OF⊥AB，∵AB＝12，CD＝16，OE过圆心O，∴CE＝DE＝8，AF＝BF＝6，有两种情况：①如图1，由勾股定理得：OE=OCOF=OA∴EF＝OF﹣OE＝8﹣6＝2；②如图2，EF＝OE+OF＝6+8＝14，所以AB与CD之间的距离是2或14，故答案为：2或14．15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1且小于0．其中正确的是①②④．（只填序号）【解答】解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，则abc＜0，故①正确；∵-b2a∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确；∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1，∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（﹣1，0）之间，故④正确；∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴y＝a+2a+c＜0，∴3a+c＜0，故③错误；故答案为：①②④．16．（3分）△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D为BC的中点，直线l经过点D，过B作BF⊥l于F，过A作AE⊥l于E，求AE+BF的最大值为26．【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴BH＝2，AH＝23，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AH＝CH＝23，∴AC=AH2+CH∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，∠BFD=∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，得矩形ENCK，∴CK＝EN，∴AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为26，综上所述，AE+BF的最大值为26．故答案为26．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）解方程：x2﹣4x﹣7＝0．【解答】解：移项得：x2﹣4x＝7，配方得：x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11，开方得：x﹣2＝±11，∴原方程的解是：x1＝2+11，x2＝2-18．（8分）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证：AC＝BD．【解答】证明：过点O作OE⊥AB，∵OA＝OB，∴AE＝BE，又∵在⊙O中，∴CE＝DE，∴AC＝BD19．（8分）如图，有一矩形的硬纸板，长为30cm，宽为20cm，在其四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把四周的矩形折起，可做成一个无盖的长方体盒子，当剪去的正方形的边长为何值时，所得长方体盒子的底面积为264cm2？【解答】解：设剪掉的正方形纸片的边长为xcm．由题意，得（30﹣2x）（20﹣2x）＝264．整理，得x2﹣25x+84＝0．解方程，得x1＝4，x2＝21（不符合题意，舍去）．答：剪掉的正方形的边长为4cm．20．（8分）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，平行四边形ABCD的顶点在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）将线段AD绕点A逆时针旋转90°，画出对应线段AE；（2）过点E画一条直线把平行四边形ABCD分成面积相等的两部分；（3）过点D画格点线段DP，使得DP⊥BC于点M，垂足为M；（4）过点M画线段MN，使得MN∥AB，MN＝AB．【解答】解：（1）如图，线段AE即为所求．（2）如图，直线OE即为所求．（3）如图，线段DP即为所求．（4）如图，线段MN即为所求．21．（8分）如图，AB为⊙O直径，C为AB上一点，DC⊥AB于C，交⊙O于D，D为AE中点，AE交DC于点F．（1）求证：AE＝2DC；（2）若AC＝2，AE＝8，求⊙O半径R和CF长．【解答】（1）证明：如图，延长DC交⊙O于N，∵DC⊥AB，AB是直径，∴AD=AN，DC＝CN=∵D为AE中点，∴AD=∴AD=∴AE=∴AE＝DN，∴AE＝2CD；（2）解：连接OD，∵AC＝2，AE＝8，∴CD＝4，CO＝R﹣2，∵OD2＝CO2+DC2，∴R2＝（R﹣2）2+16，∴R＝5，∴CO＝3，∵D为AE中点，∴OD⊥AE，∴∠A+∠AOD＝90°＝∠AOD+∠D，∴∠A＝∠D，又∵∠ACF＝∠DCO，∴△ACF∽△DCO，∴ACDC∴24∴CF=322．（10分）某商店经销一种销售成本为30元/kg的水产品，据市场分析：若按50元/kg销售，一个月能售出300kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．设售价为x元/kg（x＞50），月销售量为ykg；（1）求月销售量y与售价x之间的函数解析式；（2）当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？（3）商店想在月销售成本不超过6000元的情况下，使得月销售利润不少于4000元，销售单价应定在什么范围？请直接写出售价x的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，y＝300﹣（x﹣50）×10＝﹣10x+800，即月销售量y与售价x之间的函数解析式是y＝﹣10x+800；（2）设利润为w元，由题意可得w＝（x﹣30）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣55）2+6250，∴当x＝55时，w取得最大值，此时w＝6250，答：当售价定为55元时，月销售利润最大，最大利润是6250元；（3）∵月销售成本不超过6000元，月销售利润不少于4000元，∴30(-解得60≤x≤70，即x的取值范围是60≤x≤70．23．（10分）等边△ABC中，D、E分别是边AC、BC边上的点，CD＝CE，以CE、CD为邻边作菱形CDFE，连BF，P为BF中点，连AP、EP．（1）作出△PEF关于点P成中心对称的△PQB，并证明：AP⊥EP；（2）将菱形CDFE绕点C旋转：①如图2，确定线段AP与线段EP的关系，并证明你的结论．②若AC＝3，DC＝1，菱形CDFE在旋转过程中，直接写出线段AP的最大值是23，最小值是3．【解答】（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，由对称的性质得：PQ＝PE，∵P为BF的中点，∴PB＝PF，又∵∠BPQ＝∠FPE，∴△BPQ≌△FPE（SAS），∴BQ＝FE，∠BQP＝∠FEP，∴BQ∥FE，∵四边形CDFE是菱形，∴CD∥FE，CD＝CE＝FE，∴BQ∥CD，BQ＝CE，∴∠QBC+∠ACB＝180°，即∠ABQ+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABQ＝60°，∴∠ABQ＝∠ACE，∴△ABQ≌△ACE（SAS），∴AQ＝AE，∵PQ＝PE，∴AP⊥EP；（2）解：①AP⊥EP，AP=3EP作△PEF关于点P成中心对称的△PQB，连接AQ、AE，如图2所示：同（1）得：△BPQ≌△FPE（SAS），∴QB＝EF，PQ＝PE，∠QBP＝∠EFP，∴QB∥EF，∵四边形CDFE是菱形，∴CD∥FE，CE＝FE，∴BQ∥CD，BQ＝CE，∴∠QBC+∠BCD＝180°，即∠ABQ+∠ABC+∠ACB+∠ACD＝180°，∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABQ+∠ACD＝60°，∵∠ACE+∠ACD＝∠ECD＝60°，∴∠ABQ＝∠ACE，∵BQ＝CE，AB＝AC，∴△ABQ≌△ACE（SAS），∴AQ＝AE，∠QAB＝∠EAC，∵∠BAE+∠EAC＝60°，∴∠QAB+∠BAE＝60°，即∠QAE＝60°，∴△AEQ是等边三角形，∵PQ＝PE，∴AP⊥EP，∠EAP＝∠QAP=12∠QAE＝∴tan30°=PE∴AP=PEtan30°②由①得：AP⊥EP，△AEQ是等边三角形，∴∠AEP＝60°，∴sin60°=AP∴AP=32∴当AE最大时，AP最大，当AE最小时，AP最小，如图3，以C为圆心，CE