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数学分析选讲参考答案数学分析选讲参考答案数学分析选讲参考答案数学分析选讲参考答案编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:《数学分析选讲》A/B模拟练习题参考答案选择题：（共18题，每题3分）1、下列命题中正确的是（AB）A、若，则是的不定积分，其中为任意常数B、若在上无界，则在上不可积C、若在上有界，则在上可积D、若在上可积，则在上可积2、设，则当时，有（B）A．与是等价无穷小B．与同阶但非是等价无穷小C．是比高阶的无穷小D．是比低阶的无穷小3、若为连续奇函数,则为(A)A、奇函数B、偶函数C、非负偶函数D、既不是非正的函数,也不是非负的函数.4、函数在上连续是在上可积的（A）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要条件D.非充分也非必要条件.5、若为连续奇函数,则为(B)A、奇函数B、偶函数C、非负偶函数D、既不是非正的函数,也不是非负的函数.6、设则是的（B）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点7、设,当时,恒有,已知,.则正确的选项是(A)A、B、C、D、A和B的大小关系不定.8、函数f(x,y)在点连续是它在该点偏导数都存在的（A）A.既非充分也非必要条件B充分条件C.必要条件D.充要条件9、极限(D)A、B、C、D、不存在.10、部分和数列有界是正项级数收敛的(C)条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.非充分非必要11、极限(A)A、B、C、D、不存在.12、与的定义等价的是（BD）A、总有B、至多只有的有限项落在之外C、存在自然数N，对当，有D、存在自然数N，对有13、曲线(D)A、没有渐近线B、仅有水平渐近线C、仅有垂直渐近线D、既有水平渐近线,也有垂直渐近线14、下列命题中，错误的是（AD）A、若在点连续，则在既是右连续，又是左连续B、若对在上连续，则在上连续C、若是初等函数，其定义域为，，则D、函数在点连续的充要条件是在点的左、右极限存在且相等15、设为单调数列，若存在一收敛子列，这时有（A）A、B、不一定收敛C、不一定有界D、当且仅当预先假设了为有界数列时，才有A成立16、设在R上为一连续函数，则有（C）A、当为开区间时必为开区间B、当为闭区间时必为闭区间C、当为开区间时必为开区间D、以上A,B,C都不一定成立17、下列命题中错误的是（ＡＣ）A、若，级数收敛，则收敛；B、若，级数收敛，则不一定收敛；C、若是正项级数，且有则收敛；D、若，则发散18、设为一正项级数，这时有（D）A、若,则收敛B、若收敛，则C、若收敛，则D、以上A,B,C都不一定成立填空题：（共15题，每题2分）1、设，则2或-22、=3、=4、=25、设收敛，则=106、=7、28、89、设，则10、设，则11、幂级数的收敛半径为112、积分的值为013、曲线与轴所围成部分的面积为3614、15、=0三、计算题：（共15题，每题8分）1、求.解：=2、将展开成的幂级数，并指出其收敛域。解：==且由知3、求解：原式＝０（有界量乘以无穷小量）4、求解：令，原式＝5、求解：原式＝6、求极限解：7、设,求解：当时，；8、设，其中为何值时，在x=0处可导，为什么，并求。解：，故要使存在，必须又要使有导数存在,必须b=0.综上可知,当A=b=0,为任意常数时，在x=0处可导，且9、计算下列第一型曲面积分：其中为解:由平面构成:10、解：11、解：由洛必达（L’Hospital）法则得12、解：13、解:14、解:15、解:四、证明题（共17题，共156分）1、（6分）设函数在上连续，在内可导，且。试证：如果，则方程在内仅有一个实根。证明：因为在上连续，在内可导，，于是由零点存在定理知，至少存在一点使得，又，因此知在上为严格格单调增加的，故方程在内仅有一个实根。2、（10分）指出函数的不连续点，并判定不连续点的类型.解：的不连续点为又而在点没有定义，于是知为的第一类不连续点；为的第二类不连续点；为的第三类不连续点。3、（10分）设在上连续，在内可导，，又，证明在内有.证明：由于又在上连续，在内可导，，由拉格朗日中值定理知，使得，从而在内有4、（12分）设（1）证明在（0，0）点连续（2）求（3）证明在（0，0）点可微解：（1）令则故在（0，0）点连续。（2）（3）由于即在（0，0）点可微.5、（6分）设在严格单调递减，存在，且试证明.证明：令，则由题意有6、(10分)设为可微函数.求，其中（1）解：将已知等式两边对x求导得（2）将x=0代入(1)式解得，再将x=0代入（2）得7、(10分)在-1<x<1有意义，证明证明：令，则，即（1）将x=0代入（1）但8、(10分)求幂级数的收敛域。解：由于，则R=2，即当时其绝对收敛又当x+1=2，即x=1时，原级数为发散当，即时，原级数为收敛故原级数的收敛域为9、（7分）证明：当时，.证明：设，则在连续.则在单调增加。则对任意有，即10、（10分）设在上可微，且满足(1)求证：在(0,1)内至少存在一点，使.证明：由(1)式及积分中值定理知，存在，使(2)令,则由(2)式及假设可知在上满足罗尔定理的条件，故存在使11、(10分)求的收敛域，并求其和函数.解：设，则由及都发散，可知的收敛域为(1,-1).再由于12、(10分)设试证明：在x=0处连续.证明：则因此在x=0处连续.13、（6分）证明由积分确定的连续函数零点定理：设在上连续，若，则，使得.证明：用反证法.若对,由连续函数的零点定理可知,在上不变号.不妨设在上,由定积分的性质可得,此与条件矛盾,于是,必，使得.14、（10分）设在上连续,且满足.试证:,使得.证明：取变换,则,已知积分等式变为.注意到时,也有,因而在上连续,于是.由此可得,使得.15、（12分）设在上连续,在内可导,且,记,(1)求;(2)求证:,使得;解：(1);(2)因为,又在上连续,在内可导,由罗尔中值定理,,使得,即;16、（7分）设，试证数列存在极