初二数学经典难题(带解析)

初二数学经典难题(带及分析)初二数学经典难题(带及分析)初二数学经典难题(带及分析)初二数学经典难题一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN=∠F．3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，而且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内灌水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管灌水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自灌水的速度．7．（10分）（2009?郴州）如图1，已知正比率函数和反比率函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比率函数和反比率函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO央求出点的坐标，假如不存在，请说明原由；

上能否存在这样的点

Q，使得△OBQ

与△OAP

面积相等？假如存在，（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．8．（10分）（2008?海南）如图，P是边长为线段BC上，且PE=PB．（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x，△PBE的面积为y．

1的正方形

ABCD

对角线

AC

上一动点（

P与A、C

不重合），点

E在①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y获得最大值，并求出这个最大值．9．（10分）（2010?河南）如图，直线y=k1x+b与反比率函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．（2）直接写出时x的取值范围；3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC

轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比率和PE的大小关系，并说明原由．10．（10分）（2007?福州）如图，已知直线y=x与双曲线交于A，B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；（3）过原点O的另一条直线l交双曲线于P，Q两点（P点在第一象限），若由点A，B，P，Q为极点构成的四边形面积为24，求点P的坐标．初二数学经典难题参照答案与试题分析一、解答题（共10小题，满分100分）1．（10分）已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）考点：正方形的性质；全等三角形的判断与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判断。专题：证明题。分析：在正方形内做△DGC与△ADP全等，依据全等三角形的性质求出△PDG为等边，三角形，依据SAS证出DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，依据等边三角形的判断求出即可．解答：证明：∵正方形ABCD，∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，∵∠PAD=∠PDA=15°，PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，在正方形内做△DGC与△ADP全等，DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°，∴△PDG为等边三角形（有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形），DP=DG=PG，∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°，∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC，在△DGC和△PGC中，∴△DGC≌△PGC，PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，同理PB=AB=DC=PC，PCB=90°﹣15°﹣15°=60°，∴△PBC是正三角形．评论：此题观察了正方形的性质，等边三角形的性质和判断，全等三角形的性质和判断等知识点的应用，要点是正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有必定的难度，对学生提出了较高的要求．2．（10分）已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN=∠F．考点：三角形中位线定理。专题：证明题。分析：交AC于G，连接MG，依据中位线定理证明MG∥BC，且GM=BC，依据AD=BC连接AC，作GN∥AD证明GM=GN，可得∠GNM=∠GMN，依据平行线性质可得：∠GMF=∠F，∠GNM=∠DEN从而得出∠DEN=∠F．解答：证明：连接AC，作GN∥AD交AC于G，连接MG．∵N是CD的中点，且NG∥AD，∴NG=AD，G是AC的中点，又∴M是AB的中点，∴MG∥BC，且MG=BC．∵AD=BC，∴NG=GM，△GNM为等腰三角形，∴∠GNM=∠GMN，∵GM∥BF，∴∠GMF=∠F，∵GN∥AD，∴∠GNM=∠DEN，∴∠DEN=∠F．评论：此题主要观察平行线性质，以及三角形中位线定理，要点是证明△GNM为等腰三角形．3．（10分）如图，分别以△ABC的边AC、BC为一边，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到AB的距离是AB的一半．考点：梯形中位线定理；全等三角形的判断与性质。专题：证明题。分析：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足挨次为R，S，T，Q，则PQ=（ER+FS），易证Rt△AER≌Rt△CAT，则ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得证．解答：解：分别过E，F，C，P作AB的垂线，垂足挨次为R，S，T，Q，则ER∥PQ∥FS，P是EF的中点，∴Q为RS的中点，∴PQ为梯形EFSR的中位线，PQ=（ER+FS），∵AE=AC（正方形的边长相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°，Rt△AER≌Rt△CAT（AAS），同理Rt△BFS≌Rt△CBT，ER=AT，FS=BT，ER+FS=AT+BT=AB，PQ=AB．评论：此题综合观察了梯形中位线定理、全等三角形的判断以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很要点．4．（10分）设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA=∠PDA．求证：∠PAB=∠PCB．考点：四点共圆；平行四边形的性质。专题：证明题。分析：依据已知作过P点平行于AD的直线，并选一点∠ABP=∠ADP=∠AEP，得出AEBP共圆，即可得出答案．解答：证明：作过P点平行于AD的直线，并选一点∵AD∥EP，AD∥BC．

E，使PE=AD=BCE，使PE=AD=BC，

，利用

AD∥EP，AD∥BC，从而得出∴四边形AEPD是平行四边形，四边形PEBC是平行四边形，AE∥DP，BE∥PC，∠ABP=∠ADP=∠AEP，AEBP共圆（一边所对两角相等）．∠BAP=∠BEP=∠BCP，∠PAB=∠PCB．评论：此题主要观察了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题要点．5．（10分）P为正方形ABCD内的一点，而且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．考点：正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质。专题：综合题。分析：把△ABP顺时针旋转90°获取△BEC，依据勾股定理获取PE=2a，再依据勾股定理逆定理证明△PEC是直角三角形，从而获取∠BEC=135°，过点C作CF⊥BE于点F，△CEF是等腰直角三角形，而后再依据勾股定理求出BC的长度，即可获取正方形的边长．解答：解：以下列图，把△ABP顺时针旋转90°获取△BEC，∴△APB≌△CEB，BE=PB=2a，∴PE==2a，2222在△PEC中，PC=PE+CE=9a，∴∠PEC=90°，∴∠BEC=45°+90°=135°，过点C作CF⊥BE于点F，则△CEF是等腰直角三角形，∴CF=EF=CE=a，在Rt△BFC中，BC===a，即正方形的边长为a．评论：此题观察了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的要点．6．（10分）一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内灌水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管灌水．向容器中注满水的全过程共用时间t分．求两根水管各自灌水的速度．考点：分式方程的应用。分析：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x，一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内灌水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管灌水．向容器中注满水的全过程共用时间t分可列方程求解．解答：解：设小水管进水速度为x立方米/分，则大水管进水速度为4x立方米/分．由题意得：解之得：经检验得：是原方程解．∴小口径水管速度为立方米/分，大口径水管速度为立方米/分．评论：此题观察理解题意的能力，设出速度以时间做为等量关系列方程求解．7．（10分）（2009?郴州）如图1，已知正比率函数和反比率函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，（1）写出正比率函数和反比率函数的关系式；（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO央求出点的坐标，假如不存在，请说明原由；

PA垂直于x轴，QB上能否存在这样的点

垂直于y轴，垂足分别是Q，使得△OBQ与△OAP

A、B．面积相等？假如存在，（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ

周长的最小值．考点：反比率函数综合题。专题：压轴题。分析：（1）正比率函数和反比率函数的图象都经过点运用待定系数法可求它们分析式；

M（﹣2，﹣1），设出正比率函数和反比率函数的分析式，（2）因为

P（﹣1，﹣2）为双曲线

Y=

上的一点，所以△OBQ、△OAP

面积为

1，依照反比率函数的图象和性质，点Q在双曲线上，即吻合条件的点存在，是正比率函数和反比率函数的图象的交点；（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．解答：解：（1）设正比率函数分析式为y=kx，

OP的将点

M（﹣2，﹣1）坐标代入得

k=

，所以正比率函数分析式为

y=x，相同可得，反比率函数分析式为

；2）当点Q在直线OM上运动时，设点Q的坐标为Q（m，m），于是S△OBQ=|OB×BQ|=×m×m=m2，而S△OAP=|（﹣1）×（﹣2）|=1，所以有，m2=1，解得m=±2，所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（﹣1，﹣2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）因为点

Q在第一象限中双曲线上，所以可设点

Q的坐标为

Q（n，

），由勾股定理可得

OQ2=n2+

=（n﹣）2+4，所以当（n﹣）2=0即n﹣=0时，OQ2有最小值4，又因为OQ为正当，所以OQ与OQ2同时获得最小值，所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+4．（10分）评论：此题难度稍大，观察一次函数反比率函数二次函数的图形和性质，综合性比较强．要注意对各个知识点的灵巧应用．8．（10分）（2008?海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）设AP=x，△PBE的面积为y．①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当x取何值时，y获得最大值，并求出这个最大值．考点：二次函数综合题。专题：动点型。分析：（1）可经过成立全等三角形来求解．过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，那么可经过证三角形GPD和EFP全等来求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，因为∠CAD=45°，所以三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么依据等腰三角形三线合一的特色可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出两三角形的另一组对应边DG，PF相等，所以可得出两直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．（2）求三角形PBE的面积，就要知道底边BE和高PF的长，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的长，那么就知道了底边BE的长，而高PF=CD﹣GP，也即可求出PF的长，可依据三角形的面积公式得出x，y的函数关系式．而后可依据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最大值以及对应的x的取值．解答：（1）证明：①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．以下列图．∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．又∵PB=PE，BF=FE，GP=FE，△EFP≌△PGD（SAS）．PE=PD．②∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．∴∠DPE=90度．PE⊥PD．（2）解：①过P作PM⊥AB，可得△AMP为等腰直角三角形，四边形PMBF为矩形，可得PM=BF，∵AP=x，∴PM=x，∴BF=PM=，PF=1﹣．∴S△PBE=BE×PF=BF?PF=x×（1﹣x）=﹣x2+x．2x．（0＜x＜）．即y=﹣x+②y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+a=﹣＜0，∴当x=时，y最大值=．评论：此题主要观察了正方形，矩形的性质，全等三角形的判断以及二次函数的综合应用等知识点，经过成立全等三角形来得出相关的边和角相等是解题的要点．9．（10分）（2010?河南）如图，直线y=k1x+b与反比率函数（x＞0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2的值．（2）直接写出时x的取值范围；3）如图，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD边在x函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC

轴上，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比率和PE的大小关系，并说明原由．考点：反比率函数综合题；一次函数的性质；反比率函数系数k的几何意义。专题：综合题。分析：（1）先把点A代入反比率函数求得反比率函数的分析式，再把点B代入反比率函数分析式求得a的值，再把点A，B代入一次函数分析式利用待定系数法求得k1的值．（2）当y1＞y2时，直线在双曲线上方，即x的范围是在A，B之间，故可直接写出范围．（3）设点P的坐标为（m，n），易得C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=m+2，利用梯形的面积是12列方程，可求得m的值，从而求得点P的坐标，依据线段的长度关系可知PC=PE．解答：解：（1）由题意知k2=1×6=6∴反比率函数的分析式为

y=

（x＞0）x＞0，∴反比率函数的图象只在第一象限，又∵B（a，3）在y=的图象上，a=2，B（2，3）∵直线y=k1x+b过A（1，6），B（2，3）两点∴∴故k1的值为﹣3，k2的值为6；（2）由（1）得出﹣3x+9﹣＞0，即直线的函数值大于反比率函数值，由图象可知，此时1＜x＜2，则x的取值范围为1＜x＜2；3）当S梯形OBCD=12时，PC=PE．设点P的坐标为（m，n），过B作BF⊥x轴，BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=OE+ED=OE+BF=m+2∴S梯形OBCD=，即12=m=4，又mn=6n=，即PE=CEPC=PE．评论：此题综合观察了反比率函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比率函数上的点的特色和利用待定系数法求函数分析式的方法．要灵巧的利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度，从而确立要点点的坐标是解题的要点．10．（10

分）（2007?福州）如图，已知直线

y=x与双曲线

交于

A，B

两点，且点

A的横坐标为

4．（1）求

k的值；（2）若双曲线

上一点

C的纵坐标为

8，求△AOC

的面积；（3）过原点

O的另一条直线

l交双曲线

于P，Q

两点（P点在第一象限），若由点

A，B，P，Q为极点构成的四边形面积为

24，求点

P的坐标．考点：反比率函数综合题。专题：综合题；压轴题。分析：（1）先依据直线的分析式求出A点的坐标，而后将A点坐标代入双曲线的分析式中即可求出k的值；（2）由（1）得出的双曲线的分析式，可求出C点的坐标，因为△AOC的面积没法直接求出，所以可经过作辅助线，经过其余图形面积的和差关系来求得．（解法不独一）；（3）因为双曲线是关于原点的中心对称图形，所以以A、B、P、Q为极点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可依据双曲线的分析式设出P点的坐标，而后参照（2）的三角形面积的求法表示出△POA的面积，因为△POA的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．解答：解：（1