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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若,,,则()A. B.C. D.2.已知函数,则方程的实数根的个数是()A. B. C. D.3.如图所示,在平面直角坐标系中,是椭圆的右焦点,直线与椭圆交于,两点,且,则该椭圆的离心率是()A. B. C. D.4.在四边形中,,,,,,点在线段的延长线上,且,点在边所在直线上,则的最大值为()A. B. C. D.5.若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是()A.1 B.-3 C.1或 D.-3或6.如图,设为内一点,且,则与的面积之比为A. B.C. D.7.已知函数,若恒成立,则满足条件的的个数为()A.0 B.1 C.2 D.38.若函数有且仅有一个零点,则实数的值为()A. B. C. D.9.对于函数,定义满足的实数为的不动点,设,其中且,若有且仅有一个不动点,则的取值范围是()A.或 B.C.或 D.10.一个正三棱柱的正(主)视图如图,则该正三棱柱的侧面积是()A.16 B.12 C.8 D.611.设,,,则,,三数的大小关系是A. B.C. D.12.如图,在中,点,分别为,的中点,若,,且满足,则等于()A.2 B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的展开式中,若的奇数次幂的项的系数之和为32,则________.14.如图,直三棱柱中,,,,P是的中点,则三棱锥的体积为________.15.如图,在直四棱柱中,底面是平行四边形,点是棱的中点,点是棱靠近的三等分点,且三棱锥的体积为2,则四棱柱的体积为______.16.在中,已知,则的最小值是________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,点.(1)求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线交于点,曲线与曲线交于点,求的面积.18.(12分)设函数,,(Ⅰ)求曲线在点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围.19.(12分)2019年入冬时节,长春市民为了迎接2022年北京冬奥会,增强身体素质,积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者,并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动,得到如图所示的频率分布直方图:(1)求的值;(2)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计,请将下列列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系?擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(,其中)20.(12分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)证明:21.(12分)已知函数(),不等式的解集为.(1)求的值;(2)若,,,且,求的最大值.22.(10分)在中,角,,所对的边分别为,,,且.求的值;设的平分线与边交于点,已知,,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系,进而可得出、、三个数的大小关系.【详解】对数函数为上的增函数,则,即;指数函数为上的增函数,则;指数函数为上的减函数,则.综上所述,.故选:C.【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较,一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较,考查推理能力,属于基础题.2、D【解析】
画出函数,将方程看作交点个数,运用图象判断根的个数.【详解】画出函数令有两解,则分别有3个,2个解,故方程的实数根的个数是3+2=5个故选:D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用,分类思想的运用,数学结合的思想判断方程的根,难度较大,属于中档题.3、A【解析】
联立直线方程与椭圆方程,解得和的坐标,然后利用向量垂直的坐标表示可得,由离心率定义可得结果.【详解】由,得,所以,.由题意知,所以,.因为,所以,所以.所以,所以,故选:A.【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点,考查了向量垂直的坐标表示,考查了椭圆的离心率公式,属于基础题.4、A【解析】
依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,根据求出的坐标,求出边所在直线的方程,设,利用坐标表示,根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解:依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,由,,,,,,,因为点在线段的延长线上,设,解得,所在直线的方程为因为点在边所在直线上,故设当时故选:【点睛】本题考查向量的数量积,关键是建立平面直角坐标系,属于中档题.5、D【解析】
由题得,解方程即得k的值.【详解】由题得,解方程即得k=-3或.故答案为:D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式,意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.6、A【解析】
作交于点,根据向量比例,利用三角形面积公式,得出与的比例,再由与的比例,可得到结果.【详解】如图,作交于点,则,由题意,,,且,所以又,所以,,即,所以本题答案为A.【点睛】本题考查三角函数与向量的结合,三角形面积公式,属基础题,作出合适的辅助线是本题的关键.7、C【解析】
由不等式恒成立问题分类讨论:①当,②当,③当,考查方程的解的个数,综合①②③得解.【详解】①当时,,满足题意,②当时,,,,,故不恒成立,③当时,设,,令,得,,得,下面考查方程的解的个数,设(a),则(a)由导数的应用可得:(a)在为减函数,在,为增函数,则(a),即有一解,又,均为增函数,所以存在1个使得成立,综合①②③得:满足条件的的个数是2个,故选:.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数,重点考查了分类讨论的数学思想方法,属难度较大的题型.8、D【解析】
推导出函数的图象关于直线对称,由题意得出,进而可求得实数的值,并对的值进行检验,即可得出结果.【详解】,则,,,所以,函数的图象关于直线对称.若函数的零点不为,则该函数的零点必成对出现,不合题意.所以,,即,解得或.①当时,令,得,作出函数与函数的图象如下图所示:此时,函数与函数的图象有三个交点,不合乎题意;②当时,,,当且仅当时,等号成立,则函数有且只有一个零点.综上所述,.故选:D.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数,考查函数图象对称性的应用,解答的关键就是推导出,在求出参数后要对参数的值进行检验,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.9、C【解析】
根据不动点的定义,利用换底公式分离参数可得;构造函数,并讨论的单调性与最值,画出函数图象,即可确定的取值范围.【详解】由得,.令,则,令,解得,所以当时,,则在内单调递增;当时,,则在内单调递减;所以在处取得极大值,即最大值为,则的图象如下图所示:由有且仅有一个不动点,可得得或,解得或.故选:C【点睛】本题考查了函数新定义的应用,由导数确定函数的单调性与最值,分离参数法与构造函数方法的应用,属于中档题.10、B【解析】
根据正三棱柱的主视图,以及长度,可知该几何体的底面正三角形的边长,然后根据矩形的面积公式,可得结果.【详解】由题可知:该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形,所以该正三棱柱的侧面积为故选:B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识,关键在于求得底面正三角形的边长,掌握一些常见的几何体的三视图,比如:三棱锥,圆锥,圆柱等,属基础题.11、C【解析】
利用对数函数,指数函数以及正弦函数的性质和计算公式,将a,b,c与,比较即可.【详解】由,,,所以有.选C.【点睛】本题考查对数值,指数值和正弦值大小的比较,是基础题,解题时选择合适的中间值比较是关键,注意合理地进行等价转化.12、D【解析】
选取为基底,其他向量都用基底表示后进行运算.【详解】由题意是的重心,,∴,,∴,故选:D.【点睛】本题考查向量的数量积,解题关键是选取两个不共线向量作为基底,其他向量都用基底表示参与运算,这样做目标明确,易于操作.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】试题分析:由已知得,故的展开式中x的奇数次幂项分别为,,,,,其系数之和为,解得.考点:二项式定理.14、【解析】
证明平面,于是,利用三棱锥的体积公式即可求解.【详解】平面,平面,,又.平面,是的中点,.
故答案为:【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式,属于基础题.15、12【解析】
由题意,设底面平行四边形的,且边上的高为,直四棱柱的高为,分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积,即可求解。【详解】由题意,设底面平行四边形的,且边上的高为,直四棱柱的高为,则直四棱柱的体积为,又由三棱锥的体积为,解得,即直四棱柱的体积为。【点睛】本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题,其中解答中正确认识几何体的结构特征,合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,以及空间想象能力,属于中档试题。16、【解析】分析:可先用向量的数量积公式将原式变形为:,然后再结合余弦定理整理为,再由cosC的余弦定理得到a,b的关系式,最后利用基本不等式求解即可.详解:已知,可得,将角A,B,C的余弦定理代入得,由,当a=b时取到等号,故cosC的最小值为.点睛:考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用,能正确转化是解题关键.属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2)【解析】
(1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标的几何意义求解,再求点到直线的距离即可算出三角形面积.【详解】解:(1)曲线,即.∴.曲线的极坐标方程为.直线的极坐标方程为,即,∴直线的直角坐标方程为.(2)设,,∴,解得.又,∴(舍去).∴.点到直线的距离为,∴的面积为.【点睛】此题考查参数方程,极坐标,直角坐标之间相互转化,注意参数方程只能先转化为直角坐标再转化为极坐标,属于较易题目.18、(1)(2)【解析】分析:(1)先断定在曲线上,从而需要求,令,求得结果,注意复合函数求导法则,接着应用点斜式写出直线的方程;(2)先将函数解析式求出,之后借助于导数研究函数的单调性,从而求得函数在相应区间上的最值.详解:(Ⅰ)当,.,当,,所以切线方程为.(Ⅱ),,因为,所以.令,,则在单调递减,因为,所以在上增,在单调递增.,,因为,所以在区间上的值域为.点睛:该题考查的是有关应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,曲线在某个点处的切线方程的求法,复合函数求导,函数在给定区间上的最值等,在解题的过程中,需要对公式的正确使用.19、(1)(2)填表见解析;不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系【解析】
(1)利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程,解方程求得的值.(2)根据表格数据填写列联表,计算出的值,由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【详解】(1)由题意,解得.(2)由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.完善列联表如下:擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100,对照表格可知,,不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高,考查列联表独立性检验,属于基础题.20、(Ⅰ)最小值为;(Ⅱ)见解析【解析】
(1)根据题意构造平均值不等式,结合均值不等式可得结果;(2)利用分析法证明,结合常用不等式和均值不等式即可证明.【详解】(Ⅰ)则当且仅当,即,时,所以的最小值为.(Ⅱ)要证明:,只需证:,即证明:,由,也即证明:.因为,所以当且仅当时,有,即,当时等号成立.所以【点睛】本题考查均值不等式,分析法证明不等式,审清题意,仔细计算,属中档题.21、(1)(2)32【解析】
利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于的方程,求出的值即可;由知可得,,利用三个正数的基本不等式,构造和是定值即可求出的最大值.【详解】(1)∵,,所以不等式的解集为,即为不等式的解集为,∴的解集为,即不等式的解集为,化简可得,不等式的解集为,所以,即.(2)∵,∴.又∵,,,∴,
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