信号与线性系统-第4章123new第四章变换和系统频域分析

第四章

变换和系统的频域分析§4.0

引言时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和；而yzs(t)=h(t)*f(t)。本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号

或虚指数信号之和。用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先叶变换。

变换是在 级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为

分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。的生平：1768年生于法国1807年提出“任何周期函数都可用正弦函数级数表示”日在“热的分第一个给出1822年首次析理论”一书中1829年狄收敛条件的两个最主要的贡献——“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的 和”——

的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——

的第二个主要论点§4.2

级数级数的三角形式波形的对称性与谐波特性级数的指数形式周期信号的功率——Parseval等式一、傅里叶级数的三角形式2

t

sin

m t

dt

0cos

nT2T

T

,2cos

nt

cos

mt

dt

T2T2

Tt

dt

0,m

n

0,

m

n,

m

nm

n2t

sin

msin

nT2T2由积分可知1.三角函数集{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}在一个周期内是一个完备的正交函数集。2．级数形式设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄

(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数——称为f(t)的

级数2n1nnb

sin(

nt)t)

a

cos(nn1f

(t)

a0系数系数an

,bn称为Ta22iT可见，an

是n的偶函数，bn是n的奇函数。狄

(Dirichlet)条件条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。条件3:在一周期内，信号绝对可积。其他形式2n1f

(t)

A0

An

cos(nt

n

)式中，A0

=a0n

n

na2

b2A

anbnn

arctan可见：An是n的偶函数，n是n的奇函数。an

=

Ancosn，

bn

=

–Ansin

n，n=1,2,…上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。A0/2为直流分量A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同A2cos(2t+2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。将上式同频率项合并，可写为级求周期锯齿波的三角函数形式的数展开式。2TTt

d

t

0A1T

Ta0

202Ta2TbnπAn1周期锯齿波的 级数展开式为t

A

sin

2t

2πf

t

0

A

sinT

A

Tf

(t)

t

t

T

2

2直流π基波二次谐tf

t

A/2T2T2T1)(

n

21

2π解：二、波形的对称性与谐波特性Ta2T2.f(t)为偶函数——对称纵坐标f

(t)

f

(t)bn

=0，展开为余弦级数。.f(t)为奇函数——对称于原点f

(t)

f

(t)an

=0，展开为正弦级数。3.f(t)为奇谐函数——f(t)=–f(t±T/2)f(t)0T

tT/2此时其 级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即a0=a2=…=b2=b4=…=04．f(t)为偶谐函数——f(t)=f(t±T/2)f

(t

)OtTT

T2T2此时其 级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即a1=a3=…=b1=b3=…=0三、傅里叶级数的指数形式12T2T

jntf

(t)e

d

tTFn

系数Fn

称为复傅里叶系数三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}f

(t)

Fn

e

jntn利用cosx=(ejx

+e–jx)/2可从三角形式推出：指数形式付氏级数推导22An1

0

An

[e

j

(nt

n

)

e

j

(nt

n

)

]2

22n

nA

e

jn

e

jnt

A

e

jn

e

jntn1

n1

A0

1

1

A0

n1f

(t)

A

cos(nt

)2

n

n上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，–n=–n，则上式写为ee2

2nnnnA

ec

ejjjntjntn1n1

12A0

1

令A0=A0ej0ej0Ωt

，0=01n

ejjnt2

n

An

e所以

f

(t)

2n令复数

1

A

ejn

F

ejn

Fn

n22n

nn

n

n

nn

nF

1

A

ejn

1

(

A

cos

j

A

sin

)

1

(a

jb

)jT2T2T2T2T2T2f

(t)

e

t

d

t1T1T1T

jn2f

(

s(ntf

(t)

sin(nt)

d

t

njntFn

ef

(t)

n

=

0,

±1,

±2，…2T

jn

td

tT2

f

(t)

e1TFn

表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。F0

=A0/2为直流分量。傅里叶系数之间关系nnnnAF1222a

b

12

nna

bn

arctan212n

nnA

en

jb

)

1

(aFn

Fn

jenn的偶函数：an

，An

，|Fn

|n的奇函数:

bn

，nan

An

cosnnbn

An

sin信号频谱的概念周期信号频谱的特点频带宽度§4.3

周期信号的频谱一、信号频谱的概念从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。也可画|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn

。

图示频谱图示（单边）3A02AnA1A3O3nO幅度频谱离散谱，谱线Fn

~

曲线An

~

或相位频谱n~

曲线频谱概念演示f

(t

)OtTT1

1T

/

2频谱概念演示既是奇函数又是奇谐函数只含奇次谐波,且为正弦波.例1 例2对于双边频谱，负频率，只有数学意义，而无物理意义。为什么引入负频率？f(t)是实函数，分解成虚指数，必须有共轭对ejnΩt和e-jnΩt，才能保证f(t)的实函数的性质不变。单边频谱图例1

3 6

4

4

3

2例：周期信号

f(t)=

1

1

cos

t

2

1

sin

t

试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图。解首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即

2

4

32

4

3

2

1

6

cos

t

f

(t)

1

1

cos

t显然1是该信号的直流分量。1

2

4

3

cos

t

的周期T1

=8

3

3

421

cos

2

的周期T =6所以f(t)的周期T=24，基波角频率Ω=2π/T=π/121

cos

t

是f(t)的(π/4)/(π/12)=3次谐波分量；2

4

3

341

cos

t

2

3

是f(t)的(π/3)/(π/12)=4次谐波分量；画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图(b)o

12

6

4

3(a)2A

01214ωoω33

12

6

42

3

nAn1

3

3

4

4

3

2f

(t)

1

1

cos

t

1

cos

t

2

例22

1A0A1

5

2.236A2

10

01

0.15π2

0.25π请画出其幅度谱和相位谱。

411

1

t

π

已知f

(t

)

1

sin

t

2cos

t

cos

241

t

π

5

cos(

t

0.15π

)

cos

2解：化为余弦形式f

(t

)

1

三角函数形式的单边频谱图1级数的谱系数A1

02A2A1

21O2.2411An0.25π

0.15πO12

1

n双边频谱图

44111111

ee2

1e

e

22e

e

12

jf

(t)

1

2

jn

t

π

2

j

t

π

j

t

j

tj

t

j

t111πjπ4

e

1e12j2

tj

t

j2

t

j

j

te

4

e

e2

j

1

12

12

j

1

12Fn

ejn

tn20F

1

j0.15π

1.12e2

j

1

F1

12

j

1.12e

j0.15π1

F

11jπe

412F2

41

jπF2

2

e整理f

(t)

1

1

e0.5O1

21

1.12

2

1

11.120.51Fn0.25π

0.15

πO121

10.15π

21

0.25πn周期信号频谱的特点举例：有一幅度为1，脉冲宽度为的周期矩形脉冲，其周期为T，

。求频谱。f(t)t0T-T…1

2

21211T2T2ne

d

tTT2

jn

tF

f

(t)

e

jn1t

d

t

212n1

sinn

T令Sa(x)=sin(x)/x

(取样函数）11T

n22

jn

t

1

e

1T

jnnT

2

T

TF

Sa(

n1

)

Sa(

n

),

n

=

0,±1，±2，…FnO(1)包络线形状：抽样函数(3)离散谱（谐波性）1当ω

n时取值。T(2)其最大值在n

0处，为2π（4)第一个零点坐标：T2π2令

n1

n

2π1＝

（5）Fn是复函数（此处为实函数），幅度/相位Fn

0，相位为0，Fn

0,相位为π图中T

51思考T不变，τ变τ不变，T变T

时，时域波形和频谱结构会发生什么变

2π11包络线零值点

2π谱线间隔

不变幅度TT不变，τ变包络线零值点位置不变幅度11TT1

2π谱线间隔

τ不变，T变，

为无限小f

t

由周期信号

非周期信号。T11

1当T

，时，

0

E周期信号频谱的特点(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。谱线位置是基频

Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。谱线的结构与波形参数的关系T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：1/=（2/）/(2/T)=T/

增多。一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。三、周期信号的功率——Parseval等式nnnTA2n120|

F |12f

2

(t)dt

(

A0

)2

1T

2周期信号一般是功率信号，其平均功率为直流和n次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。n≥0时，|Fn|=An/2。证明这是Parseval定理在 级数情况下的具体体现。周期信号功率式证明对于三角函数形式的 级数

2n1

nt bn

sin

n

ta

cos

n

a0f

(t)平均功率a

cos

n11T2T02

nT

a0

t

bn

sinnt

d

tf

(t)dt

T

0

2P

n1

2

2n1

2na

bn

2

a0

12

22

12

2n1

An

a

2A

对于指数形式的 级数n

Fn2T2

a0

12P

02f

(t)

d

t

2nn11T200aF

总平均功率=直流、各次谐波的平均功率之和FnO

2T2π第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。周期矩形脉冲信号的功率二者比值

0.181而总功率21P

F

2

5n

0nTP

2T02f

(t)dt

Fn102Tf

(t)dt

0.21TP

90.5%PP5n20

4以τ

1

s,T

1

s为例，

取前5

次2．频带宽度在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：

fB

2π

或B

1

，带宽与脉宽成反比对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max的频率区间定义为频带宽度。3．系统的通频带>信号的带宽，才能不失真语音信号 频率大约为

300~3400Hz，音乐信号

50~15,000Hz，扩音器与扬声器 有效带宽约为

15~20,000Hz。§4.4非周期信号的频谱变换常用函数的变换F(jω)一般是复函数，写为F(jω)

=

|

F(jω)|e

j(ω)

=

R(ω)

+

jX(ω)说明(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)

变换存在的充分条件:f

(t)

d

t

(2)用下列关系还可方便计算一些积分F

(0)f

(t)dt

1

2F

(

j)

df

(0)

变换f

(t)

e

j

t

d

t一．F

(j)

1j

tf

(t)

F

(j)

e

d

2

2.

常用函数F

变换对：1j

2

Sa2

j

e

–|t|

2

2

2δ(t)1ε(t)e

-t

ε(t)gτ(t)sgn

(t)12πδ(ω)

(

)

1j

§4.5变换的性质线性奇偶性对称性尺度变换时移特性频移特性卷积定理时域微分和积分频域微分和积分相关定理一．线性性质(Linear

Property)If

f1(t)

←→F1(jω)，

f2(t)

←→F2(jω)then[a

f1(t)+b

f2(t)]←→

[a

F1(jω)+

b

F2(jω)]二．奇偶虚实性(Parity)If

f

(t) is

real

function,

andf

(t)

←→F(jω)=|F(jω)|ej(ω)

=

R(ω)+jX(ω)thenR(ω)=

R(–ω)，

X(ω)=–X(–ω)，|F(jω)|=

|F(–jω)|，

(ω)=

–(–ω)，f

(–t)←→F(–jω)

=F*(jω)If

f

(t)=f(–t) thenX(ω)=0，

F(jω)

=R(ω)If

f(t)=–f

(–t) thenR(ω)=0，

F(jω)

=jX(ω)三、对称性(SymmetricalProperty)1tf

(t)

sin

t

?If

f

(t)←→F(jω)

thenF(

jt

)←→2πf(–ω)四、尺度变换性质(Scaling

Transform

Property)If

f

(t)←→F(jω)

thenwhere

“a” is

anonzero

real

constant.

a

|

a

|1

F

j

f

(at)

Also,letting

a

=-1,f

(-t

)←→F(

-jω)五、时移特性(Timeshifting

Property)If

f(t)←→F(jω)

thenwhere

“t0”

is

real

constant.0F

(

j