2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准

2018年江苏省高等数学竞赛本科一级试题与评分标准（本一评分标准）第（本一评分标准）第页flxdflxdydz+ydzdx+zdxdy解方法1设丫:z=0（x2十y2.4）,取下侧，1式=jjxdydz+ydzdx+zdxdyjjxdydz+ydzdx+zdxdys1=jjxdydz+ydzdx+zdxdy°=jjxdydz+ydzdx+zdxdy（2分）s+召G-2ys+召e-22分）记P=x,Q=y,R=z,则P+Q，+R；=（5^弓，（2分）5-2y5-2y5-2yxy（5-2y）：记s与s|所围的区域为n，应用高斯公式得jjj上匸dV（2分）（此积n（5-2y）2jjj上匸dV（2分）（此积n（5-2y）2xyzn分下面用2种方法求）（法1）（法1）=5j22去才（4-y2k（3分）令5-2y=12（t〉0）=丄刊3161611'-2+1+9t2—t4^dt=二兀-+t+3t=丄刊31616111<t2丿（3分）

2)2)=5JJ4一x2一y2dxdy(D:x2+y2<4)d(5-2y)2=10j;dy忙盘际k(2分）=10J2dy込-:os2tdt-20(5-2y)：=<』占G-y2)dy(2分)令5-2y=12(t〉0)(9、5f91)+1+9t2-14dt=—兀—+1+3t3——15It2丿161t5丿3=8兀i=16刊i3(2分)方法2方法2采用统一投影法，由于（2分）所以(2zx2+(y-1)2分）dxdyDJ5-2y\：4-x2一y2(d:X2+y2<4)(2分)4-y21d4-y21dx-20门—2yZ‘b2-x2

（2分）=8J21•arcsin二=-25—2yy（2分）=8J21•arcsin二=-25—2yy4—y2=4兀J2-2、込-2yid（2分）dy卜航.（2分）与平面4x2+尢y2与平面4x2+尢y2—3z2=0+0的交线是一条直线L,x一y+z=0L（1）试求常数入的值，并求直线L的标准方程；⑵平面n通过直线L，且与球面+6x—2y—2z+10=0相切，试求平面H的方程.解⑴二次锥面4x2+Xy2—3z2=0与平面0相交有3种可能：一条直线或两条直线x—y+z=0或一点.令y1得y=14x2+九一3z2=0,x+z=1,=x2+6x+（九一3）=0相交为一条直线的充要条件是上式有唯一解,（2分）而上式有唯一解的充要条件是所以△=36—4（九-3）=0nh=12,所以“12时由入=12时L是一条直线.（2分）“12时由<"+6尢+9_0’x=—3,y=1,z=4'自P（—3,1,4）.z=1-x,因直线L又通过原点。（000）取直线l的方向为1=op=（—3,1,4）.则直线l的标准方程为A=2=三（2分）—314，

（2）设平面口的方程为+b+0其法向ax+by+cz=0,量为n=（a,b,c）,因n丄l故3a-b-4c=0分）球面的球心为J丄），半径为为1,平面n与球面相切时球心到平面口的距离为1,所以有|-3a+b+c\=\a2+b2+c2o4a2-3ab-3ac+bc=0,（2分）取c=1,取c=1,由b=3a一4,4a2一3ab一3a+b=0此所求平面口的方程为解得(a,b,c)=(2,2,1),(2,-14,1I,2x-14y+5z=0,2x-14y+5z=0,^3分）八.（12分）已知函数f（x）—7+2x在区间(—11)上2—x—x2关于x的幂级数展式为f()2fx—乙axn,nn—0(1)试求a(n—0,1,2,)；n⑵证明级数工a-a收敛,并求该级数的L-(a-2)'(an—2)n—0nn+1和.7+2x7+2x2x+7AB通分得2—x—x2(1—x)(2+x)1—x2+x取7+2x—A(2+x)+B(1—x),可得B—1,fG)—丄+丄，(2分)1—x2+x解令f(x)=可得A3A=3,取2所以(1)下面用2种方法求方法1a.n

f(x)=另3xn+2f(x)=另3xn+2丄n=0n=0Xn2nn=02n+1丿Xn,|x|<1a=3+n2n+1方法2由于…'1丫）=（_l）n且,所以Xn+1f(n)a=3+n2n+1方法2由于…'1丫）=（_l）n且,所以Xn+1f(n)(x)=-3r1\(n)rL、n)=—3(—1)n^^+(-1、r^,(2分)(x—1》+1(2+x)n+1n!n!于是a创0)=3+3(n=0,1,2,).（2分）n!⑵2n+1》'(a-2)-(a-2)n+1n—(a—2),(a—2)n=0nn+1n=0nn+1ya(a-27.(an-2)r丄—、*a—