高数-二第二章导数反映了函数因变量相对于自变量变化快

导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。微分指明,当自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。本章内容包括：两个概念——导数与微分；六个法则——导数的四则运算法则，复合函求导法则，反函数求导法则；若干导数应用问题。第二章导数和微分第一节

导数的概念一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、导数的可导性与连续性的关系1.切线问题割线的极限位置——切线位置一、引例Tx0xoxyy

f

(

x)CNM曲线的切线问题如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.设M(x0

,y0

),N(x,y),x

x0N

沿曲线C

M

,

x

x

,0则割线MN的斜率为tan

y

y0

f

(

x)

f

(

x0

)

,x

x0Tx0xoxyCy

f

(

x)NM

0

.k

tan

limx

x0x

x0f

(

x)

f

(

x

)x0

x共性：lim

y----函数值的改变量----自变量的改变量当x

时，割线MN就转化为切线MT,割线MN的斜率就转化为曲线在点M处的切线的斜率.切线MT的斜率为2.作变速直线运动瞬时速度问题质点运动的路程S是时间t的函数：S=S(t).从时刻t到t+t时间段内，质点走过的路程为t

0tΔS=S(t+Δt)-S(t).在时间间隔Δt内，质点运动的平均速度为v

S

S(t

t

)

S(t

)

.t

t平均速度v

与Δt的取值有关，一般不等于质点在时刻t的速度v，但Δt的值愈小，愈v

接近于t时刻的速度

v(t)。因此,取极限t0,质点在时刻t的瞬时速度为v

v(t)

lim

S(t

t)

S(t)

.二、导数的定义定义设函数在点x

x0;

dy0f

(

x

)

;

y0dx

x

xd

f

(x);x

x0,dx的某邻域内有定义,若在点处可导,并称此极限为在点

的导数.

记作

x0

x存在,则称函数lim

y其它形式x

x00x

x0若极限lim

f

(

x)

f

(

x0

)不存在,

就说函数在点

x

不可导.f

x

0lim0h00f

(

x

)

hf

(

x

h)

f

(

x0

)

..limx

x0000f

(

x

)

x

xf

(

x)

f

(

x

)注:f

x

反映了函数f00x0y

lim

f

(

x

x)

f

(

x)x而

f(

x0

)

f

(

x)

x

x0

.f

(

x0

)

f

(

x0

)若函数在开区间

I

内每点都可导,就称函数在

I

内可导.此时对于区间I

内任一点x，都对应唯一的导数值

f

x

,记作:

f

(

x)

;y

;

d

y

;dxd

f

(

x)

.dx即这样得到一个函数

f

x

,

称为

f

x

的导函数(导数)，右导数:单侧导数左导数:f

(

x

)

limx0

0f

(

x

)

limx0

00f

(

x

x)

f

(

x0

)

lim

f

(

x)

f

(

x0

)

.00

0

0x

x

xf

(

x

x)

f

(

x

)

lim

f

(

x)

f

(

x

);x

x00x

x0x

x定理函数x在点且可导的充分必要条件是f

(x

0

)存在f(x0

).即如果

f

(x)在开区间a,b内可导，且f

(a)及f

(b)都存在，就说

f

(x)在闭区间a,b上可导.注:例1解hf

(

x)

lim

f

(

x

h)

f

(

x)

lim

C

C

0.h0hh0(C

)

0.即f

(x)

C(C

为常数)的导数.求函数解h(sin

x)

lim

sin(

x

h)

sin

xh02h2sin

h

lim

cos(

x

h)

h02

cos

x.44故(sin

x)

cos

xx

x

2

.2例2

设函数

f

(

x)

sin

x,

求(sin

x)及(sin

x)4

.x

即(sin

x

)

=cosx.例3

求函数y

xn

(n为正整数)的导数.h(

x

h)n

xn解(xn

)

limh02!h0

lim[nx

n1

n(n

1)

xn2

h

hn1

]

nxn1更一般地

(x

)

x1

.(

R)(

x)

例如,1

1x

2121

.2

x(

x

1

)

(1)x

11x

2

1

.(

xn

)

nxn

1

.即例4

求函数

f

(

x)

ax

(a

0,

a

1)

的导数.hah

a

xa

x

hxh0解

(a

)

limhx

a

limh0

1

a

x

ln

a.特别地，(e

x

)

e

x

.(ax

)

ax

ln

a.即例5

求函数

y

loga

x(a

0,

a

1)

的导数.解hy

lim

log

a

(

x

h)

log

a

xh0xhxax

1log

(1

h)

limh0xhx)

h

1lim

log

a

(1

x

h0log

e.1xaxa

a(log

x)

1

log

e.即x特别地，(ln

x)

1

.三、导数的几何意义oxyy

f

(

x)T0xMf

(

x

)表示曲线

y

f

(

x)0在点M

(x0

,f

(x0

))处的切线的斜率,即f

(x

)

tan

,

(为倾角)0切线方程为

y

y0

f

(

x0

)(

x

x0

).法线方程为10(

x

x

).0f

(

x

)0y

y

解由导数的几何意义,

得切线斜率为2x

12x

1xk

y

(

1

)

12x

1x

2

4.2所求切线方程为y

2

4(x

1),即4x

y

4

0.法线方程为

y

2

1

(

x

1),

即2x

8

y

15

0.4

212,2)处的切线的在点(x斜率,并写出在该点处的切线方程和法线方程.例6

求等边双曲线

y

1定理

设函数f

(x)在点x0可导,则函数f

(x)在点x0

连续.即可导必连续。证设函数f

(x)在点x0可导,0lim

y

f

(

x

)x0

x

00xy

f

(

x

)

y

f

(

x0

)x

xlim

y

lim

[

f

(

x0

)x

x]

0x

0

x

0故函数

f

(x)在点

x0

连续.(x

0)四、可导与连续的关系举例：xy

x20y

x,

x,

x

0

x

2

,

x

0f

(

x)

2.逆定理不成立:若f

x在x

处连续，但是f

x0在x0处未必可导即连续未必可导。yy

3

x

1x01在x

0处连续但不可导。yf

(

x)

3

x

1,在x

1处连续但不可导。注：1.因为可导必连续，故不连续必不可导(逆否命题).例7y

xxyo解

f

(0

h)

f

(0)

h

,h

hlim

f

(0

h)

f

(0)

lim

h

1,h0

hhh0h

hfh((f)00)lim

h

1.h0limh0函数

f

(

x)

x

在x

0处的连续性.和可导性即f(0)

f(0),故函数

f

(

x)

x

在x

0处的不可导.例8在x

0处的连续性与可导性.,0,x

x

arctan

1

,

x

0x

0函数f

(x)

例9解x1f

(1)

1

f

(1

0)

lim

x2

1

f

(1

0)

lim(ax

b)

a

bx1若f

(x)在x

1

连续,则a

b

1x

1

1x

2_f

(1)

limx1x

1 x

1f

(1)

lim

ax

b

1

lim

ax

a

ax1x1在x

1处连续且可导，a,b应取什么值

?,为了使函数

f

(x)设函数f

(x)ax

b,

x

1x

2

,

x

1

_

2

a

2

,

当 时

f

(1)f

(1)当a

=

2,b

=

-

1时,

f

(x)在x=

1处连续且可导.(1

tan2

x

sec2

x,

1

cot2

x

csc2

x)(C

)

0(sin

x)

cos

x(tan

x)

sec2

x(sec

x)

sec

x

tan

x(a

x

)

a

x

ln

a基本初等函数的导数公式：(

x

)

x

1(cos

x)

sin

x(cot

x)

csc2

x(csc

x)

csc

x

cot

x(e

x

)

e

xx

ln

aa(log

x)

1(ln

x)

1x(arccos

x)

1

x21

x21(arctan

x)

1(arcsin

x)

1

x21

x21(

arccot

x)

11.导数的实质:增量比的极限;6.判断可导性f

(

x0

)

a

f

(

x0

)

f

(

x0

)

a;导数的几何意义:切线的斜率;函数可导一定连续，但连续不一定可导;求导数最基本的方法:由定义求导数.不连续,一定不可导.直接用定义;连续,看