人教版九年级上册 第22章 《二次函数》难题专题培优训练【含答案】

人教版九年级上册第22章《二次函数》难题专题培优训练一．解答题（共28小题）1．如图1，抛物线y＝tx2﹣16tx+48t（t为常数，t＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）点A的坐标是，点B的坐标是；（2）如图2，点D是抛物线上的一点，且位于第一象限，连接BD，延长BD交y轴于点E，若∠BCE＝∠BEC．①求点D的坐标（用含t的式子表示）；②若以点D为圆心，半径为8作⊙D，试判断⊙D与y轴的位置关系；（3）若该抛物线经过点（h，），且对于任意实数x，不等式tx2﹣16tx+48t≤恒成立，求△BOC外心F与内心I之间的距离．2．抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A和B（﹣1，0），与y轴交于点C，直线y＝﹣x+m过A，C两点，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P在直线AC的上方，当S△PAC＝3时，求点P的坐标；（3）点M为抛物线上的一点，tan∠ACM＝时，求点M的坐标．3．如图1，直线l：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a＞0）的图象经过点A，交y轴于点C．（1）则点C坐标为；抛物线对称轴是；a的值是；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，经过点M作x轴的垂线MD，交直线l于点E，过点C作CD⊥MD，垂足为D，连接CM．设点M的横坐标为m．①当点M位于第一象限的抛物线上，且△CDM是等腰直角三角形时，CM交直线l于点F，设点F至直线DM的距离d1，到y轴的距离为d2，求的值．②如图2，将△CDM绕点C逆时针旋转得至△CD′M′，且旋转角∠MCM′＝∠OAB，当点M的对应点M′落在y轴上时，请直接写出点M的横坐标m的值．4．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B左边）．（1）若该抛物线的顶点D坐标为（1，4），求其解析式；（2）如图（1），已知抛物线的顶点D在直线l：y＝﹣x+3上滑动，且与直线l交于另一点E，若△ADE的面积为，求抛物线顶点D的坐标；（3）如图（2），在（1）的条件下，P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线BP，BQ分别与抛物线交于M，N两点，求MN与PQ满足的数量关系．5．如图，已知二次函数y＝﹣x2+mx+n（m，n均为常数）的图象顶点为A，与x轴交于B（﹣1，0）、C两点，与y轴交于点D（0，3）．（1）求该抛物线解析式．（2）如图1，连接AD交x轴于点E，连接AB交y轴于点K，点M是抛物线四象限且位于对称轴右侧图象上一点，过点M作MP⊥AD交直线AD于点P，连接MD．若∠M＝∠BKO，求出点M的坐标，以及此时△MDP的周长，并写出解答过程．（3）如图2，将抛物线y沿射线AE方向平移4个单位后，得到一个新的二次函数记为y′，令y′与y两函数图象相交于点Q，连接CQ，点R为原抛物线图象上一动点，点F为直线AE上一动点，是否存在以点C，Q，R，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点R的坐标，并把求其中一个R点的坐标的过程写出来．6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．7．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中A（﹣4，0），B（4，0），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．（1）求抛物线C的函数解析式；（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．8．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6，0）和点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当△PBC的面积为时，求m值；（3）如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2+5时，求点D的坐标；（3）如图2，过点C作CF∥x轴，点M是直线CF上的一点，MN⊥CF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．10．如图，A，B分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的点，已知点B的坐标是（0，6），∠BAO＝45°．过A，B两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点落在线段OA上，该抛物线与直线y＝kx+m（k＞0）在第一象限交于C，D两点，且点C的横坐标为1．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线CD与线段AB的交点记为E，当＝时，求点D的坐标；（3）P是x轴上一点，连接PC，PD，当∠CPD＝90°时，若满足条件的点P有两个，且这两点间的距离为1，求直线CD的解析式．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且OA＝OC，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若M（﹣2，y）是抛物线上一点，P是抛物线上另一点（点P与点D不重合），当S△BDM＝S△BPM时，求出此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线对称轴上是否存在点Q，使△BMQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，若PE＝DE，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上一动点，若满足∠MAB不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．14．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，在抛物线y＝x2﹣x+c交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，直线AB交抛物线于A、B两点，抛物线的对称轴交x轴于点E，其中A的坐标为（﹣﹣7，8+7）．（1）求c的值和直线AB的解析式；（2）如图1，P是抛物线上在直线AB下方的一点，直线AB交抛物线的对称轴于点D，连接OD，OP直线OP交抛物线对称轴于点H，当∠POD＝2∠ODB时，求点H的坐标；（3）在直线CE上有一点F，F的横坐标为12，将△BEF绕点B逆时针旋转过有一定的角度α（0°＜α＜180°），得到△BE′F′，直线AB交E′F′于M，当直线AB将△BE′F′分割为面积比为1：2的两部分时，直接写出α的值及M的坐标．17．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．18．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+10分别交x轴、y轴于B、C两点，在x轴负半轴上有一点A，tan∠CAO＝3，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．（2）在第四象限的抛物线上有一点P，连接AP交y轴于点E，点P的横坐标为m，线段OE长为点为n，求n与m的函数关系式．（3）在（2）的条件下，过点E作EF⊥CE交直线BC于点F，点D坐标为（0，3），连接FD，过点E作EH⊥FD于点H，交BC于点G，点K在CD上，连接KG，∠CKG＝∠EDH，点M在第一象限内，CM∥x轴，连接DM、FM，CM＝，∠DFM＝45°﹣∠DEH，求点P的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数y＝，记该函数图象为G．（1）当m＝2时，①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．（2）当m＞0时，作直线x＝m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m的值；（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．21．如图1，在直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知tan∠CAO＝2，B（4，0）．（1）求抛物线C1的表达式；（2）若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PE∥x轴交BC于点E，求PE的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，点F是BC上一点，OF平分△COB的面积，将抛物线C1沿射线CB方向平移，当抛物线恰好经过点F时，停止运动，记平移后的抛物线为C2．已知点M是原抛物线C1上的动点，在抛物线C2的对称轴上是否存在一点N，使得以点C、B、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣交x轴于A、B两点（点A在点B左侧）．一次函数y＝x+b与抛物线交于A、D两点，交y轴于点C．（1）求点D的坐标；（2）点E是线段CD上任意一点，过点E作EF⊥y轴于点F，过点E作EP⊥AD交抛物线于点P．点P位于直线AD下方，求PE+EF的最大值及相应的P点坐标；（3）将抛物线沿射线AD方向平移个单位长度得到新抛物线y'，新抛物线与原抛物线交于点K．M、N是直线AD上两动点（M在N的左侧），满足MN＝3．是否存在以M、N、K为顶点的直角三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C，连接AC，tan∠CAO＝2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，射线BP交y轴正半轴于点N，设点P的横坐标为t，线段ON的长为d，求d与t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，过点F作直线FD⊥BP于点D，过点A作AH⊥x轴交直线DF于点H，连接PH交x轴于点E，点G为线段AC上一点，连接PG、GE，PG交y轴于点K，点M为PG延长线上一点，连接MH，延长HM、EG交于点R，若PF＝AH，MR＝MG，HR＝，求K点的坐标．24．已知抛物线y＝﹣x2+x+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B（A在B的左边），且经过点（2，4），如图1．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）如图2，直线AC绕平面内一点P逆时针旋转90°后，交抛物线于点E、F（E在F的左边）两点，EF＝2AC，求E点坐标；（3）在（2）的条件下，若P点在抛物线的对称轴上，请直接写出P点坐标．25．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于点A、B，交y轴于点C．（1）如图1，连接BC，过点A作y轴的平行线交直线BC于点E，求线段BE的长；（2）如图1，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AP交BC于点D，连接BP，记△BDP的面积为S1，△ABD的面积为S2，当的值最大时，求出这个最大值和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝x2+2x﹣3沿射线BC方向平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点G，点M为平移后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点D、G、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由．26．如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．27．在直角坐标平面内，直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B，点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．（1）求抛物线的表达式；（2）连结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求∠DBA的正切值；（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．28．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．（1）求m，n的值以及函数的解析式；（2）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；（3）对于（1）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，连接AD交BC于E，在对称轴上是否存在一点F，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°，使点F恰好落在抛物线上？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

答案与试题解析一．解答题（共28小题）1．如图1，抛物线y＝tx2﹣16tx+48t（t为常数，t＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（12，0）；（2）如图2，点D是抛物线上的一点，且位于第一象限，连接BD，延长BD交y轴于点E，若∠BCE＝∠BEC．①求点D的坐标（用含t的式子表示）；②若以点D为圆心，半径为8作⊙D，试判断⊙D与y轴的位置关系；（3）若该抛物线经过点（h，），且对于任意实数x，不等式tx2﹣16tx+48t≤恒成立，求△BOC外心F与内心I之间的距离．【分析】（1）令y＝0，则tx2﹣16tx+48t＝0，可得答案；（2）①如图2，根据“三角形中，等角对等边”可得BC＝BE，进而可证得Rt△BOC≌Rt△BOE（HL），得出OE＝OC，可得E（0，﹣48t），利用待定系数法求得直线BE的解析式为y＝4tx﹣48t，联立方程组求解即可得出答案；②利用切线的判定定理即可得出答案；（3）根据题意可得该抛物线顶点为（h，），建立方程求出t＝﹣，从而得出：OB＝12，OC＝16，BC＝20，过△BCO的内心I作IM⊥OB于点M，IN⊥OC于点N，IG⊥BC于点G，则IM＝IN＝IG＝r，利用S△BOC＝S△BIO+S△CIO+S△BIC，可求得r＝4，进而得出I（4，﹣4），再由F是Rt△BCO的外心，可得F（6，﹣8），运用两点间距离公式即可求得答案．解：（1）令y＝0，则tx2﹣16tx+48t＝0，解得：x1＝4，x2＝12，∵点A在点B左侧，∴A（4，0），B（12，0），故（4，0），（12，0）；（2）①如图2，∵∠BCE＝∠BEC，∴BC＝BE，∵OB＝OB，∠BOC＝∠BOE＝90°，∴Rt△BOC≌Rt△BOE（HL），∴OE＝OC，在y＝tx2﹣16tx+48t中，令x＝0，得y＝48t，∴C（0，48t），∴E（0，﹣48t），设直线BE的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BE的解析式为y＝4tx﹣48t，联立方程组，得，解得：，（舍去），∴D（8，﹣16t）；②⊙D与y轴相切，理由如下：∵D（8，﹣16t），∴点D到y轴的距离为8，∵⊙D的半径为8，∴⊙D与y轴相切．（3）∵对于任意实数x，不等式tx2﹣16tx+48t≤恒成立，且抛物线经过点（h，），∴该抛物线顶点为（h，），∵y＝tx2﹣16tx+48t＝t（x﹣8）2﹣16t，∴抛物线顶点为（8，﹣16t），∴﹣16t＝，解得：t＝﹣，∴y＝﹣x2+x﹣16，∴B（12，0），C（0，﹣16），∴OB＝12，OC＝16，∴BC＝＝＝20，过△BCO的内心I作IM⊥OB于点M，IN⊥OC于点N，IG⊥BC于点G，则IM＝IN＝IG＝r，∵S△BOC＝S△BIO+S△CIO+S△BIC，∴×12×16＝×12r+×16r+×20r，解得：r＝4，∴I（4，﹣4），∵F是Rt△BCO的外心，∴F是BC的中点，∴F（6，﹣8），∴IF＝＝2．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴及直线的交点坐标，顶点坐标，二次函数图象和性质，三角形的内心和外心，三角形面积，中点公式，勾股定理，圆的切线判定等，涉及知识点较多，综合性强，有一定难度，是一道典型的中考数学压轴题．2．抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A和B（﹣1，0），与y轴交于点C，直线y＝﹣x+m过A，C两点，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P在直线AC的上方，当S△PAC＝3时，求点P的坐标；（3）点M为抛物线上的一点，tan∠ACM＝时，求点M的坐标．【分析】（1）先运用待定系数法求得直线AC的解析式y＝﹣x﹣2，进而可求得A（﹣4，0），再运用待定系数法即可求得答案；（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，设P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，﹣t﹣2），再运用S△PAC＝S△PAH+S△PCH，建立方程求解即可；（3）在x轴上取点F（﹣，0），过点F作FG⊥AB于点G，并延长FG至H，使FG＝GH，过点G作GK⊥x轴于点K，直线CF、CH分别交抛物线于点M1、M2，运用勾股定理、三角形面积及三角函数求出点H的坐标，利用待定系数法求得直线CF、CH的解析式，再通过联立方程组即可求得答案．解：（1）在y＝ax2+bx﹣2中，令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∵直线y＝﹣x+m过点A、C，∴m＝﹣2，∴y＝﹣x﹣2，令y＝0，得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A（﹣4，0），B（﹣1，0），∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线AC于点H，设P（t，t2﹣t﹣2），则H（t，﹣t﹣2），∴PH＝t2﹣t﹣2﹣（﹣t﹣2）＝t2﹣2t，∴S△PAC＝S△PAH+S△PCH＝•PH•（t+4）+•PH•（﹣t）＝2PH＝﹣t2﹣4t，∵S△PAC＝3，∴﹣t2﹣4t＝3，解得：t1＝﹣1，t2＝﹣3，当t＝﹣1时，t2﹣t﹣2＝0，当t＝﹣3时，t2﹣t﹣2＝1，∴点P的坐标为（﹣1，0）或（﹣3，1）；（3）在x轴上取点F（﹣，0），过点F作FG⊥AB于点G，并延长FG至H，使FG＝GH，过点G作GK⊥x轴于点K，直线CF、CH分别交抛物线于点M1、M2，在Rt△COF中，OF＝，OC＝2，∠COF＝90°，∴CF＝＝＝，在Rt△ACO中，AC＝＝＝2，∵AF•OC＝AC•FG，∴FG＝＝＝，在Rt△CFG中，CG＝＝＝，tan∠FCG＝＝＝，设直线CF解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线CF解析式为y＝x﹣2，联立方程组，得，解得：（舍去），，∴M1；∵AG＝AC﹣CG＝2﹣＝，AF•GK＝AG•FG，∴GK＝＝＝，在Rt△FGK中，FK＝＝＝，∴OK＝OF+FK＝+＝，∴G（﹣，﹣），∵G为FH的中点，F（﹣，0），设H（m，n），则m﹣＝2×（﹣），n+0＝2×（﹣），∴m＝，n＝﹣，∴H（，﹣），同理可求得直线CH的解析式为y＝﹣x﹣2，联立方程组，解得：（舍去），，∴M2（，﹣）；综上，点M的坐标为：M1，M2（，﹣）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，一次函数图象与坐标轴及抛物线交点坐标，三角函数，勾股定理，三角形面积等，解题关键是运用数形结合思想和方程思想解决问题．3．如图1，直线l：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2（a＞0）的图象经过点A，交y轴于点C．（1）则点C坐标为（0，﹣2）；抛物线对称轴是x＝1；a的值是；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，经过点M作x轴的垂线MD，交直线l于点E，过点C作CD⊥MD，垂足为D，连接CM．设点M的横坐标为m．①当点M位于第一象限的抛物线上，且△CDM是等腰直角三角形时，CM交直线l于点F，设点F至直线DM的距离d1，到y轴的距离为d2，求的值．②如图2，将△CDM绕点C逆时针旋转得至△CD′M′，且旋转角∠MCM′＝∠OAB，当点M的对应点M′落在y轴上时，请直接写出点M的横坐标m的值．【分析】（1）求出直线l与坐标轴的交点坐标，再利用待定系数法求得二次函数解析式，即可得出答案；（2）①如图1，过点F作GH⊥DM于G，交y轴于H，设M（m，m2﹣m﹣2），根据△CDM是等腰直角三角形，可得CD＝DM，建立方程求解即可；②如图2，延长CM交AB于点F，根据△ABO∽△MCD，可得＝，建立方程求解即可．解：（1）在y＝﹣x+4中，令y＝0，则﹣x+4＝0，解得：x＝3，∴A（3，0），令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），把A（3，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣2（a＞0），得：9a﹣6a﹣2＝0，解得：a＝，∴二次函数解析式为y＝x2﹣x﹣2，令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），∵x＝﹣＝﹣＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，故（0，﹣2）；x＝1；；（2）①如图1，过点F作GH⊥DM于G，交y轴于H，∵DM⊥x轴，x轴⊥y轴，∴DM∥y轴，∴GH⊥y轴，设M（m，m2﹣m﹣2），∵C（0，﹣2），CD⊥MD，∴CD＝m，DM＝m2﹣m，∵△CDM是等腰直角三角形，∴CD＝DM，∴m＝m2﹣m，解得：m＝0（舍去）或m＝，∴M，设直线CM的解析式为y＝kx+b，则：，解得：，∴直线CM的解析式为y＝x﹣2，联立方程组，得，解得：，∴F，∴d1＝FG＝﹣＝，d2＝FH＝，∴＝＝；②如图2，延长CM交AB于点F，∵∠ABO+∠OAB＝90°，∠MCM′＝∠OAB，∴∠ABO+∠MCM′＝90°，∵DM⊥x轴，x轴⊥y轴，∴DM∥y轴，∴CD⊥y轴，∴∠DCM+∠MCM′＝90°，∴∠ABO＝∠DCM，∵∠AOB＝∠CDM＝90°，∴△ABO∽△MCD，∴＝，设M（m，m2﹣m﹣2），∴CD＝m，DM＝m2﹣m，∴＝，解得：m＝．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．4．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）的顶点为D，与x轴交于A，B两点（A在B左边）．（1）若该抛物线的顶点D坐标为（1，4），求其解析式；（2）如图（1），已知抛物线的顶点D在直线l：y＝﹣x+3上滑动，且与直线l交于另一点E，若△ADE的面积为，求抛物线顶点D的坐标；（3）如图（2），在（1）的条件下，P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线BP，BQ分别与抛物线交于M，N两点，求MN与PQ满足的数量关系．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设点D、E的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则x1＝，将抛物线与直线l解析式联立并整理得：x2﹣（b+1）x+3﹣c＝0，可得（+1）＝3﹣c，设直线l与x轴的交点为G，则G（3，0），利用三角形面积可得AG＝，A（﹣，0），进而可得﹣﹣b+c＝0，通过联立方程组求解即可得出答案；（3）如图2，设P（0，m），则Q（0，﹣m），PQ＝2m，运用待定系数法求得：直线BP的解析式为y＝x+m，联立方程组可求得M（﹣1，+），同理可得：N（﹣﹣1，﹣），运用两点间距离公式可得MN＝m，即可求得答案．解：（1）∵抛物线顶点坐标为D（1，4），二次项系数a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）设点D、E的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则x1＝，将抛物线与直线l解析式联立得：﹣x+3＝﹣x2+bx+c，整理得：x2﹣（b+1）x+3﹣c＝0，∴x1+x2＝b+1，x1x2＝3﹣c，∴x2＝+1，∴（+1）＝3﹣c，∴y1﹣y2＝﹣x1+3﹣（﹣x2+3）＝x2﹣x1＝+1﹣＝1，设直线l与x轴的交点为G，则G（3，0），∴S△ADE＝S△ADG﹣S△AEG＝AG（y1﹣y2）＝AG，∵S△ADE＝，∴AG＝，∴AG＝，∴A（﹣，0），将A（﹣，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：﹣﹣b+c＝0，联立方程组，得，解得：b1＝，b2＝﹣（舍去），∴b＝，∴D；（3）如图2，设P（0，m），∵P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，∴Q（0，﹣m），∴PQ＝2m，由（1）知：y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴B（3，0），设直线BP的解析式为y＝kx+d，则：，解得：，∴直线BP的解析式为y＝x+m，联立方程组，得：，解得：（舍去），，∴M（﹣1，+），同理可得：N（﹣﹣1，﹣），∴MN＝＝m，∴＝＝．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，三角形面积，一元二次方程解法，根与系数关系，两点间距离公式，解题关键是熟练运用一元二次方程根与系数关系等相关知识．5．如图，已知二次函数y＝﹣x2+mx+n（m，n均为常数）的图象顶点为A，与x轴交于B（﹣1，0）、C两点，与y轴交于点D（0，3）．（1）求该抛物线解析式．（2）如图1，连接AD交x轴于点E，连接AB交y轴于点K，点M是抛物线四象限且位于对称轴右侧图象上一点，过点M作MP⊥AD交直线AD于点P，连接MD．若∠M＝∠BKO，求出点M的坐标，以及此时△MDP的周长，并写出解答过程．（3）如图2，将抛物线y沿射线AE方向平移4个单位后，得到一个新的二次函数记为y′，令y′与y两函数图象相交于点Q，连接CQ，点R为原抛物线图象上一动点，点F为直线AE上一动点，是否存在以点C，Q，R，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点R的坐标，并把求其中一个R点的坐标的过程写出来．【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）如图1，设MP交y轴于点R，过点M作MT⊥y轴于点T，运用待定系数法求得直线AD解析式为y＝x+3，设M（m，n），则n＝﹣m2+2m+3，再利用待定系数法求得直线AB的解析式为y＝2x+2，得出K（0，2），通过tan∠M＝tan∠BKO＝，建立方程求解即可；（3）如图2，过点A作AH⊥x轴于点H，则AH＝4，EH＝4，将抛物线y沿射线AE方向平移4个单位，即顶点A（1，4）平移到E（﹣3，0），平移后的新抛物线y′＝﹣（x+3）2，联立方程组可求得Q（﹣，﹣），设R（t，﹣t2+2t+3），F（a，a+3），分两种情况讨论计算即可：①当以QR、CF为对角线时，四边形CQFR为平行四边形，②当以QC、RF为对角线时，四边形CFQR为平行四边形．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+mx+n（m，n均为常数）的图象经过B（﹣1，0）、D（0，3），∴，解得：，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图1，设MP交y轴于点R，过点M作MT⊥y轴于点T，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点为A（1，4），设直线AD解析式为y＝kx+b，∵A（1，4），D（0，3），∴，解得：，∴直线AD解析式为y＝x+3，令y＝0，则x+3＝0，解得：x＝﹣3，∴E（﹣3，0），∴OE＝OD＝3，∵∠DOE＝90°，∴∠EDO＝45°，∵∠DPR＝∠MDR＝90°，∴∠DRP＝∠MRT＝45°，∴MT＝RT，RM＝MT，RP＝DP，DR＝DP，设M（m，n），则n＝﹣m2+2m+3，∴T（0，﹣m2+2m+3），R（0，﹣m2+3m+3），∴DR＝3﹣（﹣m2+3m+3）＝m2﹣3m，∴RP＝DP＝DR＝（m2﹣3m），MP＝（m2﹣3m）+m＝（m2﹣m），设直线AB的解析式为y＝k1x+b1，∵A（1，4），B（﹣1，0），∴，解得：，∴直线AB的解析式为y＝2x+2，令x＝0，得y＝2，∴K（0，2），∴OB＝1，OK＝2，∴tan∠BKO＝＝，∵∠M＝∠BKO，∴tan∠M＝tan∠BKO＝，∵∠MPD＝90°，∴＝tan∠M＝，即MP＝2DP，∴（m2﹣m）＝2×（m2﹣3m），解得：m1＝0（舍去），m2＝5，∴M（5，﹣12），∴DP＝（52﹣3×5）＝5，MP＝10，DM＝5，∴△MDP的周长＝DP+MP+DM＝5+10+5＝155；（3）在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴C（3，0），过点A作AH⊥x轴于点H，如图2，则AH＝4，EH＝4，∴AE＝4，将抛物线y沿射线AE方向平移4个单位，即顶点A（1，4）平移到E（﹣3，0），∴平移后的新抛物线y′＝﹣（x+3）2，联立方程组，得：，解得：，∴Q（﹣，﹣），设R（t，﹣t2+2t+3），F（a，a+3），∵以点C，Q，R，F为顶点的四边形为平行四边形，∴①当以QR、CF为对角线时，四边形CQFR为平行四边形，∴，解得：或，∴R或；②当以QC、RF为对角线时，四边形CFQR为平行四边形，∴，解得：或，∴R（，﹣）或；综上，点R的坐标为或或（，﹣）或．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，三角函数，三角形周长，平行四边形性质，中点公式应用，解题关键是运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题．6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），D是抛物线的顶点，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，AP交DE于点F，交y轴于点Q．（1）求抛物线的表达式；（2）设△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；（3）连接BQ，点M在抛物线的对称轴上（位于第一象限内），且∠BMQ＝45°，在点P从点B运动到点C的过程中，点M也随之运动，直接写出点M的纵坐标t的取值范围．【分析】（1）运用待定系数法将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，即可求得答案；（2）利用配方法可求得抛物线顶点坐标D（1，﹣4），由AE∥PD得△AEF∽△PDF，再根据△PDF与△AEF的面积相等，可得△AEF≌△PDF，故点F分别是AP、ED的中点，设E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），结合中点坐标公式建立方程求解即可；（3）根据题意，分别求出t的最大值和最小值：①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M（1，t），过点O′作O′H⊥y轴于点H，运用勾股定理即可求得答案，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，运用勾股定理即可求得答案．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），∴将A、B坐标分别代入抛物线解析式得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，∵D是抛物线的顶点，抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D（1，﹣4），∵AE∥PD交直线l：y＝x+2于点E，P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m（0≤m≤3），∴△AEF∽△PDF，设E（e，e+2），P（m，m2﹣2m﹣3），又∵△PDF的面积为S1，△AEF的面积为S2，S1＝S2，∴△AEF≌△PDF，∴AF＝PF，EF＝DF，即点F分别是AP、ED的中点，又∵A（﹣1，0），P（m，m2﹣2m﹣3），E（e，e+2），D（1，﹣4），∴由中点坐标公式得：，解得：m1＝0，m2＝，∴点P的坐标为（，﹣）或（0，﹣3）；（3）①当点P与点B重合时，点Q与点O重合，此时t的值最大，如图2，以OB为斜边在第一象限内作等腰直角△O′OB，则O′，OO′＝O′B＝，以O′为圆心，OO′为半径作⊙O′，交抛物线对称轴于点M（1，t），过点O′作O′H⊥y轴于点H，则∠O′HM＝90°，∵O′H＝﹣1＝，O′M＝OO′＝，∴MH＝＝＝，∴t＝+＝，②当点P与点C重合时，点Q与点C重合，此时t的值最小，如图3，连接BC，以O为圆心，OB为半径作⊙O交抛物线对称轴于点M，∵OB＝OC＝3，∴⊙O经过点C，连接OM，设抛物线对称轴交x轴于点E，则OM＝OB＝3，OE＝1，∵∠MEO＝90°，∴ME＝＝＝2，∴t＝2，综上所述，2≤t≤．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，圆的性质，圆周角定理，勾股定理等，通过作辅助圆，利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半解决问题，是解题关键．7．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中A（﹣4，0），B（4，0），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．（1）求抛物线C的函数解析式；（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法将A（﹣4，0），B（4，0），代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求得答案；（2）设抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2m）2﹣8，联立方程组，可得，由抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，得出，解不等式组即可求得答案；（3）如图2，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．利用AAS证明△PFE≌△FMH，进而得出M（m+4，m﹣4），根据点M在y＝﹣x2+8上，建立方程求解即可．解：（1）由题意把点A（﹣4，0），B（4，0），代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，解得：，∴抛物线C的函数解析式为：y＝﹣x2+8；（2）如图1，由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣8），设抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2m）2﹣8，由，消去y得到：，∵抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，∴，解得：，∴满足条件的m的取值范围为：4＜m＜4；（3）结论：四边形PMP'N能成为正方形．理由：情形1，如图2，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（4，4），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP'N是正方形，∴PF＝FM，∠PFM＝90°，∵∠PEF＝∠FHM＝90°，∴∠PFE+∠FPE＝90°，∠PFE+∠MFH＝90°，在△PFE和△FMH中，∴，∴△PFE≌△FMH（AAS），∴PE＝FH＝4，EF＝HM＝4﹣m，∴M（m+4，m﹣4），∵点M在y＝﹣x2+8上，∴m﹣4＝﹣（m+4）2+8，解得或（舍），∴m＝﹣6+2时，四边形PMP'N是正方形．情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣4，4﹣m），把M（m﹣4，4﹣m）代入y＝﹣x2+8中，4﹣m＝﹣（m﹣4）2+8，解得m＝12或m＝0（舍去），∴m＝12时，四边形PMP′N是正方形．综上，四边形PMP′N能成为正方形，m＝﹣6+2或12．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，全等三角形判定和性质，正方形性质，中心对称和旋转的性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用中心对称和旋转的性质等相关知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．8．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6，0）和点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当△PBC的面积为时，求m值；（3）如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出该抛物线的函数关系式；（2）根据点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，表示PH的长，根据三角形的面积列方程解出即可得出结论；（3）先根据两三角形相似判断出∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°，进而分两种情况讨论即可得出结论．解：（1）把点B（6，0）和点C（0，﹣3）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）设直线BC的解析式为：y＝ax+n，由点B（6，0）和C（0，﹣3）得：，解得：，∴直线BC的解析式为，如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点H，∵点P的坐标为（m，），PH∥y轴，∴点H的坐标为（m，），∴PH＝yH﹣yP＝﹣（）＝﹣，xB﹣xC＝6﹣0＝6，∵S△PBC＝PH×6＝（﹣）×6＝﹣＝，解得：m1＝1，m2＝5，∴m值为1或5；（3）如图2，∵∠CDE＝∠BDM，△CDE与△BDM相似，∴∠CED＝∠BMD＝90°或∠DCE＝∠DMB＝90°，设M（x，0），①当∠CED＝∠BDM＝90°，∴CE∥AB，∵C（0，﹣3），∴点E的纵坐标为﹣3，∵点E在抛物线上，∴x2﹣x﹣3＝﹣3．∴x＝0（舍）或x＝5，∴M（5，0）；②当∠DCE＝∠DMB＝90°，∵OB＝6，OC＝3，∴BC＝＝3，由（2）知直线BC的关系式为y＝x﹣3，∴OM＝x，BM＝6﹣x，DM＝3﹣x，由（2）同理得ED＝﹣+3x，∵DM∥OC，∴，即，∴CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝﹣x，∵△ECD∽△BMD，∴，即＝，∴＝x（3﹣x）2，x（6﹣x）（1﹣x）＝0，x1＝0（舍），x2＝6（舍），x3＝1，∴M（1，0）；综上所述：点M的坐标为（5，0）或（1，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数关系式；（2）利用三角形的面积公式可解答；（3）分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列比例式可解答．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2+5时，求点D的坐标；（3）如图2，过点C作CF∥x轴，点M是直线CF上的一点，MN⊥CF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）运用待定系数法将A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4，解方程组即可求得答案；（2）根据题意，当S1＝S2+5，即S△ABD＝S△ABC+5，设D（x，y），表示出△ABD和△ABC的面积，列方程求解即可；（3）分情况讨论，列出三角形相似的三种情况，画出相应图形，设M（m，4），则N（m，﹣m2+3m+4），运用相似三角形性质，建立方程求解即可．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0），B（﹣1，0）两点，∴，解得：，∴y＝﹣x2+3x+4；（2）∵抛物线y＝﹣x2+3x+4与y轴交于点C，令x＝0，则y＝4，∴C（0，4），∵S1＝S2+5，∴S1+S△AEB＝S2+S△AEB+5，即S△ABD＝S△ABC+5，∵A（4，0），B（﹣1，0），∴AB＝5，设D（x，y），∴×5×y＝×5×4+5，∴y＝6，∴﹣x2+3x+4＝6，解得：x1＝1，x2＝2，∴D1（1，6），D2（2，6）；（3）设M（m，4），则N（m，﹣m2+3m+4），①如图2，△BOC∽△NMC，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝，经检验，m＝是原方程的解，∴M（，4）；②如图3，△BOC∽△CMN，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝﹣1，经检验，m＝﹣1是原方程的解，∴M（﹣1，4）；③如图4，△BOC∽△NMC，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝，经检验，m＝是原方程的解，∴M（，4）；④如图5，△BOC∽△CMN，则＝，∴＝，解得：m＝0（舍去），m＝7，经检验，m＝7是原方程的解，∴M（7，4）；综上所述，点M的坐标为（，4）或（﹣1，4）或（，4）或（7，4）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积等知识，解题关键是运用数形结合思想，分类讨论思想和方程思想思考解决问题．10．如图，A，B分别为x轴正半轴，y轴正半轴上的点，已知点B的坐标是（0，6），∠BAO＝45°．过A，B两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点落在线段OA上，该抛物线与直线y＝kx+m（k＞0）在第一象限交于C，D两点，且点C的横坐标为1．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线CD与线段AB的交点记为E，当＝时，求点D的坐标；（3）P是x轴上一点，连接PC，PD，当∠CPD＝90°时，若满足条件的点P有两个，且这两点间的距离为1，求直线CD的解析式．【分析】①根据直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质求出A的坐标，讲A，B点坐标代入解析式，即可求解出解析式，②过点E作EF⊥x轴于点F，根据△AEF∽△ABO，得到E的坐标，根据二次函数和一次函数的解析式计算可得，③过点E作EF⊥x轴交点F，根据直线和圆的性质，得到P点横坐标范围，结合一元一次方程判别式、根与系数的关系求解可得．解：（1）∵B（0，6），∴OB＝6，∵∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB＝6，∴A（6，0），将A（6，0），B（0，6）代入解析得，解得，∴解析式为y＝x2﹣4x+6，故抛物线解析式为y＝x2﹣4x+6；（2）如图，过点E作EF⊥x轴于点F，∴∠AFE＝90°＝∠AOB，∴EF∥BO，∠AEF＝∠ABO＝∠BAO＝45°，∴＝，OA＝OB＝6，∴OF＝OA＝2，F（2，0），∴FA＝4，∴EF＝OB＝4，E（2，4），∵点C横坐标为1，并且在抛物线上，∴将x＝1代入解析式可得，y＝2.5，∴C（1，2.5），∴由C（1，2.5），E（2，4）得直线CD的解析式为y＝x+1，将y＝x+1代入y＝x2﹣4x+6，得x2﹣4x+6＝x+1，解得x1＝1，x2＝10，∵C（1，2.5），∴D的横坐标为10，将x＝10代入y＝x+1得y＝16，∴D点的坐标为（10，16），故点D的坐标为（10，16）；（3）由（2）的C（1，2.5），设D（xD，yD），P（t，0），由题意可知，点D在点C的上方，点P是以CD为直径的圆与x轴的交点，∴1＜t＜xD，如图，分别过点C，D作x轴的垂线交于点H，I，∴∠CHI＝∠DIH＝90°，∴∠HCP+∠HPC＝90°，∵∠CPD＝90°，∴∠IPD+∠HPC＝90°，∴∠IPD＝∠HCP，∴△HCP∽△IPD，∴，∴，（t﹣1）（xD﹣t）＝2.5yD①，将点C（1，2.5）代入y＝kx+m中，得m＝2.5﹣k，∴直线CD的解析式为y＝k（x﹣1）+2.5，将y＝k（x﹣1）+2.5代入y＝x2﹣4x+6，整理可得x2﹣（2k+8）x+2k+7＝0，解得xC＝1，xD＝2k+7，∴D（2k+7，2k2+6k+2.5），将D（2k+7，2k2+6k+2.5）代入①，整理可得t2﹣（2k+8）t+5t2+17k+＝0，Δ＝﹣16k2﹣36k+11，因为满足条件的点P有两个，可设P点横坐标分别为t1，t2，且t1＜t2，根据韦达定理可知t1+t2＝2k+8，t1t2＝5k2+17k+，由题意得t2﹣t1＝1，∴（t2﹣t1）2＝（t1+t2）2﹣4t1t2，化简得8k2+18k﹣5＝0．解得k1＝，k2＝＜0（舍去），当k＝，Δ＝﹣16k2﹣36k+11＞0，满足条件，所以直线CD的解析式为y＝x+，故直线CD的解析式为y＝x+．【点评】本题主要考查二次函数的解析式、相似三角形的应用以及韦达定理应用，要求综合能力比较强．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】①将A，B点坐标代入抛物线解析式求出系数a，b的值，即可得解析式，②数形结合思想找到PN和PM的数量关系，求PM最大值转化为求PN最大值问题，利用配方法求最值，③分类讨论，应用一线三直角模型构造全等三角形，找到线段关系，从而出点坐标．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P，故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线L，再分别过点C和点Q作垂线L的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|xQ|+NQ＝CM，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线L，再分别过点C和点Q作垂线L的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线L，再分别过点C和点Q作垂线L的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．【点评】本题主要考查了二次函数应用，求二次函数解析式，等腰三角形的性质以及一线三直角模型的应用，最后一问综合应用对于一般学生比较有难度，比较难答全．12．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且OA＝OC，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若M（﹣2，y）是抛物线上一点，P是抛物线上另一点（点P与点D不重合），当S△BDM＝S△BPM时，求出此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线对称轴上是否存在点Q，使△BMQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．【分析】①利用题目已知条件可以分别求出A，B，C三点坐标，用一般式联立可以求出抛物线解析式，顶点D的坐标也可求得；②利用点到直线距离公式，两个三角形同底，高必然相等求出P点坐标；③设Q点坐标，使用两点之间距离公式，再利用直角三角形三边符合勾股定理求出Q点坐标．解：（1）由题意可知A（﹣3，0），∵OA＝OC，∴C（0，﹣3），∵对称轴x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，设解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），将A（﹣3，0），C（0，﹣3），b＝2a，，解得，∴y＝x2+2x﹣3，顶点D（﹣1，﹣4），故抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵点M在抛物线上，∴将M点的横坐标x＝﹣2代入y＝x2+2x﹣3得y＝﹣3，∴M（﹣2，﹣3），由第（1）可知D（﹣1，﹣4），B（1，0），∵M（﹣2，﹣3）；∴直线BM直线方程为：y＝x﹣1，∴DM＝，BM＝，BD＝，DM2+BM2＝BD2，∴∠BMD＝90°，△BMD的高为DM＝，在y轴上找一点E（0，1），得BE＝，分别过点E，D作BM的平行线，分别交抛物线于点P1，P2，P3，则P1P2，DP3所在直线k＝1，设P1P2直线为y＝x+m，将E（0，1）代入，得y＝x+1，联立直线和抛物线，得x＝或x＝，∴P1，P2，设DP3直线为y＝x+n，将D（﹣1，﹣4）代入，得y＝x﹣3，联立直线和抛物线，得x＝﹣3或x＝0（舍去），∴P3（0，﹣3），故P点坐标为或或（0，﹣3），（3）存在，Q点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，﹣4）或（﹣1，）或（﹣1，）．理由如下：点Q在对称轴上，可设点Q坐标为（﹣1，n），∵M（﹣2，﹣3），B（1，0），∴BM2＝（﹣2﹣1）2+（﹣3﹣0）2＝18，BQ2＝（﹣1﹣1）2+（n﹣0）2＝4+n2，MQ2＝（﹣1﹣（﹣2））2+（n﹣（﹣3））2＝1+（n+2）2＝n2+6n+10，当∠MBQ＝90°时，BM2+BQ2＝MQ2，18+4+n2＝1+（n+2）2＝n2+6n+10，解得n＝2，Q（﹣1，2）；当∠BMQ＝90°时，BM2+MQ2＝BM2，18+n2+6n+10＝4+n2，解得n＝﹣4（与顶点D重合），Q（﹣1，﹣4）；当∠BQM＝90°时，MQ2+BQ2＝BM2，1+（n+3）2+n2+4＝18，解得n＝，所以点Q坐标为（﹣1，）或（﹣1，）．综上所得，Q点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，﹣4）或（﹣1，）或（﹣1，）．【点评】本题作为压轴题考查问题比较全面，典型的数形结合问题，对于一般学生来说难度比较大，主要是对于点到直线距离公式，点到点距离公式的熟知以及应用是本题的难点，最后一问的结合勾股定理的分类讨论是常考题型．13．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，若PE＝DE，求点P的坐标；（3）点M是抛物线上一动点，若满足∠MAB不大于45°，求点M的横坐标m的取值范围．【分析】（1）运用待定系数法将A（﹣1，0）和点B（4，0）代入抛物线解析式，解方程组即可得出答案；（2）先运用待定系数法求得直线BC的解析式为y＝x﹣2，再设点P（m，m2﹣m﹣2），则D（m，0），E（m，m﹣2），根据PE＝DE，列方程求解即可；（3）在y轴正半轴和负半轴上分别取点G、H，使OG＝OH＝OA＝1，则G（0，1），H（0，﹣1），∠GAO＝HAO＝45°，再运用待定系数法求得直线AG、AH的解析式分别为y＝x+1，y＝﹣x﹣1，通过联立方程组求得点M的横坐标的最大值和最小值，即可得出答案．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与y轴交于点C，∴令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0，﹣2），设直线BC的解析式为y＝kx+c，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，设点P（m，m2﹣m﹣2），则D（m，0），E（m，m﹣2），∴DE＝0﹣（m﹣2）＝2﹣m，PE＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m，∵PE＝DE，∴﹣m2+2m＝2﹣m，解得：m1＝1，m2＝4（舍去），∴P（1，﹣3）；（3）∵A（﹣1，0）．∴OA＝1，在y轴正半轴和负半轴上分别取点G、H，使OG＝OH＝OA＝1，则G（0，1），H（0，﹣1），∠GAO＝HAO＝45°，设直线AG、AH的解析式分别为y＝m1x+n1，y＝m2x+n2，则，或，解得：，或，∴直线AG、AH的解析式分别为y＝x+1，y＝﹣x﹣1，联立方程组得，或，解得：（舍去）或或，∴直线AG、AH与抛物线y＝x2﹣x﹣2的交点坐标分别为M1（6，7）或M2（2，﹣3），∴当满足∠MAB不大于45°时，点M的横坐标m的取值范围为2≤m≤6．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，一次函数与抛物线交点坐标等知识，解题的关键是构建一次函数，学会利用方程组求函数交点坐标，属于中考压轴题．14．将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k，可得顶点坐标为（﹣1，4），即可得到抛物线H：y＝a（x+1）2+4，运用待定系数法将点A的坐标代入，即可得出答案；（2）利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），进而得出PE＝﹣（m+）2+，运用二次函数性质可得：当m＝﹣时，PE有最大值，再证得△PEF是等腰直角三角形，即可求出答案；（3）分两种情形：①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，证得△PQG≌△ACO（AAS），根据点P到对称轴的距离为3，建立方程求解即可；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，则M（﹣，），设点P的横坐标为x，根据中点公式建立方程求解即可．解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴抛物线H：y＝a（x+1）2+4，将A（﹣3，0）代入，得：a（﹣3+1）2+4＝0，解得：a＝﹣1，∴抛物线H的表达式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）如图1，由（1）知：y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），则E（m，m+3），∴PE＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝﹣时，PE有最大值，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠AOC，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，∴PF＝EF＝PE，∴S△PEF＝PF•EF＝PE2，∴当m＝﹣时，S△PEF最大值＝×（）2＝；（3）①当AC为平行四边形的边时，则有PQ∥AC，且PQ＝AC，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为G，设AC交对称轴于点H，则∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，，∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴点P到对称轴的距离为3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，设点P（x，y），则|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，当x＝2时，y＝﹣5，当x＝﹣4时，y＝﹣5，∴点P坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②当AC为平行四边形的对角线时，如图3，设AC的中点为M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（﹣，），∵点Q在对称轴上，∴点Q的横坐标为﹣1，设点P的横坐标为x，根据中点公式得：x+（﹣1）＝2×（﹣）＝﹣3，∴x＝﹣2，此时y＝3，∴P（﹣2，3）；综上所述，点P的坐标为（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，三角形面积等，解题关键是熟练掌握二次函数性质、全等三角形判定和性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想．15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），过点B的直线y＝x﹣2交抛物线于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求△PBC面积的最大值；（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E（m，），可得出PE＝﹣m2+m+1，再通过解方程组求出点C的坐标为（，﹣），利用三角形面积公式和二次函数性质即可得出答案；（3）设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，证明△OGM≌△OHN（AAS），得出GM＝NH，OG＝OH，建立方程组求解即可．解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3中，得：，解得：，∴该抛物线表达式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）如图1，过点P作PD∥y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点E（m，），∴PE＝PD﹣DE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m+1，联立方程组：，解得：，，∵点B坐标为（3，0），∴点C的坐标为（，﹣），∴BD+CF＝3+，∴S△PBC＝S△PEB+S△PEC＝PE•BD+PE•CF＝PE（BD+CF）＝（﹣m2+m+1）•＝（）2+，（其中＜m＜3），∵，∴这个二次函数有最大值．当m＝时，S△PBC的最大值为．（3）如图2，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，∴∠OGM＝∠OHN＝90°，∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，∴OM＝ON，∠MON＝90°，∵∠GOH＝90°，∴∠MOG＝∠NOH，在△OGM与△OHN中，，∴△OGM≌△OHN（AAS），∴GM＝NH，OG＝OH，∴，解得：，，M1（0，﹣3），M2，如图3，设M（t，t2﹣2t﹣3），N（n，n﹣2），作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，∴∠OGM＝∠OHN＝90°，∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，∴OM＝ON，∠MON＝90°，∵∠GOH＝90°，∴∠MOG＝∠NOH，在△OGM与△OHN中，，∴△OGM≌△OHN（AAS），∴GM＝NH，OG＝OH，∴，解得：t1＝，t2＝，∴M3，M4；综上所述，点M的坐标为M1（0，﹣3），M2，M3，M4．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、几何图形的旋转、全等三角形的判定与性质及一元二次方程等知识点，运用数形结合思想、分类讨论思想及熟练掌握全等三角形判定和性质及二次函数性质是解题的关键．16．如图，在抛物线y＝x2﹣x+c交x轴正半轴于点B，交y轴负半轴于点C，直线AB交抛物线于A、B两点，抛物线的对称轴交x轴于点E，其中A的坐标为（﹣﹣7，8+7）．（1）求c的值和直线AB的解析式；（2）如图1，P是抛物线上在直线AB下方的一点，直线AB交抛物线的对称轴于点D，连接OD，OP直线OP交抛物线对称轴于点H，当∠POD＝2∠ODB时，求点H的坐标；（3）在直线CE上有一点F，F的横坐标为12，将△BEF绕点B逆时针旋转过有一定的角度α（0°＜α＜180°），得到△BE′F′，直线AB交E′F′于M，当直线AB将△BE′F′分割为面积比为1：2的两部分时，直接写出α的值及M的坐标．【分析】（1）在2中，代入A（﹣﹣7，8+7）即可解得：c＝﹣3；令y＝0得B（7，0），用待定系数法即可得直线AB：y＝﹣x+；（2）分两种情况：如图1，当P在直线OD上方时，过O作OK⊥PH于O，可得出∠EOH＝∠ODE，运用三角函数定义即可得出答案；如图2，当P在直线OD下方时：作ON⊥PH于O，∠DON的角平分线OK交DE于K，设OK＝DK＝a，EK＝﹣a，运