《初等几何研究》练习题

《初等几何研究》作业一、填空题1a上任意两点AB以及a上与B在A同侧的点的集合称作并记作 。2、在绝对几何中，外角定理的内容是：。3、第四组公理由 条公理组成，它们的名称分别是。4、欧氏平行公理是： 。5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 ，不同之处是。6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 法与归纳法；从思维方向上分为 法与分析法从命题结构上分为 证法与间接证法，其中间接证法包括法与 法。7、过反演中心的圆，其反演图形是 （过或不过）反演中心的 。8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 三角形。9、锡瓦定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z，则AX、BY、CZ三线共点（包括平行）的充要条件是 。10、解作图问题的常用方法有： 、 、 、 等。11、数学公理系统的三个基本问题是 性、 性和 性.12对于共面的直线a和a外两点A若a与(AB)相交则称AB在a的 否则称AB在a的 .13、命题“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是 定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了 原理.15、罗氏平行公理是： .16、在罗氏几何中，共面的两条直线有 种关系，它们分别是17几何证明的通用方法一般有 法、 法、 法、 法、 法、 法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有的关系.19、尺规可作图的充要条件是 .由公理可以证明，线段的合同关系具有 性、 性、 和 性.如果线段与角对应，那么线段的中点与角的 对应.命题“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是 定理的推论.第1页共5页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！绝对几何包括有 组公理，它们分别是 .写出一条与欧氏平行公理等价的命题： .在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是 .26．常用的几何变换有 等托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则 .请写出两条作图公法： .在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是： 。巴士公理：设A、B、C三点不共线，a是A、B、C所在平面上的一条直线，但不通过A、BC中任一点，若a通过线段AB上一点，则 。命题“过圆内一点的直线必与该圆相交于两点”是由 公理保证的。欧氏几何公理系统共有 组公理，它们分别是 。写出一条与罗氏平行公理等价的命题： 。罗氏函数的定义域是 ，值域是 ，其性质有 和 。合同变换包括 变换、 变换和 变换。梅内劳斯定理：设的三边（所在直线CAAB被一直线分别截于XYZ点，X、Y、Z共线的充要条件是 。解作图问题的步骤一般分为： 、 、 、 、 。二、问答题：1、在数学公理系统中，模型指的是什么？2、巴士公理刻划了直线和三角形的那些特性？3、定义线段长度的两个条件是什么？4””、“”，哪一个命题与欧氏平行公理不等价？5、欧氏几何公理系统中，不加定义的原始概念有哪些？对它们为什么不加定义？第2页共5页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！6、试给第一组公理一个模型.7、第三组公理一共有几条？这组公理的名称与我们以前熟悉的哪些概念有关？8、定义两个线段的大、小关系用到了哪些关系？.数学公理系统的三个基本问题是什么？其含义分别是什么？公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语？由欧几里得《几何原本》中的第五公设引出了什么问题？产生了什么结果？原始关系概念“结合”的通常说法有哪些？数学公理系统的三个基本问题中哪个最重要，必须首先满足？在欧氏几何公理系统中，线段“合同”的概念与线段“长度”的概念分别是以什么形式引出来的？在绝对几何公理系统中，命题“三角形内角和等于两个直角”用下列方法证明可否？若有问题，问题出在哪一步？为什么？在⊿ABC中，过A作ADBCD设⊿ABC的内角和为x，用ω表示直角，则∠1+∠3+∠5=x，∠2+∠4+∠6=x；∵∠3+∠4=2ω，且∠1+∠2+∠5+∠6=x，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2x，即x+2ω=2x，因此x=2ω，得证。三、轨迹问题：

A1 25 3 4 6B D C1、若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。2、ABC的底边BC固定∠A=α是定角，延长BA至D，使BD=BA+A，求D（只作分析，并指出轨迹的图形即可）3、到两定点A、B的距离之比为正实数m（m≠1）之点的轨迹是一个圆.若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。四、作图问题

A第3页共5页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！x1、给定直线XY及其同侧两点AB， AB在XY上求作一点P，使得∠APX=∠BPY.（只写作图过程并证明）X Y2、从已知圆外一点作一割线，使其圆外部分和圆内部分长度相等.（只写作图过程并讨论）A3、已知直线、y平行，其外侧各有一点AB x（如图，求作从A到B的最短路线，其中在、yy之间的一段要求与x垂直.（只写作图过程并证明）B4、已知一边和该边的对角及此角的角平分线，求作三角形.XYA、B，在XY上求作一点P，使得∠APX=∠BPY. AB（只写作图过程并证明）X Y求作一圆，使该圆过两定点，并与一定直线相切.（只写作图过程）已知直线、yAB（如图，求作从A到B的最短路线，其中在、y之间的一段要求与x（只写作图过程并证明给定锐角三角形ABC使其两个相邻顶点在BC另两个顶点分别在AB和AC边上。（只写作图过程）五、证明题1、证明线段的合同关系满足反身性和对称性.使AF=A（如右图，3∠CAF=2使AF=A（如右图，3∠CAF=2∠CAB.F第4页共5页在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！3、用同一法证明命题：已知P为正方形ABCD内一点，若∠PAB=∠PBA=15o，则⊿PCD是等边三角形.4、过圆中AB弦的中点M任作两弦CD、EF，设CF、DE与AB分别交于P、Q，求证：PM=MQ.7：A、CACBA、CEIJHC在⊿ABCIJHC作三个正方形ACEF、FCBG、BAI（如右图，G求证：FJ∥AG