2021届高考数学统考第二轮专题复习第21讲不等式选讲学案理含解析

21高考年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ含绝对值的函数的2020 像与不等式的求解·T232019 不等式的证明

解·T23解·T23

不等式的证明·T23求最值与不等式的证明·T232018

绝对值不等式的求 绝对值不等式的解·T23 解·T23

含绝对值的函数的图像与综合应用·T231.[2020·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.y=f(xf(x)>f(x+1.图M7-21-12.[2020·全国卷Ⅲ]设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.用maxc}≥√.3.[2019·全国卷Ⅲ]设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥1成立,证明:a≤-3或a≥-1.3含绝对值不等式的解法1已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)在图M7-21-2的坐标系中画出含绝对值不等式的解法1已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.图M7-21-22已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,a∈R.(1)若不等式f(x)≤22已知函数f(x)=|2x-a|+|x-1|,a∈R.【规律提炼】测题测题1.[2020·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.2.已知函数f(x)=|2x-1|-|x+3|+m.7个不同的整数m.含绝对值不等式的恒成立问题含绝对值不等式的恒成立问题不等式的证明3已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,证明:(1)𝑎2+𝑏2+不等式的证明3已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,证明:1-𝑎1-𝑏1-𝑐2(2)1+1+1≥81.𝑎3𝑏3𝑐3【规律提炼】测题在涉及基握测题已知a,b,c均为正实数.(1)求证:(a+b)(ab+c2)≥4abc;(2)若a+b+c=3,求证:√𝑎+1+√𝑏+1+√𝑐+1≤3√2.4已知函数f(x)=|2x-a|+2|x+1|.4已知函数f(x)=|2x-a|+2|x+1|.,都存在,使得a.【规律提炼】测题问题与有解问题的不同,如存在测题已知函数f(x)=|ax+1|+|2x-1|.时,求不等式3a.2𝑎真知真题扫描第21讲 不等式选讲真知真题扫描-𝑥-3,𝑥≤-1,解:(1)由题设知1 3y=f(x)的图像如图所示.

5𝑥-1,- <𝑥≤1,3𝑥+3,𝑥>1.(2)函数y=f(x)的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图像.的图像与的图像的交点坐标为.由图像可知当且仅当x<-7时,y=f(x)的图像在y=f(x+1)的图像上方,6故不等式故不等式的解集为.2.证明:(1)由题设可知,a,b,c均不为零,所以2)0.2 2(2)不妨设max{a,b,c}=a,因为abc=1,a=-(b+c),所以a>0,b<0,c<0.由(𝑏+𝑐)2𝑎3≥max}≥.4 43.解:(1)由于故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥4,当且仅当x=5,y=-1,z=-1时等号成立.3所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为4.3

3 3 3(2故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥(2𝑎)2,当且仅当x=4-𝑎,y=1-𝑎,z=2𝑎-2时等号成立.3因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2𝑎)2.3

3 3 3由题设知(2𝑎)2≥1,解得a≤-3或a≥-1.考点考法探究3 3考点考法探究解答1𝑥-4,𝑥≤-1,2例1 解由已知得<𝑥<3,24-𝑥,𝑥≥3.2画出y=f(x)的图像,如图所示.(2)当x≤-1时,由|x-4|>1,解得x>5或x<3,∴x≤-1;当时,由解得或或2 3 3 2当x≥3时,由|4-x|>1,解得x>5或x<3,∴3≤x<3或x>5.2 2综上综上的解集为例2 解由得∵不等式f(x)≤2-|x-1|无解,∴(|2x-a|+|2x-2|)min>2,又∵|2x-a|+|2x-2|≥|(2x-a)-(2x-2)|=|a-2|,∴|a-2|>2,∴a>4或a<0,∴实数a的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).2

-3𝑥+𝑎+1,𝑥≤𝑎,2∴f(x)=|2x-a|+|x-1|={𝑥-𝑎+1,𝑎<𝑥<1,23𝑥-𝑎-1,𝑥≥1,则当x=𝑎时,f(x)min=1-𝑎=2,2 2∴a=-2<2,符合题意,∴a=-2.【自测题】

7-2𝑥,𝑥≤3,1.解:(1)当a=2时,f(x)={1,3<𝑥≤4,2𝑥-7,𝑥>4.因此,不等式f(x)≥4的解集为{𝑥|𝑥≤3或𝑥≥11}.2 2(2)因为时,,所以当当-1<a<3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)2<4.所以a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).2.解:(1)由f(x)<m,得|2x-1|<|x+3|,∴(2x-1)2<(x+3)2,∴(3x+2)(x-4)<0,解得-2<x<4,3不等不等式的解集为x.-𝑥+4,𝑥<-3,2(2)设g(x)=|2x-1|-|x+3|,则g(x)={-3𝑥-2,-3≤𝑥≤1,2∴不等式f(x)<1等价于g(x)<1-m,

𝑥-4,𝑥>1,2若恰好存在7个不同的整数,使得则恰好存在7个不同的整数,使得又(3)<0,g(4)=0,g(5)=1,g(6)=2,∴𝑔(5)<1-𝑚, 1<1-𝑚,{𝑔(6)≥即{21-𝑚,∴-1≤m<0,∴m的取值范围为[-1,0).解答2例3 证:(1)因为均为正实且所以均为正,所以𝑎2+𝑏2+𝑐21-𝑎1-𝑏1-𝑐2

𝑎2+𝑏2+𝑐2 1-𝑎1-𝑏1-𝑐 (1-𝑏)+𝑏2(1-𝑐)+𝑐2(1-𝑎)+𝑐2(1-𝑏)+𝑏2(1-𝑐) ≥11-𝑎

1-𝑏

1-𝑎

1-𝑐

1-𝑐

1-𝑏 2a2+b2+c2+2√𝑎2(1-𝑏)·𝑏2(1-𝑎)+2√𝑎2(1-𝑐)·𝑐2(1-𝑎)+2√𝑐2(1-𝑏)·𝑏2(1-𝑐)1-𝑎

1-𝑏

1-𝑎

1-𝑐

1-𝑐

1-𝑏2 2 2当且仅当a=b=c=1时,等号成立,3所以𝑎2+𝑏2+𝑐2≥1.1-𝑎1-𝑏1-𝑐2(2c13,1,即1≥27,27 abc 3所以1+1+13√1·

·1=

≥81,当且仅当a=b=c=1时,等号成立.a3b3c3

𝑎3

𝑏3

𝑐3

𝑎𝑏𝑐 3【自测题】证明:(1)要证(a+b)(ab+c2)≥4abc,即证,只需证因为a,b,c均为正实数,所以上式显然成立,故(a+b)(ab+c2)≥4abc.(2)由已知得√𝑎+1·√2≤𝑎+1+2=𝑎+3,当且仅当a+1=2时,取等号;2 2√𝑏+1·√2≤𝑏+1+2=𝑏+3,当且仅当b+1=2时,取等号;2 2√𝑐+1·√2≤𝑐+1+2=𝑐+3,当且仅当c+1=2时,取等号.2 2以上三式相加,得√2(√𝑎+1+√𝑏+1+√𝑐+1)≤𝑎+𝑏+𝑐+9=6,2所以√𝑎+1+√𝑏+1+√𝑐+1≤3√2,当且仅当a=b=c=1时,取等号.解答3例4 解当时当x>1时,不等式可化为2x-1+2x+2≤6,解得x≤5,∴1<x≤5;2 4 2 4当-1≤x≤1时,不等式可化为-(2x-1)+2x+2≤6,即3≤6,∴-1≤x≤1;2 2当x<-1时,不等式可化为-(2x-1)-(2x+2)≤6,解得x≥-7,∴-7≤x<-1.4 4综上所综上所,不等式的解集是x.(2)由题意得g(x)=|x-1|+2≥2,f(x)=|2x-a|+|2x+2|≥|a+2|,则|a+2|≥2,解得a≥0或a≤-4,∴a的取值范围是(-∞,-4]∪[0,+∞).【自测题】-3𝑥,𝑥<-1,2解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|+|2x-1|={-𝑥+2,-1≤𝑥≤1,23𝑥,𝑥>1.2方法一:作出函数f(x)=|x+1|+|2x-1|的图像,它与直线y=3的交点为A(-1,3),B(1,3),所以f(x)>3的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).方法二:不等式f(x)>3等价于

𝑥<-1,

或{-1≤𝑥≤1,或{𝑥>1,{-3𝑥>3 2 2-𝑥+2>3 3𝑥>3,解得x<-1或⌀或x>1,所以f(x)>3的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).(2)因为0<a<2,所以-1<-1,a+2>0,a-2<0,𝑎 2上单调递增.

𝑎 2 2 2-(𝑎+2)𝑥