教学第十二章弯曲变形课件

§12-1弯曲变形的概念一、为何要研究弯曲变形仅保证构件不会发生破坏，但如果构件的变形太大也不能正常工作。1、构件的变形限制在允许的范围内。§12-1弯曲变形的概念一、为何要研究弯曲变形仅保证构件不车削加工一等截面构件，如果构件的的变形过大，会加工成变截面；案例1：车削加工一等截面构件，如果构件的的变形过大，会加工成变截面；如果钻床的变形过大，受工件的反力作用；摇臂钻床简化为刚架，不能准确定位。案例2：如果钻床的变形过大，受工件的反力作用；摇臂钻床简化为刚架，不车间桁吊大梁的变形车间桁吊大梁的变形车间桁吊大梁的过大变形会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；还会引起较严重的振动；案例3：车间桁吊大梁的过大变形会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；还桥梁如果产生过大变形楼板、床、双杠横梁等都必须把它们的变形限制在允许的范围内。屋顶案例4：桥梁如果产生过大变形楼板、床、双杠横梁等都必须把它们的变形限２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；案例1：２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的过程中有较大的变形吸收落物或碰撞能量，保证驾驶员的人身安全案例2：安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的过案例3：当今时代汽车工业飞速发展，道路越来越拥挤，一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？案例3：当今时代汽车工业飞速发展，道路越来越拥挤，一旦发生碰案例4：蹦床要有大变形，才能积蓄能量，将人体弹射到一定高度。3、研究弯曲变形还广泛应用于超静定问题分析、稳定性分析以及振动分析等方面。除了解决构件的刚度外，案例4：蹦床要有大变形，才能积蓄能量，将人体弹射到一定高度。二、弯曲变形的物理量扭转：

FF拉伸弯曲变形的物理量如何？二、弯曲变形的物理量扭转：FF拉伸弯曲变形的物理量如何？1、挠曲线2、挠度ω向上为正3、转角逆时针为正截面形心在力的方向的位移截面绕中性轴转过的角度弯曲变形的物理量挠度ω弯曲变形的物理量转角+1、挠曲线2、挠度ω向上为正3、转角逆时针为正截面形心在力§12.2

挠曲线的微分方程2、挠曲线方程：1、建立坐标系Xoy平面就是梁的纵向对称面；在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内的一条平面曲线；该曲线方程为：§12.2挠曲线的微分方程2、挠曲线方程：1、建立坐标系X3、挠度、转角物理意义①：挠度的物理意义：挠曲线在该点处的纵坐标；②：转角的物理意义过挠曲线上点作挠曲线的切线该切线与水平线的夹角为挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线方程在该点处的一阶导数；转角的正方向：从x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。3、挠度、转角物理意义①：挠度的物理意义：挠曲线在该点处的纵4、挠曲线微分方程中性层处曲率:

对于曲线y=f(x)在任一点处曲率

（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）正好为xoy平面内的一条曲线，平面弯曲的挠曲线所以曲线y=f(x)：从数学上讲是一条普通的平面曲线，从力学上讲就是梁发生弯曲变形的挠曲线。4、挠曲线微分方程中性层处曲率:对于曲线y=f(x)在瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程；挠曲线微分方程由于没有采用曲率的简化式，且弹性模量E无定量结果，挠曲线微分方程故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。该挠曲线微分方程是适用于弯曲变形的任何情况。非线性的，瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程；挠曲线微5、挠曲线近似微分方程在小变形的条件下，挠曲线是一条光滑平坦的曲线，，较小，转角故得挠曲线近似微分方程：5、挠曲线近似微分方程在小变形的条件下，挠曲线是一条光滑平坦符号规定：MM挠曲线近似微分方程挠曲线为凹曲线挠曲线为凸曲线弯矩M与二阶导数符号一致。适用范围：xωxωMM线弹性、小变形;y轴向上，x轴向右；符号规定：MM挠曲线近似微分方程挠曲线为凹曲线挠曲线为凸曲线挠曲线的近似微分方程积分一次：转角方程积分二次：挠曲线方程C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。§12.3

用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程积分一次：转角方程积分二次：挠曲线方程C悬臂梁：xω梁的边界条件L悬臂梁：xω梁的边界条件L简支梁：xωL梁的边界条件简支梁：xωL梁的边界条件连续性条件：CPABaLxω边界条件光滑连续性条件连续性光滑性连续性条件：CPABaLxω边界条件光滑连续性条件连续性光滑连续性条件：ABLaCMxω特别强调在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。连续不光滑连续性条件：ABLaCMxω特别强调在中间铰两侧转角不同，但例1：写出梁的边界条件、连续性条件：xωkCPABaL边界条件光滑连续性条件例1：写出梁的边界条件、连续性条件：xωkCPABaL边界条例2：写出梁的边界条件、连续性条件：hEACPABaL边界条件光滑连续性条件例2：写出梁的边界条件、连续性条件：hEACPABaL边界条讨论：挠曲线分段（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点；ABLaCM讨论：挠曲线分段（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；（2）（4）凡分段点处应列出连续条件；根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角；ABLaCM讨论：挠曲线分段在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。边界条件连续性条件（4）凡分段点处应列出连续条件；根据梁的变形的连续性，对同一例1悬臂梁受力如图所示。求和。xωx取参考坐标系1、列写弯矩方程2、代入挠曲线近似微分方程中积分一次：积分二次：转角方程挠曲线方程AqBL例1悬臂梁受力如图所示。求和。x3、确定常数C、D.边界条件：AqBL3、确定常数C、D.边界条件：AqBLAqBL4、计算A截面的挠度和转角A截面处AqBL4、计算A截面的挠度和转角A截面处CFABaLxω例2一简支梁受力如图所示。试求和。1、求支座反力2、分段列出梁的弯矩方程bBC段AC段xxCFABaLxω例2一简支梁受力如图所示。试求3、代入各自的挠曲线近似微分方程中4、各自积分3、代入各自的挠曲线近似微分方程中4、各自积分5、确定积分常数边界条件：连续条件：FaLxω5、确定积分常数边界条件：连续条件：FaLxωBC段AC段7、求转角6、挠曲线方程BC段AC段7、求转角6、挠曲线方程8、求。求得的位置值x。8、求。求得的位置值x。代入得：若则：在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外），可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。代入得：若§12.4

用叠加法求弯曲变形

一、叠加原理在小变形，是线性的；

材料服从胡克定律的情况下，挠曲线的近似微分方程弯矩与载荷之间的关系对应于几种不同的载荷，是线性的；弯矩可以叠加，近似微分方程的解也可以叠加。计算弯矩时，使用变形前的位置§12.4用叠加法求弯曲变形一、叠加原理在小变形，是线性设弯矩

挠曲线分别满足各自的近似微分方程将两个微分方程叠加分别计算出每一载荷单独引起的变形，将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形——叠加原理。总的近似微分方程：证明设弯矩挠曲线分别满足各自的近似微分方程将两个微分方程叠加分

二、叠加原理的限制条件叠加原理仅适用于线性函数，要求挠度、转角是载荷的线性函数。(1)、弯矩与载荷成线性关系;梁发生小变形，忽略各载荷引起梁的水平位移；梁处于线弹性范围内，满足虎克定律；

(2)、曲率与弯矩成线性关系;(3)、挠曲线二阶导数与成线性关系;即梁处于小变形条件下;二、叠加原理的限制条件叠加原理仅适用于线性函数，要求挠度几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，三、叠加原理的特征等于每种载荷单独作用下引起的同一截面挠度、转角的向量和。几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，三、叠加原理的特征等于例1

已知：q、l、EI，求：yC

,B

载荷叠加法（查表法）应用于多个载荷作用的情形例1已知：q、l、EI，求：yC,B载荷叠加法（查ωC

,B1、载荷分解qlql2qωC,B1、载荷分解qlql2qqlql2q2查表：单独载荷作用下qlql2q2查表：单独载荷作用下3、变形叠加3、变形叠加例2抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC

?L/2L/2qCBA例2抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC?L/2LqL/2L/2qCBAqqqL/2L/2qCBAqqqqqqww

第二类叠加法1将梁的挠曲线分成几段;逐段刚化法2首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移（挠度和转角）;3然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。第二类叠加法1将梁的挠曲线分成几段;逐段刚化法2首先分别例3

：用叠加法确定ωC?ABalFC1）考虑AB段变形引起的Ｃ截面的挠度(BC段看作刚体)外力向研究的ＡＢ段上简化ABalCFFaF：作用在支座上，不产生变形。Fa：使AB梁产生变形。例3：用叠加法确定ωC?ABalFC1）考虑AB段变形引ABalCFFaFa引起梁的变形形状为ＡＢ段上凸；ABalCFFaFa引起梁的变形形状为ＡＢ段上凸；2）考虑BC段变形引起C截面的挠度aABalFCAB段看作刚体FBCC截面的总挠度2）考虑BC段变形引起C截面的挠度aABalFCAB段看作刚讨论积分法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？讨论积分法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？多余约束凡是多余维持平衡所必须的约束多余反力与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数静不定度＝多余约束数4-3=1度静不定5-3

=

2度静不定12.5简单静不定梁多余约束凡是多余维持平衡所必须的约束多余反力与多余约选

Fby

为多余力－变形协调条件－物理方程－补充方程－平衡方程一度静不定例综合考虑三方面求梁的支反力选Fby为多余力－变形协调条件－物理方程－补充方程－平判断梁的静不定度用多余力

代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静定梁－所谓相当系统计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力相当系统通过相当系统计算内力、位移与应力等

求解依据－综合考虑三方面求解关键－确定多余支反力分析方法与步骤相当系统判断梁的静不定度用多余力代替多余约束的作用，得受例求支反力解：1.

问题分析水平反力忽略不计，2多余未知力2.

解静不定例求支反力解：1.问题分析水平反力忽略不计，2多余未弯曲变形的刚度条件：[ω]——许用挠度，[]——许用转角工程中，[ω]常用梁的计算跨度l的若干分之一表示。对于桥式起重机梁：对于一般用途的轴：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：12.6梁的刚度校核弯曲变形的刚度条件：[ω]——许用挠度，[]——许用转角工1、求自由端的挠度与转角PqL1、求自由端的挠度与转角PqLP2P1qLL2、求自由端的挠度与转角P2P1qLL2、求自由端的挠度与转角3、求简支梁中点的挠度qL/2C3、求简支梁中点的挠度qL/2C4、图示中悬臂梁，二段为同种材料制成。材料的弹性模量为E，求自由端C端的挠度。PI1L1I2L2ABC4、图示中悬臂梁，二段为同种材料制成。材料的弹性模量为E，求§12.7

提高梁强度和刚度的措施一、改善结构、减少弯矩１、合理安排支座；２、合理安排受力；３、集中力分散；４、

ω一般与跨度有关，５、增加约束：成正比，与故可减小跨度；§12.7提高梁强度和刚度的措施一、改善结构、减少弯矩１、尾顶针、跟刀架或加装中间支架；较长的传动轴采用三支撑；桥梁增加桥墩。增加约束：采用超静定结构尾顶针、跟刀架或加装中间支架；较长的传动轴采用三支撑；桥梁增采用超静定结构采用超静定结构改变支座形式FF改变支座形式FF改变载荷类型q=F/LF改变载荷类型q=F/LF二、选择合理的截面形状A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，工字形、槽钢等；起重机大梁常采工字形或箱形截面；二、选择合理的截面形状A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，起重机大梁常采工字形或箱形截面；起重机大梁常采工字形或箱形截面；四、不宜采用高强度钢;三、加强肋盒盖、集装箱；各种钢材Ｅ大致相同。四、不宜采用高强度钢;三、加强肋盒盖、集装箱；各种钢材1、y’’=M(x)/EI在

条件下成立？A：小变形；B：材料服从虎克定律；C：挠曲线在XOY面内；D：同时满足A、B、C；2、等直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大

处一定最大。A：挠度B：转角；C：弯矩；1、y’’=M(x)/EI在条件下成立？3、在简支梁中

，对于减少弯曲变形效果最明显。 A：减小集中力P；

B：增加梁的跨度；

C：采用优质钢；

D：提高截面的惯性矩L/2P3、在简支梁中，对于减少弯曲变形效果最明显。 A4、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：①σ=My/IZ ,②y’’=M(x)/EIZ

哪一个会得到正确的计算结果？A：①正确、②正确；B：①正确、②错误；C：①错误、②正确；D：①错误、②错误；4、板条弯成1/4圆，设梁始终处于线弹性范围内：5、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载？R5、使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，应如何施加外载6、圆轴采用普通碳钢制成，使用中发现弯曲刚度不够，提高轴的抗弯刚度的有效措施是：

。A：热处理；B：选用优质合金钢；

C；增大直径；D：提高表面光洁度；7、等直梁的最大弯矩处，局部增大直径，

。A：仅提高强度；B：仅提高刚度；C：强度、刚度均有提高；6、圆轴采用普通碳钢制成，使用中发现弯曲刚度不够，提高轴的抗PxabyP8、细长工件，加工完成后会变成什么形状？

9、写出边界条件与连续性条件。PxabyP8、细长工件，加工完成后会变成什么形状？

9、写xyqEI,LEA,a10、写出边界条件。xyqEI,LEA,a10、写出边界条件。11、梁上作用有外力偶，M1和M2，A点位于L/3处。使A点成为挠曲线的拐点，那么M1/M2=?M2M1AL/311、梁上作用有外力偶，M1和M2，A点位于L/3处。使A点12、图示中二个简支梁的材料、截面形状、承受的载荷均相同。跨度为1：2。则二梁的最大挠度之比

。PLP2L12、图示中二个简支梁的材料、截面形状、承受的载荷均相同。跨13、AB梁长为L，抗弯刚度EI为常量，固定的刚性曲面的方程为y=-ax3。欲使梁变形后与刚性曲面重合，但不产生压应力，问：应在梁上施加什麽载荷？绘梁的剪力图与弯矩图。y=-ax3xy13、AB梁长为L，抗弯刚度EI为常量，固定的刚性曲面的方程14、图示中的悬臂梁，载荷P可沿梁自由移动。若使载荷移动时梁总保持相同的高度，问：事先应将梁弯成怎样的曲线？xyPy=f(x)14、图示中的悬臂梁，载荷P可沿梁自由移动。若使载荷移动时梁15、在XY坐标系中，已知等直梁的挠曲线方程为ω=qx(L3-3Lx2+2x3)/48EI，q为均布载荷的集度。求：①最大弯矩及最大剪力。②梁的两端（x=0、x=L）的约束情况。15、在XY坐标系中，已知等直梁的挠曲线方程为ω=qx(L3小结1、明确挠曲线、挠度和转角的概念2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法3、掌握提高粱的弯曲刚度的措施小结1、明确挠曲线、挠度和转角的概念2、掌握计算梁变形的积分§12-1弯曲变形的概念一、为何要研究弯曲变形仅保证构件不会发生破坏，但如果构件的变形太大也不能正常工作。1、构件的变形限制在允许的范围内。§12-1弯曲变形的概念一、为何要研究弯曲变形仅保证构件不车削加工一等截面构件，如果构件的的变形过大，会加工成变截面；案例1：车削加工一等截面构件，如果构件的的变形过大，会加工成变截面；如果钻床的变形过大，受工件的反力作用；摇臂钻床简化为刚架，不能准确定位。案例2：如果钻床的变形过大，受工件的反力作用；摇臂钻床简化为刚架，不车间桁吊大梁的变形车间桁吊大梁的变形车间桁吊大梁的过大变形会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；还会引起较严重的振动；案例3：车间桁吊大梁的过大变形会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；还桥梁如果产生过大变形楼板、床、双杠横梁等都必须把它们的变形限制在允许的范围内。屋顶案例4：桥梁如果产生过大变形楼板、床、双杠横梁等都必须把它们的变形限２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；案例1：２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的过程中有较大的变形吸收落物或碰撞能量，保证驾驶员的人身安全案例2：安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的过案例3：当今时代汽车工业飞速发展，道路越来越拥挤，一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？案例3：当今时代汽车工业飞速发展，道路越来越拥挤，一旦发生碰案例4：蹦床要有大变形，才能积蓄能量，将人体弹射到一定高度。3、研究弯曲变形还广泛应用于超静定问题分析、稳定性分析以及振动分析等方面。除了解决构件的刚度外，案例4：蹦床要有大变形，才能积蓄能量，将人体弹射到一定高度。二、弯曲变形的物理量扭转：

FF拉伸弯曲变形的物理量如何？二、弯曲变形的物理量扭转：FF拉伸弯曲变形的物理量如何？1、挠曲线2、挠度ω向上为正3、转角逆时针为正截面形心在力的方向的位移截面绕中性轴转过的角度弯曲变形的物理量挠度ω弯曲变形的物理量转角+1、挠曲线2、挠度ω向上为正3、转角逆时针为正截面形心在力§12.2

挠曲线的微分方程2、挠曲线方程：1、建立坐标系Xoy平面就是梁的纵向对称面；在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内的一条平面曲线；该曲线方程为：§12.2挠曲线的微分方程2、挠曲线方程：1、建立坐标系X3、挠度、转角物理意义①：挠度的物理意义：挠曲线在该点处的纵坐标；②：转角的物理意义过挠曲线上点作挠曲线的切线该切线与水平线的夹角为挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线方程在该点处的一阶导数；转角的正方向：从x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。3、挠度、转角物理意义①：挠度的物理意义：挠曲线在该点处的纵4、挠曲线微分方程中性层处曲率:

对于曲线y=f(x)在任一点处曲率

（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）正好为xoy平面内的一条曲线，平面弯曲的挠曲线所以曲线y=f(x)：从数学上讲是一条普通的平面曲线，从力学上讲就是梁发生弯曲变形的挠曲线。4、挠曲线微分方程中性层处曲率:对于曲线y=f(x)在瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程；挠曲线微分方程由于没有采用曲率的简化式，且弹性模量E无定量结果，挠曲线微分方程故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。该挠曲线微分方程是适用于弯曲变形的任何情况。非线性的，瑞士科学家Jacbi.贝努利得到梁的挠曲线微分方程；挠曲线微5、挠曲线近似微分方程在小变形的条件下，挠曲线是一条光滑平坦的曲线，，较小，转角故得挠曲线近似微分方程：5、挠曲线近似微分方程在小变形的条件下，挠曲线是一条光滑平坦符号规定：MM挠曲线近似微分方程挠曲线为凹曲线挠曲线为凸曲线弯矩M与二阶导数符号一致。适用范围：xωxωMM线弹性、小变形;y轴向上，x轴向右；符号规定：MM挠曲线近似微分方程挠曲线为凹曲线挠曲线为凸曲线挠曲线的近似微分方程积分一次：转角方程积分二次：挠曲线方程C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。§12.3

用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程积分一次：转角方程积分二次：挠曲线方程C悬臂梁：xω梁的边界条件L悬臂梁：xω梁的边界条件L简支梁：xωL梁的边界条件简支梁：xωL梁的边界条件连续性条件：CPABaLxω边界条件光滑连续性条件连续性光滑性连续性条件：CPABaLxω边界条件光滑连续性条件连续性光滑连续性条件：ABLaCMxω特别强调在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。连续不光滑连续性条件：ABLaCMxω特别强调在中间铰两侧转角不同，但例1：写出梁的边界条件、连续性条件：xωkCPABaL边界条件光滑连续性条件例1：写出梁的边界条件、连续性条件：xωkCPABaL边界条例2：写出梁的边界条件、连续性条件：hEACPABaL边界条件光滑连续性条件例2：写出梁的边界条件、连续性条件：hEACPABaL边界条讨论：挠曲线分段（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点；ABLaCM讨论：挠曲线分段（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；（2）（4）凡分段点处应列出连续条件；根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角；ABLaCM讨论：挠曲线分段在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。边界条件连续性条件（4）凡分段点处应列出连续条件；根据梁的变形的连续性，对同一例1悬臂梁受力如图所示。求和。xωx取参考坐标系1、列写弯矩方程2、代入挠曲线近似微分方程中积分一次：积分二次：转角方程挠曲线方程AqBL例1悬臂梁受力如图所示。求和。x3、确定常数C、D.边界条件：AqBL3、确定常数C、D.边界条件：AqBLAqBL4、计算A截面的挠度和转角A截面处AqBL4、计算A截面的挠度和转角A截面处CFABaLxω例2一简支梁受力如图所示。试求和。1、求支座反力2、分段列出梁的弯矩方程bBC段AC段xxCFABaLxω例2一简支梁受力如图所示。试求3、代入各自的挠曲线近似微分方程中4、各自积分3、代入各自的挠曲线近似微分方程中4、各自积分5、确定积分常数边界条件：连续条件：FaLxω5、确定积分常数边界条件：连续条件：FaLxωBC段AC段7、求转角6、挠曲线方程BC段AC段7、求转角6、挠曲线方程8、求。求得的位置值x。8、求。求得的位置值x。代入得：若则：在简支梁情况下，不管F作用在何处（支承除外），可用中间挠度代替，其误差不大，不超过3%。代入得：若§12.4

用叠加法求弯曲变形

一、叠加原理在小变形，是线性的；

材料服从胡克定律的情况下，挠曲线的近似微分方程弯矩与载荷之间的关系对应于几种不同的载荷，是线性的；弯矩可以叠加，近似微分方程的解也可以叠加。计算弯矩时，使用变形前的位置§12.4用叠加法求弯曲变形一、叠加原理在小变形，是线性设弯矩

挠曲线分别满足各自的近似微分方程将两个微分方程叠加分别计算出每一载荷单独引起的变形，将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形——叠加原理。总的近似微分方程：证明设弯矩挠曲线分别满足各自的近似微分方程将两个微分方程叠加分

二、叠加原理的限制条件叠加原理仅适用于线性函数，要求挠度、转角是载荷的线性函数。(1)、弯矩与载荷成线性关系;梁发生小变形，忽略各载荷引起梁的水平位移；梁处于线弹性范围内，满足虎克定律；

(2)、曲率与弯矩成线性关系;(3)、挠曲线二阶导数与成线性关系;即梁处于小变形条件下;二、叠加原理的限制条件叠加原理仅适用于线性函数，要求挠度几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，三、叠加原理的特征等于每种载荷单独作用下引起的同一截面挠度、转角的向量和。几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，三、叠加原理的特征等于例1

已知：q、l、EI，求：yC

,B

载荷叠加法（查表法）应用于多个载荷作用的情形例1已知：q、l、EI，求：yC,B载荷叠加法（查ωC

,B1、载荷分解qlql2qωC,B1、载荷分解qlql2qqlql2q2查表：单独载荷作用下qlql2q2查表：单独载荷作用下3、变形叠加3、变形叠加例2抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC

?L/2L/2qCBA例2抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC?L/2LqL/2L/2qCBAqqqL/2L/2qCBAqqqqqqww

第二类叠加法1将梁的挠曲线分成几段;逐段刚化法2首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移（挠度和转角）;3然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。第二类叠加法1将梁的挠曲线分成几段;逐段刚化法2首先分别例3

：用叠加法确定ωC?ABalFC1）考虑AB段变形引起的Ｃ截面的挠度(BC段看作刚体)外力向研究的ＡＢ段上简化ABalCFFaF：作用在支座上，不产生变形。Fa：使AB梁产生变形。例3：用叠加法确定ωC?ABalFC1）考虑AB段变形引ABalCFFaFa引起梁的变形形状为ＡＢ段上凸；ABalCFFaFa引起梁的变形形状为ＡＢ段上凸；2）考虑BC段变形引起C截面的挠度aABalFCAB段看作刚体FBCC截面的总挠度2）考虑BC段变形引起C截面的挠度aABalFCAB段看作刚讨论积分法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？讨论积分法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？多余约束凡是多余维持平衡所必须的约束多余反力与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数静不定度＝多余约束数4-3=1度静不定5-3

=

2度静不定12.5简单静不定梁多余约束凡是多余维持平衡所必须的约束多余反力与多余约选

Fby

为多余力－变形协调条件－物理方程－补充方程－平衡方程一度静不定例综合考虑三方面求梁的支反力选Fby为多余力－变形协调条件－物理方程－补充方程－平判断梁的静不定度用多余力

代替多余约束的作用，得受力与原静不定梁相同的静定梁－所谓相当系统计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程由补充方程确定多余力，由平衡方程求其余支反力相当系统通过相当系统计算内力、位移与应力等

求解依据－综合考虑三方面求解关键－确定多余支反力分析方法与步骤相当系统判断梁的静不定度用多余力代替多余约束的作用，得受例求支反力解：1.

问题分析水平反力忽略不计，2多余未知力2.

解静不定例求支反力解：1.问题分析水平反力忽略不计，2多余未弯曲变形的刚度条件：[ω]——许用挠度，[]——许用转角工程中，[ω]常用梁的计算跨度l的若干分之一表示。对于桥式起重机梁：对于一般用途的轴：在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：12.6梁的刚度校核弯曲变形的刚度条件：[ω]——许用挠度，[]——许用转角工1、求自由端的挠度与转角PqL1、求自由端的挠度与转角PqLP2P1qLL2、求自由端的挠度与转角P2P1qLL2、求自由端的挠度与转角3、求简支梁中点的挠度qL/2C3、求简支梁中点的挠度qL/2C4、图示中悬臂梁，二段为同种材料制成。材料的弹性模量为E，求自由端C端的挠度。PI1L1I2L2ABC4、图示中悬臂梁，二段为同种材料制成。材料的弹性模量为E，求§12.7

提高梁强度和刚度的措施一、改善结构、减少弯矩１、合理安排支座；２、合理安排受力；３、集中力分散；４、

ω一般与跨度有关，５、增加约束：成正比，与故可减小跨度；§12.7提高梁强度和刚度的措施一、改善结构、减少弯矩１、尾顶针、跟刀架或加装中间支架；较长的传动轴采用三支撑；桥梁增加桥墩。增加约束：采用超静定结构尾顶针、跟刀架或加装中间支架；较长的传动轴采用三支撑；桥梁增采用超静定结构采用超静定结构改变支座形式FF改变支座形式FF改变载荷类型q=F/LF改变载荷类型q=F/LF二、选择合理的截面形状A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，工字形、槽钢等；起重机大梁常采工字形或箱形截面；二、选择合理的截面形状A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，起重机大梁常采工字形或箱形截面；起重机大梁常采工字形或箱形截面；四、不宜采用高强度钢;三、加强肋盒盖、集装箱；各种钢材Ｅ大致相同。四、不宜采用高强度钢;三、加强肋盒盖、集装箱；各种钢材1、y’’=M(x)/EI在

条件下成立？