202022学年人教A版选修 空间向量的数乘运算作业1

双基限时练(十七)1．满足下列条件，能说明空间不重合的三点A，B，C共线的是()\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→)) \o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→)) D．|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(BC,\s\up16(→))|答案C2．下列命题中正确的是()A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb解析当b＝0时，a与c不一定共线，所以A错．由共面向量的定义知，B错．当a与b是非零向量时，D正确，但命题中没有非零向量这个条件，所以D错．答案C3．下列条件中使点M与点A，B，C一定共面的是()\o(OM,\s\up16(→))＝2eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))\o(OM,\s\up16(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up16(→))\o(MA,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(MC,\s\up16(→))＝0\o(OM,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝0答案C4．下列结论中，正确的个数是()①若a，b，c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc②若a，b，c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc③若a，b，c共面，b，c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc④若a＝xb＋yc，则a，b，c共面A．0 B．1C．2 D．3解析②③④正确，①错误．答案D5．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up16(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up16(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up16(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D解析∵eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(CA,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝(7a－2b)＋(a＋2b)＋(－5a＋6＝3a＋6＝3eq\o(AB,\s\up16(→))∴A，B，D三点共线．答案A6．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E为矩形ABCD的对角线的交点，则eq\o(A1E,\s\up16(→))＝eq\o(A1A,\s\up16(→))＋xeq\o(A1B1,\s\up16(→))＋yeq\o(A1D1,\s\up16(→))中的x，y值应为x＝__________，y＝__________.解析eq\o(A1E,\s\up16(→))＝eq\o(A1A,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CE,\s\up16(→))＝eq\o(A1A,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up16(→))＝eq\o(A1A,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→)))＝eq\o(A1A,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(A1A,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(A1A,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1B1,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A1D1,\s\up16(→)).∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)eq\f(1,2)7．向量a与b不共线，存在唯一一对非零实数m，n，使c＝ma＋nb，则a，b，c__________共面向量．(填“是”或“不是”)答案是8．已知O是空间任一点，A，B，C，D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且eq\o(OA,\s\up16(→))＝2x·eq\o(BO,\s\up16(→))＋3y·eq\o(CO,\s\up16(→))＋4z·eq\o(DO,\s\up16(→))，则2x＋3y＋4z＝__________.解析eq\o(OA,\s\up16(→))＝2x·eq\o(BO,\s\up16(→))＋3y·eq\o(CO,\s\up16(→))＋4z·eq\o(DO,\s\up16(→))＝－2x·eq\o(OB,\s\up16(→))－3y·eq\o(OC,\s\up16(→))－4z·eq\o(OD,\s\up16(→))由四点共面的充要条件知－2x－3y－4z＝1，即2x＋3y＋4z＝－1.答案－19．已知A，B，C，D四点共面，求证：对于空间任一点O，存在不全为零的实数k1，k2，k3，k4，使k1eq\o(OA,\s\up16(→))＋k2eq\o(OB,\s\up16(→))＋k3eq\o(OC,\s\up16(→))＋k4eq\o(OD,\s\up16(→))＝0.证明由A，B，C，D四点共面，知eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))，eq\o(AD,\s\up16(→))共面，由平面向量基本定理知，存在实数对(x，y)，使eq\o(AB,\s\up16(→))＝xeq\o(AC,\s\up16(→))＋yeq\o(AD,\s\up16(→))，即eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝x(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋y(eq\o(OD,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))．∴(1－x－y)eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＋xeq\o(OC,\s\up16(→))＋yeq\o(OD,\s\up16(→))＝0，令k1＝1－x－y，k2＝－1，k3＝x，k4＝y，即得k1eq\o(OA,\s\up16(→))＋k2eq\o(OB,\s\up16(→))＋k3eq\o(OC,\s\up16(→))＋k4eq\o(OD,\s\up16(→))＝0.10．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up16(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，试求实数k的值．解∵eq\o(BD,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(CD,\s\up16(→))－eq\o(CB,\s\up16(→))＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2.eq\o(AB,\s\up16(→))＝2e1＋ke2，又A，B，D三点共线，由共线向量定理得eq\f(1,2)＝eq\f(－4,k)，∴k＝－8.11．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外一点O，有eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up16(→)).求证：P，A，B，C四点共面．证明∵eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up16(→))，∴eq\o(OP,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)－\f(2,5)))eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,5)(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋eq\f(2,5)(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up16(→))，∴eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up16(→)).∴eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up16(→)).∴向量eq\o(AP,\s\up16(→))，eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))共面，而线AP，AB，AC有公共点，∴P，A，B，C四点共面．12．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外一点O，当eq\o(OP,\s\up16(→))＝2eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))时，点P是否与A，B，C共面．解假设P与A，B，C共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使eq\o(AP,\s\up16(→))＝xeq\o(AB,\s\up16(→))＋yeq\o(AC,\s\up16(→))，于是对平面ABC外一点O，有eq\o(OP,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝x(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋y(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))，∴eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－x－y)eq\o(OA,\s\up16(→))＋xeq\o(OB,\s\up16(→))＋yeq\o(OC,\s\up16(→)).又eq\o(OP,\s\up16(→))＝2eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x－y＝2，,x＝－1，,y＝－1.))此方程组无解，这样的x，y不存在，故点P与A，B，C不共面．13.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC证明eq\o(B1C,\s\up16(→))＝eq\o(B1O,\s\up16(→))＋eq\o(OC1,\s\up16(→))＋eq\o(C1C,\s\up16(→))＝eq\o(B1O,\s\up16(→))＋eq\o(OC1,\s\up16(→))＋eq\o(D1D,\s\up16(→))＝eq\o(B1O,\s\up16(→