初高中数学衔接资料整理教材课件

初高中数学衔接教材现有初高中数学知识存在以下“脱节”立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。初高中数学衔接教材1目录数与式的运算绝对值乘法公式二次根式1.1.４

分式1．2 分解因式一元二次方程根的判别式2.1.22．22.2.12.2.2根与系数的关系（韦达定理）二次函数二次函数

y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用方程与不等式二元二次方程组解法一元二次不等式解法3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理3.1.2

相似形三角形三角形的“四心”几种特殊的三角形圆3.3.1

直线与圆，圆与圆的位置关系１目录数与式的运算2.1.2根与系数的关系（韦达定理）二次函23.3.2

点的轨迹1.1

数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a

0,a,|a

|

0, a

0,a,a

0.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：

a

b

表示在数轴上，数a

和数b

之间的距离．例

1解不等式：

x

1

x

3

＞4．解法一：由x

1

0

，得x

1；由x

3

0

，得x

3

；①若x

1，不等式可变为(x

1)

(x

3)

4

，即2x

4

＞4，解得

x＜0，又

x＜1，∴x＜0；②若1

x

2

，不等式可变为(x

1)

(x

3)

4

，即

1＞4，∴不存在满足条件的

x；③若x

3

，不等式可变为(x

1)

(x

3)

4

，即2x

4

＞4，解得

x＞4．又

x≥3，\点

B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式‘由|AB|＝2，可知点

P

在点

C(坐标为

0)的左侧、或点

P在点

D(坐标为

4)的右侧．x＜0，或

x＞4．练 习1．填空：（1）若

x

5

，则

x=

；若

x

4

，则

x=

.（2）如果

a

b

5

，且a

1，则

b＝

；若1

c

2

，则

c＝

.２3.3.2点的轨迹1.1数与式的运算绝对值的代数意义：正3３2．选择题：下 列 叙的是（）（A）若

a

b

，则a

b（C）若a

b

，则

a

b述 正 确（B）若

a

b

，则a

b（D）若

a

b

，则a

b3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．1.1.2.

乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：平方差公式完全平方公式(a

b)(a

b)

a

2

b

2

；(a

b)2

a2

2ab

b2．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：立方和公式立方差公式三数和平方公式两数和立方公式两数差立方公式(a

b)(a2

ab

b2

)

a3

b3

；(a

b)(a2

ab

b2

)

a3

b3

；(a

b

c)2

a2

b2

c2

2(ab

bc

ac)

；(a

b)3

a3

3a2b

3ab2

b3

；(a

b)3

a3

3a2b

3ab2

b3

．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例

1 计算：(x

1)(x

1)(x

2

x

1)(x

2

x

1)

．解法一：原式=(x2

1)

(x2

1)2

x2

=(x2

1)(x4

x2

1)=

x61．解法二：原式=(x

1)(x2

x

1)(x

1)(x2

x

1)=(x3

1)(x3

1)=

x61．例

2 已知a

b

c

4

，

ab

bc

ac

4

，求a2

b2

c2

的值．解：

a2

b2

c2

(a

b

c)2

2(ab

bc

ac)

8

．练 习1．填空：2 21 1 1（1） a

b

(b

1a)

（）；9 4（2）(4m

2 3)2

16m2

4m

()

；)

．（3）(a

2b

c)2

a

2

4b2

c2

(2．选择题：是

一

个

完

全

平

方

式

，则 k 等

于（（1

）

若 x2

1mx

k2）（A）

m2（B）

1m24（C）

1m23（D）1

m216３2．选择题：的是（）述 正 确3．化简：|x－5|－|2x4４a2

b2

2a

4b

8a ， b 为 何 实 数 ， 的 值（（ 2 ） 不 论）（A）总是正数（C）可以是零（B）总是负数（D）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如

a

(a

0)

的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.

例如

3a

a2

b

2b

，

a2

b2

等是无理式，而2x2

2

x

1

，

x2

2xy

y2

，

a2

等是有理式．21．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如

2

与2，3a与a，3

与

x

，

a

x

b

y

与a6

与

3

6

，2

3

3

2

与2

3

3

2

，等等． 一般地，a

xx

b

y

，

a

x

b

与a

x

b

互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

a

b

ab

(a

0,b

0)

；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式

a2

的意义a

0,a2

a

a,a,a

0.例

1

将下列式子化为最简二次根式：（3）4x6y(x

0)

．（2）a2b(a

0)

；3b

；b

ab(a

0)

；（1）12b；解：

（1）

12b

2（2）a2b

a（3）4x6y

2

x3y

2x3 y

(x

0)．例

2 计算：

3

(3

3)

．解法一：3(3

3)

＝ 33

3＝４a2b22a4b8a ， b 为 5１3

(3

3)(3

3)(3

3)＝

33

39

3＝63(3

1)＝31

．解法二： 3(3

3)＝233

3＝33(3

1)＝13

1＝3

1(31)(

3

1)＝231

．例

3 试比较下列各组数的大小：（1）

12

11

和

11

10

； （2）26

4和2

2－

6.解：（1）∵

12

1112

11

(12

11)(12

11)

112

11，111

10

111

10

(11

12

1110)(11

10)

111

1011

10，又12

11

11

10

，∴12

11＜11

10

．,（2）∵22－6

22－6

(22－6)(22+

6)

21 22+

622+

6又4＞2

2，∴6＋4＞6＋2

2，∴26

4＜22－

6.例

4 化简：(

3

2)2004

(3

2)2005．解：(

3

＝(3

2)2004

(2)2004

(3

3

2)20052)2004

(＝

(320042)

(3

2)3

2)＝12004

(2)(3

3

2)＝

3

2

．例

5 化简：（1）

9

4

5

；x2（2） x2

1

2(0

x

1)

．解：（1）原式

5

45

4

(5)2

22

5

22

(2

5)2

2

5

5

2

．（2）原式=

(x

1)2

x

1

，x x∵

0

x

1，１3(33)(33)(33)＝36１∴

1

1

x

，x3

3

2,y

3

2所以，原式＝

1

x

．x2

，求3x2

5xy

3y2

的值

．例

6 已知x

解： ∵

x

y3

23

2

3

3

2

3

22

(

3

2)2

(

3

2)2

10

，xy

3

2

3

3

2

3

22

1

，∴

3x2

5xy

3y2

3(x

y)211xy

310211

289．练 习1．填空：（1）

11

33

＝；（2）若

(5

x)(

x

3)2

(

x

3)

5

x

，则x

的取值范围是_

_ ；（3）424

654

396

2

150

；（4）若x

5

，则2x

1

x

1

x

1

x1

x

1

x

1 x

1

x

1．2．选择题：等

式xxx

2 x

2成立的条件是（）（A）

x

2（C）

x

2（D）

0

x

23．若b

a21

1

a2a

1

（B）

x

0，求a

b

的值．4．比较大小：2－

3

5－

4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式B1．分式的意义形如

A

的式子，若

B中含有字母，且B

0

，则称

A为分式．当

M≠0

时，分B式

A

具有下列性质：BA

A

M

；B B

MA

A

M

．B B

M１∴11x，332,y37上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式ac

d2mn

p像

b

，

m

n

p

这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例

1B若

5x

4

A

x(x

2) x x

2，求常数

A,

B

的值．解：

∵

A

B

A(x

2)

Bx

(A

B)x

2A

5x

4x x

2 x(x

2) x(x

2) x(x

2)，∴

A

B

5,2

A

4,解得 A

2,

B

3

．例

2 （1）试证：1 1n(n

1) n n

1

1

（其中

n是正整数）；1 11（2）计算：

1

2 2

3 9

10；（3）证明：对任意大于

1

的正整数n，

有1 112

3 3

4n(n

1)

2

1

．（1）证明：∵

1

1

(n1)

n

1n n

1 n(n

1) n(n

1)，∴1 1

1

n(n

1) n n

1（其中

n是正整数）成立．（2）解：由（1）可知1 111

2 2

39

10

(1

1)

(

1

1)

(1

1

)10 102 2 3 9 10

1

1＝9

．（3）证明：∵1 1 12

3 3

4 n(

n

1)

12 3 3 4 n n

1＝(

1

1)

(1

1

)

(

1

)1＝

12 n

1，又

n≥2，且

n是正整数，

1 ∴ 一定为正数，n＋1∴1 1 12

3 3

4 n(

n

1)

1＜ ．2例

3 设e

c

，且

e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求

e的值．a１上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式cd2mn8２解：在

2c2－5ac＋2a2＝0

两边同除以

a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，1∴e＝ ＜1，舍去；或

e＝2．2∴e＝2．练 习1．填空题：对任意的正整数

n，1n(n

2)1(

1n n

2)；2．选择题：若2x

y

2x

y

3，则xy＝（）（A）１（B）

54（C）

45（D）

65x

y3．正数x,

y

满足x2

y2

2xy

，求

x

y

的值．1 1 1 14．计算

...1

2 2

3 3

4 99

100．习题

1．1

A 组1．解不等式：(2) x

3

x

2

7

；(1) x

1

3

；(3) x1

x1

6

．２．已知x

y

1，求x3

y3

3xy

的值．3．填空：（1）(2

3)18(2

3)19

＝

；（2）若

(1

a)2

(1

a)2

2

，则a

的取值范围是

；（3）1 1 1 1 1

1

2 2

3 3

4

4

5

5

6．B 组1．填空：112 3（1）

a

，

b

，则3a2

ab3a2

5ab

2b2

；（2）若x2

xy

2y2

0

，则x2

3xy

y2x2

y2

；２解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得9３2．已知：

x

1

,

y

1

，求2 3yy的值．x

y x

yC 组1．选择题：（ 1）若a

b

2

ab

b

a，则（（C）

a

b

0（）（A）

a

b2）（B）

a

b计算a

1a（D）

b

a

0等于（）（A）

a（B）

a（C）

a（D）

a2．解方程2(x2

1

)

3(x

1)

1

0

．1x21 113．计算：

1

3 2

4 3

5 9

11x

．4．试证：对任意的正整数

n，有1 111

2

3 2

3

4n(

n

1)(

n

2)1＜ ．41.1.1．绝对值1．（1）

5

；

4（2）

4

；

1或3

2．D3．3x－181.1.2．乘法公式（3）

4ab

2ac

4bc1．（1）

1

a

1

b3 22．（1）D（2）

1

,

12

4（2）A1.1.3．二次根式（2）

3

x

5 （3）

86（4）5

．1．（1）3

22．C3．14．＞1.1.4．分式1．122．B3． 2

14．

99100习题

1．1A

组1．（1）

x

2

或x

4 （2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或

x＞32．13．（1）

2

3（2）1

a

1（3）6

1B

组521．（1）

3 （2） ，或－7152．4．３2．已知：x1,y1，求yy的值．x101．（1）C （2）C1 222．x

1,x

24．提示：1 1C

组3．

36551]

1

[ n(n1)(n

2) 2

n(n

1) (n

1)(n

2)1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例

1 分解因式：（1）x2－3x＋2；（2）x2＋4x－12；（3）

x2

(a

b)xy

aby2

； （4）

xy

1

x

y

．解：（1）如图

1．2－1，将二次项

x2

分解成图中的两个

x的积，再将常数项2

分解成－1

与－2

的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x－3x＋2

2

中的一次项，所以，有x－3x＋2

2＝(x－1)(x－2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图

1．2－1

中的两个

x用

1

来表示（如图

1．2－2

所示）．４－1－2xx图

1．2－1－1－211图

1．2－2－2611图

1．2－3－ay－byxx图

1．2－41．（1）C （2）C1 222．x1,x11（2）由图

1．2－3，得x＋4x－2

12＝(x－2)(x＋6)．（3）由图

1．2－4，得x2

(a

b)xy

aby2

＝(x

ay)(x

by)（4）

xy

1

x

y

＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)

(y+1)

（如图

1．2－5

所示）．提取公因式法与分组分解法例

2 分解因式：（1）

x3

9

3x2

3x

； （2）

2x2

xy

y2

4x

5

y

6

．解：

（1）

x3

9

3x2

3x

=(x3

3x2

)

(3x

9)

=

x2

(x

3)

3(x

3)=(x

3)(x2

3)

．或x3

9

3x2

3x

＝(x3

3x2

3x

1)

8＝(x

1)3

8

＝(x

1)3

23＝[(x

1)

2][(x

1)

2

(x

1)

2

22]＝(x

3)(x2

3)．（2）

2x2

xy

y2

4x

5

y

6

=

2x2

(

y

4)x

y2

5

y

6=

2x2

(

y

4)x

(

y

2)(

y

3)

=(2x

y

2)(x

y

3)

．或2x2

xy

y2

4x

5

y

6

=(2x2

xy

y2

)

(4x

5

y)

6=(2x

y)(x

y)

(4x

5

y)

6=(2x

y

2)(x

y

3)

．关于

x的二次三项式

ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．1 2若关于

x的方程

ax2

bx

c

0(a

0)

的两个实数根是

x

、

x

，则二次三项式ax2

bx

c(a

0)

就可分解为a(x

x

)(x

x

)

.1 2例

3 把下列关于

x的二次多项式分解因式：（1）

x2

2x

1； （2）

x2

4xy

4

y2

．解：

（1）令x2

2x

1=0，则解得x

1

2，x

1

2

，1 2∴

x2

2x

1=

x

(1

2)

x

(1

2)

=(x1

2)(x

1

2)

．５－11xy图

1．2－5（2）由图1．2－3，得x2(ab)xy12（2）令x2

4xy

4

y2

=0，则解得x

(2

2

2)

y

，

x

(2

2

2)

y

，1 1∴

x2

4xy

4

y2

=[x

2(1

2)

y][x

2(1

2)y]

．练 习1．选择题：（）（C）

x

3y（D）

x

5y多项式2x2

xy

15

y2

的一个因式为（A）

2x

5

y （B）

x

3y2．分解因式：（1）x2＋6x＋8；（2）8a3－b3；（3）x2－2x－1；（4）

4(x

y

1)

y(

y

2x)

．习题

1．21．分解因式：（1）a3

1；（2）

4x413x2

9；（3）

b2

c2

2ab

2ac

2bc

；（4）

3x2

5xy

2

y2

x

9

y

4

．2．在实数范围内因式分解：（1）

x2

5x

3；（2）

x2

22x

3；（3）

3x2

4xy

y2

； （4）(x2

2x)2

7(x2

2x)

12

．3．

ABC

三边a

，

b

，

c

满足a2

b2

c2

ab

bc

ca

，试判定ABC

的形状．4．分解因式：x＋x－2

(a－a)．21.2

分解因式1．B2．（1）(x＋2)(x＋4)（3）(x1

2)(x

11．（1）

a

1a2

a

1（3）

b

c

b

c

2a

（2）(2a

b)(4a2

2ab

b2

)2) （4）(2

y)(2x

y

2)

．习题

1．2（2）

2x

32x

3x

1x

1（4）

3y

y

4x

2

y

1６（2）令x24xy4y2=0，则解得x132 2

2．（1）

x

5

13

x

5

13

；（2）

x

2

5

x

2

5

；3 3

（3）

3

x

2

7

y

x

2

7

y

；（4）

x

3(x

1)(x

1

5)(x

1

5)

．3．等边三角形4．(x

a

1)(x

a)2.1 一元二次方程2.1.1

根的判别式我们知道，对于一元二次方程

ax＋bx＋c＝0（a≠02

），用配方法可以将其变形为2a 4a

2(x

b

)2

b

4ac

．2①因为

a≠0，所以，4a2＞0．于是（1）当

b2－4ac＞0

时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不

相等的实数根x1，22a＝b

b2

4ac；（2）当

b2－4ac＝0

时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根1 22ax＝x＝－b

；（3）当

b2－4ac＜0

时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边(x

b

)22a一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由

b2－4ac来判定，我们把

b2－4ac叫做一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程

ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有（1）当Δ＞0

时，方程有两个不相等的实数根x1，22a＝b

b2

4ac；（2）当Δ＝0

时，方程有两个相等的实数根1 22ax＝x＝－b

；（3）当Δ＜0

时，方程没有实数根．例

1 判定下列关于

x的方程的根的情况（其中

a为常数），如果方程有实７2 2 2．（1）x514数根，写出方程的实数根．（1）x2－3x＋3＝0；（3）

x2－ax＋(a－1)＝0；（2）x2－ax－1＝0；（4）x2－2x＋a＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根x1

2 2a

a2

4 a

a2

4， x2

．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，所以，①当

a＝2

时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1；②当

a≠2

时，Δ＞0，

所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，所以①当Δ＞0，即

4(1－a)

＞0，即

a＜1

时，方程有两个不相等的实数根x1

11

a

， x2

11

a

；②当Δ＝0，即

a＝1

时，方程有两个相等的实数根x＝x＝1；21③当Δ＜0，即

a＞1

时，方程没有实数根．说明：在第

3，4

小题中，方程的根的判别式的符号随着

a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对

a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax＋bx＋c＝02

（a≠0）有两个实数根．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：21 2 1 2ba如果

ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是

x，x，那么

x＋x＝

，x·x1 2a＝

c

．这一关系也被称为韦达定理．21 2＋px＋q＝0，若

x，x

是其特别地，对于二次项系数为

1

的一元二次方程

x两根，由韦达定理可知８数根，写出方程的实数根．（2）x2－ax－1＝0；解：（1）15即x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，1 2所以，方程

x＋px＋q＝0

可化为

x－(x＋x)程

x2 2 2＋px＋q＝0

的两根，出

k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出

k的值．解法一：∵2

是方程的一个根，∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7．21 235所以，方程就为

5x－7x－6＝0，解得

x＝2，x＝－

．1 2 1 2所以，方程的另的平方和比两个根的积大

21

得到关于

m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设

x1，x2

是方程的两根，由韦达定理，得2x＋x＝－2(m－2)，x·x＝m＋4．12 22 1 2∵x

＋x

－x·x＝21，21 2 1 2∴(x＋x)－3

x·x＝21，即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，化简，得

m2－16m－17＝0，解得 m＝－1，或

m＝17．当

m＝－1

时，方程为

x＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；2当

m＝17

时，方程为

x＋32

0x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．综上，m＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的

m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大

21”求出

m的值，取满足条件的

m的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元大方向个数分别为

x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是

x，y，则 x＋y＝4，xy＝－12．①②由①，得 y＝4－x，代入②，得x(4－x)＝－12，即 x2－4x－12＝0，９即x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，p＝－(x1＋x2)16１０

y

6,∴x1＝－2，x2＝6．∴

x1

2, 或x2

6,

y

2.

1

21 2因此，这两个数是－2

和

6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．解这个方程，得x1＝－2，x2＝6．所以，这两个数是－2

和

6．说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．2例

5 若

x

和

x

分别是一元二次方程

2x＋5x－3＝0

的两根．1 2（1）求|

x1－x2|的值；（2）求

1x

2 x

2

1的值；1 23 3（3）x

＋x

．12解：∵x

和

x

分别是一元二次方程

2x2＋5x－3＝0

的两根，∴1 22x

x

5，1

22xx

3）2 2 21 2 1 2 1

23

2294x

2 x

2(

5)2

2

(

3)25

31

1

x1

x2

(x1

x2)

2x1x2

2 2

4x2

x

2 (xx

)2(

)

37

．93 32 2 21 2 1 2 1 1

2 2 1 2 1 2 1

2（3）x

＋x

＝(x＋x)(

x

－xx＋x

)＝(x＋x)[

(

x＋x)

－3xx]2 2 2 8＝(－

5

)×[(－

5

)2－3×(

3

)]＝－

215

．1 2说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：2设

x

和

x

分别是一元二次方程

ax＋bx＋c＝0（a≠0），则22a，x

b

b

4ac

，21 2∴|x－x|＝

bb2

4ac

b

b2

4ac

2b2

4ac2a 2a 2ab2

4ac

．|

a

| |a

|于是有下面的结论：1 2若

x

和

x

分别是一元二次方程

ax21 2|a

|＋bx＋c＝0（a≠0），则|

x－x|＝ （其中Δ＝b2－4ac）．１０y6,∴x1＝－2，x2＝6．y2.17１１今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例

6 若关于

x的一元二次方程

x2－x＋a－4＝0

的一根大于零、另一根小于零，求实数

a的取值范围．解：设

x1，x2

是方程的两根，则①②x1x2＝a－4＜0，且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．由①得 a＜4，由②得 a＜417

．∴a的取值范围是

a＜4．练 习1．选择题：（1）方程x2

2

3kx

3k

2

0

的习题

2.1A 组选择题:已知关于

x的方程

x＋kx－2＝02

的一个根是

1，则它的另一个根是（

）（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2下列四个说法：①方程

x2＋2x－7＝0

的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程

x2－2x＋7＝0

的两根之和为－2，两根之积为

7；③方程

3

x2－7＝0

的两根之和为

0，两根之积为

7

；3④方程

3

x2＋2x＝0

的两根之和为－2，两根之积为

0．其中正确说法的个数是（A）1

个 （B）2

个 （C）3

个（ ）（D）4

个（3）关于

x的一元二次方程

ax2－5x＋a2＋a＝0

的一个根是

0，则

a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－12．填空:（1）方程

kx2＋4x－1＝0

的两根之和为－2，则

k＝

．（2）方程

2x2－x－4＝0

的两根为α，β，则α2＋β2＝

．（3）已知关于

x的方程

x2－ax－3a＝0

的一个根是－2，则它的另一个根是

．2121 2（4）方程

2x＋2x－1＝0

的两根为

x

和

x，则|

x－x|＝

．１１今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用18１２试判定当

m取何值时，关于

x的一元二次方程

m2x2－(2m＋1)

x＋1＝0

有两

个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程

x2－7x－1＝0

各根的相反数．B 组1．选择题:若关于

x的方程

x2

＋(k2

－1)

x＋k＋1＝0

的两根互为相反数，则

k的值为（）（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）02．填空:若

m，n是方程

x2＋2005x－1＝0

的两个实数根，则

m2n＋mn2－mn的值等

于

．如果

a，b是方程

x2＋x－1＝0

的两个实数根，那么代数式

a3＋a2b＋ab2＋b3

的值是

．3．已知关于

x的方程

x2－kx－2＝0．4．－1 提示：(x－3)1

(

x－32

)＝x1

x－32

(x＋x)＋921习题

2．12．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006．（2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)(

a2＋b2)＝(a＋b)[(

a＋b)

2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3．3．（1）∵Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根．（2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即

k＞－1．4．（1）|

x1－x2|＝|a

|b2

4ac x

x，

1 2

＝

21 23 3；（2）x

＋x

＝a3b 3abc

b32a．5．∵|

x1－x2|＝

16

4m

2

4

m

2

，∴m＝3．把

m＝3

代入方程，Δ＞0，满

足题意，∴m＝3．C

组1．（1）B（2）A１２试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－19１３（3）C 提整数的实数

k的整数值为－2，－3

和－5．1 2 1

28（3）当

k＝－2

时，x＋x＝1，① xx＝1，

②①2÷②，得

x1

x2

＋2＝8，即

1

6

，∴2

61

0

，x2 x1∴

3

22．4．（1）Δ＝

2(m

1)2

2

0

；24m12

12 1 2（2）∵xx＝－ ≤0，∴x≤0，x≥0，或

x≥0，x≤0．①若

x1≤0，x2≥0，则

x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此1 2时，方程为

x2－2x－4＝0，∴

x

1

5

，

x

1

5

．②若

x1≥0，x2≤0，则－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2，212∴m＝0．此时，方程为

x＋2＝0，∴x＝0，x＝－2．5．设方程的两根为

x1，x2，则

x1＋x2＝－1，x1x2＝a，

由一根大于

1、另一根小于

1，得(x1－1)(

x2－1)2.2.1

二次函数

y＝ax＋bx＋c的图像和性2

质问题

1 函数

y＝ax2

与

y＝x2

的图象之间存在怎样的关？为了研究这一问题，我们可以先画出

y＝2x，y＝2

1

x，y＝－2x22

的图象，通2过这些函数图象与函数

y＝x2

的图象之间的关系，推导出函数

y＝ax2

与

y＝x2

的图象之间所存在的关系．先画出函数

y＝x，y＝2x22

的图象．先列表：x…－3－2－10123…x2…9410149…2x2…188202818从表中不难看出，要得到

2x2

的值，只要把相应的

x2

的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数

y＝x2，y＝2x2

的图象（如图

2－1

所示），从图

2－1

我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数

y＝2x2

的图象可以由函数

y＝x2

的图象各点的纵坐标

变为原来的两倍得到．同学们也可以象之间的关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数

y＝ax2(a≠0)的图象可以由

y＝x2

的图象各点的纵坐标变为原来的

a倍得到．在二次函数

y＝ax2(a≠0)中，二次项系数

a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．y＝x2y＝2x2图

2.2-1xOy１３（3）C 提整数的实数k的整数值为－2，－3和－5．20问题

2 函数

y＝a(x＋h)2＋k与

y＝ax2

的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系