空间向量测试题

空间向量练习1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是A.B.C.D.2．若直线的一个方向向量，平面α的一个法向量为，则（）A.αB.//αC.αD.A、C都有可能3．以下四组向量中，互相平行的有（）组．（），．（），．（），．（），．A.一B.二C.三D.四4．若为平行四边形，且，，，则顶点的坐标为（）．A.B.C.D.5．如上图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量用基底，表示为()A.＋B.2－C.－2＋D.2＋6．已知A(4，6)，，有下列向量：①；②；③；④其中，与直线AB平行的向量()A.①②B.①③C.①②③D.①②③④7．已知三棱锥O-ABC，点M,N分别为AB,OC的中点，且OA=a,OB=b,OC=c，用A.12(bC.12(8．已知向量，使成立的x与使成立的x分别为（）A.B.-6C.-6,D.6,-9．若=(2，3)，=，且∥，则=（）A.6B.5C.7D.810．已知向量，以为邻边的平行四边形的面积（）A.B.C.4D.811．如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（）A.B.C.D.12．在空间直角坐标系中，点关于点的对称点是（）A.B.C.D.13．已知向量,且与互相垂直，则（）A.B.C.D.14．设一球的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A,B，其坐标分别为(1,2,2)，(2,−2,1)，则|AB|=()A.18B.12C.15．已知A(2,5,-6)，点P在y轴上，|PAA.(0,8,0)B.(0,2,0)C.(16．与向量＝（0，2，－4）共线的向量是（）A．（2，0，－4）B．（3，6，－12）C．（1，1，－2）D．17．若向量，，则A．B．C．D．18．若向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0·SKIPIF1<0等于A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<019．已知点与点，则的中点坐标为__________．20．在如图所示的长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．21．如图所示的长方体ABCD−A1B1C1D1中，|DA|=8，|DC|=6，|DD122．点在坐标平面xOz内的投影点坐标为______________；23．已知向量a=(1,1,0)，b=(−1,0,2)，且24．已知.25．若，，是平面内的三点，设平面的法向量，则．26．已知向量,,且，则的值为27．在空间坐标系中，已知三点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的单位法向量是．28．若向量，则_______________.29．如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为_________。30．如图建立空间直角坐标系，已知正方体的棱长为2.（1）求正方体各顶点的坐标；（2）求A131．（2023秋•河西区期末）已知．（1）若，求实数k的值（2）若，求实数k的值．32．P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，,求证垂直平面.33．长方体中，（1）求直线所成角；（2）求直线所成角的正弦.34．（本大题12分）如图，在棱长为ɑ的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是CB、CD、CC1的中点．（1）求直线C与平面ABCD所成角的正弦的值；（2）求证：平面AB1D1∥平面EFG；（3）求证：平面AA1C⊥面EFG．FFGEC1D1A1B1DCAB35．如图四棱锥中，，，是的中点，是底面正方形的中心，。（Ⅰ）求证：面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角。AABCDOES36．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=B1B=1，M、N分别是AD、DC的中点.（1）求证：MN//A1C1;（2）求：异面直线MN与BC1所成角的余弦值.37．（本小题满分13分）已知是边长为1的正方体，求：（Ⅰ）直线与平面所成角的正切值；（Ⅱ）二面角的大小．38．在边长是2的正方体-中，分别为的中点.应用空间向量方法求解下列问题.（1）求EF的长；（2）证明：平面；（3）证明:平面.参考答案1．A【解析】在空间直角坐标系中，两点关于平面对称，竖坐标互为相反数，点的坐标是点关于平面对称的点的坐标是，选A.2．A【解析】直线的一个方向向量，平面α的一个法向量为且，即.所以α.故选A.3．B【解析】若与平行，则存在实数使得经过验证，只有，,两组满足条件。故答案选4．A【解析】设，∵．，在平行四边形中，，∴①，又∵，，，∴②，联立①②，解出：，，．故选．5．C【解析】以向量的起点为原点，向量所在直线为x轴建立平面直角坐标系。设正方形的边长为1，则。设，则，∴，解得，所以。选C。点睛：由平面向量基本定理可知，在确定了平面的基底后，平面内的任一向量都可以用这组基底唯一表示，但并没有给出分解的方法。常用的方法有两种：（1）根据向量的线性运算，将已知向量向着基底转化；（2）先确定向量和基底的坐标，根据待定系数法建立方程组，通过代数方法求解。6．C【解析】由题意可得。由向量共线的条件可以判断向量与向量平行，即向量与直线AB平行。选C。7．D【解析】MN=8．A【解析】向量,若,则，解得.若，则，解得.故选A.9．C【解析】由∥，=(2，3)，=，得,解得.故选C.10．A【解析】由题意，，则，所以平行四边形的面积为，故选A.11．B【解析】由题意，以为基底建立空间向量，则，故选B.12．A【解析】设所求点为，则，解得，故选A.13．B【解析】根据题意，，因为，所以，则，即，故选14．C【解析】∵A，B两点的坐标分别是A(1,2,2),B15．C【解析】依题意设P(0,b,0)，根据|PA|=22+(b-5)216．D【解析】试题分析：，所以向量与共线考点：向量共线17．D【解析】试题分析：因为向量，，所以，排除B；，所以，应选D．，A错，如果则存在实数使，显然不成立，所以答案为D．考点：向量的有关运算．18．B【解析】试题分析：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以所以考点：本小题注意考查向量的坐标运算.点评：向量的坐标运算是高考经常考查的内容，难度一般较低，灵活运用公式计算即可.19．【解析】中点为．20．(a，b，c)【解析】∵在如图所示的长方体中，已知∴可以得知，又∵长方体，∴可以得知的坐标为故答案为．21．(4,3,3)34【解析】由图可知：D1M为D1B1由两点间距离公式有：DM=故答案为：4,3,3,.22．【解析】设所求的点为Q（x，y，z），P、Q两点的横坐标和竖坐标相等，而纵坐标为0，即x=2，y=0，z=3，得Q坐标为（）23．7【解析】由已知，据向量坐标的线性运算可得ka+b=(k−1,k,2)，2a-b=24．【解析】试题分析：有已知可得考点：向量的数量积运算25．2：3：（-4）【解析】试题分析：由得因为为平面的法向量，则有，即由向量的数量积的运算法则有解得所以故正确答案为考点：空间向量的法向量．26．5【解析】试题分析：由题可知：，且，有，即m=5．考点：空间向量垂直的充要条件27．.【解析】试题分析：三点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），所以=（-1，1，0）,=（-1，0，1）,令平面ABC的法向量为=（x，y，z），可得，即，∴x=y=z∵平面ABC的法向量为=（x，y，z）为单位法向量，，解得x=y=z=,故平面ABC的单位法向量是.考点：平面的法向量．28．4【解析】试题分析：因为，所以==4.考点：本题主要考查空间向量的坐标运算。点评：简单题，利用空间向量的坐标运算公式，计算要细心。29．【解析】∵在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm，故答案为30．（1）详见解析；（2）23【解析】试题分析：（1）根据空间坐标系的定义，易得各点的坐标；（2）要求空间中两点的距离，可直接利用空间两点的距离公式d=(试题解析：（1）正方体各顶点的坐标如下：A1（2）解法一：|A解法二：∵|A在Rt△AA1∴|AC31．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）根据空间向量的坐标运算以及向量的共线定理，列出方程求出k的值；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出k的值．解：（1）∵，∴；又，∴，解得；（2）∵且，∴，即7（k﹣2）﹣4（5k+3）﹣16（5﹣k）=0，解得．考点：空间向量的数量积运算．32．【解析】证明：垂直于,即垂直于.垂直于,即垂直于.垂直平面.33．（1）直线所成角为90°；（2）。【解析】试题分析：以D为原点建系1分（1）3分直线所成角为90°5分（2）7分9分所求角的正弦值为10分考点：立体几何中的角的计算，空间向量的应用。点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。注意运用转化与化归思想，将空间问题转化成平面问题。34．（1）；（2）见解析；（3）见解析。【解析】试题分析：(1)因为平面ABCD,所以为与平面ABCD所成角,然后解三角形求出此角即可.（2）证明面面平行根据判定定理只须证明平面平面AB1D1内两条相交直线和分别平行于平面EFG即可.在证明线面平行时又转化为证明线线平行.(3)易证：BD平面AA1C，再证明EF//BD，因而可证出平面AA1C⊥面EFG.（1）∵平面ABCD=C，在正方体ABCD-A1B1C1D1平面ABCD∴AC为在平面ABCD的射影∴为与平面ABCD所成角……….2分正方体的棱长为∴AC=，=………..4分（2）在正方体ABCD-A1B1C1D1连接BD，∥，=为平行四边形∴∥∵E，F分别为BC，CD的中点∴EF∥BD∴EF∥…………3分∵EF平面GEF，平面GEF∴∥平面GEF…………7分同理∥平面GEF∵=∴平面AB1D1∥平面EFG……………9分（3）在正方体ABCD-A1B1C1D1∴平面ABCD∵EF平面ABCD∴EF…………10分∵ABCD为正方形∴ACBD∵EF∥BD∴ACEF………..11分∴EF平面AA1C∵EF平面EFG∴平面AA1C⊥面EFG…………….12分.考点：斜线与平面所成的角，线面垂直，面面垂直，面面平行的判定.点评：斜线与平面所成的角就是斜线与它在这个平面内的射影所成的角，因而关键是找到它在这个平面内的射影.面面垂直（平行）证明要转化为证明线面垂直（平行）再转化为线线垂直（平行）.35．（Ⅰ）证明：；3分（Ⅱ）解：所以是与面所成角。3分在中，所以，又，所以EO与平面所成的角为。【解析】略2．（1）连结AC，M、N分别为AD、DC中点MN//AC且AC//A1C1，AC=A1C1MN//A1C1（2）连结A1B，由（1）知A1C1B为所求角A1B=A1C1=，BC1=由余弦定理得A1C1B==【解析】略37．（Ⅰ）；（Ⅱ）60°【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据其为正方体得到∠C1AB1就是AC1与平面AA1B1B所成的角；然后在RT△C1AB1中求其正切即可；（Ⅱ）先过B1作B1E⊥BC1于E，过E作EF⊥AC1于F，连接B1F；根据AB⊥平面B1C1CB推得B1