数学新教材解读及考点剖析专题06 三角不等式

全站免费，更多资源关注公众号拾穗者的杂货铺x思维方糖研究所专题06三角不等式------[新教材的新增内容]背景分析：在旧教材中对于复数的几何意义涉及不多．而新教材将复数的学习安排在了向量及三角函数之后，使复数的学习与向量及三角函数进行了融合，提升了复数的应用价值．1．复数加法与减法的几何意义z1，z2，z3∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应，且，不共线加法减法运算法则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)iz1－z2＝(a－c)＋(b－d)i几何意义复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应2．复数三角不等式若是复数，则．注：当为实数或向量时，结论也成立．推论1：推论2：如果是实数，那么，当且仅当时，等号成立．[新增内容的考查分析]1．运用三角不等式求最值(由三角不等式，借助其几何意义及性质，可消减变量从而求出最值．)【考法示例1】若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a+b|的最大值是，最小值是．5；1因为|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5．【考法示例2】函数的最小值及取得最小值时的值分别是（）A.1，B.3，0C.3，D.2，C利用三角不等式，求得函数的最小值，并求得对应的值．依题意，当且仅当，即时等号成立，故选C．2．应用三角不等式求参数（关键是能够运用三角不等式求得函数的最值，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题．）【考法示例3】如果关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是______．利用三角不等式可求得，根据不等式解集不为空集可得根式不等式，根据根式不等式的求法可求得结果．由三角不等式得：，即．原不等式解集不是空集，，即当时，不等式显然成立；当时，，解得：；综上所述：的取值范围为．【考法示例4】若存在(其中)使得不等式成立，则的取值范围是__________．先利用绝对值三角不等式求出的最大值为3，从而得，进而可求出的取值范围，当且仅当或时取等号，所以右式最大值为3，从而，解得．故的取值范围为，或者．[新增内容的针对训练]1.取等号的条件是A. B.C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：利用绝对值不等式（当且仅当时取等号）即可求得答案.详解：，当且仅当，即时取等号.故选：C.点睛：本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式取等号的条件，属于中档题.2.已知x∈R，y∈R，则|x|＜1，|y|＜1是|x＋y|＋|x－y|＜2的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件【答案】D【解析】【分析】根据绝对值三角不等式及充分条件和必要条件进行判断．【详解】若|x|＜1，|y|＜1，则当(x＋y)(x－y)≥0时，|x＋y|＋|x－y|＝|(x＋y)＋(x－y)|＝2|x|＜2；当(x＋y)(x－y)＜0时，|x＋y|＋|x－y|＝|(x＋y)＝－(x－y)|＝2|y|＜2.若|x＋y|＋|x－y|＜2，则2|x|＝|(x＋y)＋(x－y)|＜|x＋y|＋|x－y|＜2，即|x|＜1；2|y|＝|(x＋y)－(x－y)|＜|x＋y|＋|x－y|＜2，即|y|＜1.【点睛】本题考查绝对值不等式的性质的应用，属于基础题.3.关于的不等式的解集不为，则实数的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】关于x的不等式|x﹣m|+|x+2|＜4的解集不为∅⇔（|x﹣m|+|x+2|）min＜4，再根据绝对值不等式的性质求出最小值，解不等式可得．【详解】关于x的不等式|x﹣m|+|x+2|＜4的解集不为∅⇔（|x﹣m|+|x+2|）min＜4，∵|x﹣m|+|x+2|≥|（x﹣m）﹣（x+2）|＝|m+2|，∴|m+2|＜4，解得﹣6＜m＜2，故选D．【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.若关于x的不等式对于任意恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】或【解析】【分析】将绝对值不等式等价转化，利用绝对值三角不等式即可求得关于的不等式即可.【详解】．所以，解得或．故答案为：或.【点睛】本题考查绝对值不等式恒成立求参数范围的问题，涉及绝对值三角不等式的利用，属中档题.5.已知α，β是实数，给出三个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5；③|α|>，|β|>.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________.【答案】①③⇒②【解析】【分析】根据绝对值的性质判断或举反例说明．【详解】①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>4>5，若①②成立，如，但③不成立，若②③成立，如，但①不成立．故答案为：①③⇒②．6.若不等式对任意使式子有意义的实数恒成立,则实数的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】首先求得的最大值max，然后解不等式．【详解】．当且仅当时等号成立．∴的最大值为4．下面解不等式，∵，∴，∴不等式为不等式，即，∴或，解得或或，∴的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式的性质．首先不等式恒成立问题转化为求最值．其次解绝对值不等式时，绝对值性质等价于或中可以不讨论的正负，直接用来解不等式，即不等式直接转化为或，不需要按分类，大家可以从集合的分析．7.设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．8.已知和是任意非零实数．（）求的最小值．（）若不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）4；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）利用绝对值不等式的性质可得

,所以的最小值等于4；（2）由（1）转化为有x的范围即为不等式|2+x|+|2-x|≤