模电复习-第8章数字逻辑基础

数字信号与数字电路数字信号：在时间上和数值上不连续的（即离散的）信号。u模拟信号：在时间上和数值上连续的信号。ut模拟信号波形对模拟信号进行传输、处理的电子线路称为

模拟电路。t数字信号波形对数字信号进行传输、处理的电子线路称为

数字电路。（2）按所用器件制作工艺的不同：数字电路可分为双极型（TTL型）和单极型（MOS型）两类。（3）按照电路的结构和工作原理的不同：数字电路可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两类。组合逻辑电路没有功能，其输出信号只与当时的输入信号有关，而与电路以前的状态无关。时序逻辑电路具有功能，其输出信号不仅和当时的输入信号有关，而且与电路以前的状态有关。（1）按集成度分类：数字电路可分为小规模（SSI，每片数十器件）、中规模（MSI，每片数百器件）、大规模（LSI，每片数千器件）和超大规模（VLSI，每片器件数目大于1万）数字集成电路。集成电路从应用的角度又可分为通用型和型两大类型。数字电路的分类数字电路的优点便于高度集成化。工作可靠性高、 能力强。数字信息便于长期保存。数字集成电路产品系列多、通用性强、成本低。性好。第八章数字逻辑基础数制与BCD码逻辑代数基础8.1

数制与BCD

码数制即指计数的方法，日常生活中最常用的是十进制计数，而在数字电路和计算机中最常用的是二进制、八进制和十六进制。数制的概念数制的要素进位制：表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及从低位到 的进位规则称为进位计数制，简称进位制。基数：进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数码个数。位权（位的权数）：在某一进位制的数中，每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就是这一位的权数。权数是一个幂。1.

十进制数码为：0～9；基数是10。运算规律：逢十进一，即：9＋1＝10。十进制数的权展开式：５×１０３＝５０００５

５

５

５５×１００＝５×１０２＝

５００５×１０１＝

５０５＝５５５５103、102、101、100称为十进制的权。各数位的权是10的幂。同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。＋任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。即：(5555)10＝5×103

＋5×102＋5×101＋5×100又如：(209.04)10＝

2×102

＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4

×10－28.1.1

常用数制2.

二进制数码为：0、1；基数是2。运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。二进制数的权展开式：如：(101.01)2＝

1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2＝(5.25)10加乘则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10则：0.0=0，0.1=0

，1.0=0，1.1=1运算规则各数位的权是２的幂二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。数码为：0～9、A～F；基数是16。运算规律：逢十六进一，即：F＋1＝10。十六进制数的权展开式：如：(D8.A)16＝

13×161

＋8×160＋10

×16－1＝(216.625)10各数位的权是16的幂3.十六进制和八进制数码为：0～7；基数是8。运算规律：

进一，即：7＋1＝10。八进制数的权展开式：如：(207.04)8＝

2×82

＋0×81＋7×80＋0×8－1＋4×8－2＝(135.0625)10各数位的权是8的幂结论①一般地，N进制需要用到N个数码，基数是N；运算规律为逢N进一。②如果一个N进制数M包含ｎ位整数和ｍ位小数，即(an-1

an-2

…

a1

a0

·

a－1

a－2

…

a－m)2则该数的权展开式为：(M)2

＝

an-1×Nn-1

＋

an-2

×Nn-2

＋

…

＋a1×N1＋

a0

×N0＋a－1

×N-1＋a－2

×N-2＋…

＋a－m×N-m③由权展开式很容易将一个N进制数转换为十进制数。131415（1）二进制转换成十进制按权相加法：将各位二进制数的权值乘上系数，相加。例：求二进制数11010.101相应的十进制数。（11010.101）=124+123+022+121+020+12-1+02-2+12-3=16+8+0+2+0+0.5+0+0.125=(26.625)104.二进制数与十进制数之间的转换15常用二进制的权-4 -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

120.0625

0.125

0.25

0.5

1

2

4

8 16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096(2)十进制转换成二进制十进制整数用

除2取余法例：将十进制13转换成二进制形式2

13

余数2

62

32

11011因此：（13）10=（1101）2016十进制净小数用

乘2取整法例：将十进制纯小数0.562转换成误差进制数不大于2-6的二0.562×2=1.1241(K-1)0.124×2=0.2480(K-2)0.248×2=0.4960(K-3)0.496×2=0.9920(K-4)0.992×2=1.9841(K-5)最后余小数0.984>0.5，四舍五入K-6=1。所以

（0.562)10=(0.100011)24422115212余数低位2………0=K02………0=K12………1=K22………1=K32………0=K40

………

1=K51.500

………

1=K－20.500×

21.000

………1=K－3

低位小数部分采用基数连乘法，先得到的整数为，后得到的整数为低位。0.375×2

整数0.750

………

0=K－10.750×

2整数部分采用基数连除法，先得到的余数为低位，后得到的余数为。所以：(44.375)10＝(101100.011)2采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的N进制数。当其他进制数转换为十进制数时，可将其他进制数按

系数展开式展开，求得的和即为相应的十进制数。数字系统只能识别0和1，怎样才能表示 的数码、符号、字母呢？用编码可以解决此问题。用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符号的过程称为编码。用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位数的二进制数称为代码。8.1.2

几种简单的编码二-十进制代码：用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进制数中的

0

~

9

十个数码。简称BCD码。用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码，因各位的权值依次为8、4、2、1，故称8421BCD码。2421码的权值依次为2、4、2、1；余3码由8421码加0011得到；格雷码是一种循环码，其特点是任何相邻的两个码字，仅有一位代码不同，其它位相同。常用BCD码十进制数8421

码余

3

码

格雷码

2421

码5421

码012345678900000001001000110100010101100111100010010011

0000

00000100

0001

00010101

0011

00100110

0010

00110111

0110

01001000

0111

10111001

0101

11001010

0100

11011011

1100

11101100

1101

11110000000100100011010010001001101010111100权842124215421生活中使用十进制，但计算机使用二进制。任意进制数转换为十进制数：权展开式十进制数转换为其它进制数：整数部分采用基数除法，小数部分采用基数乘法。1位八进制数由3位二进制数构成，1位十六进制数由4位二进制数，所以很容易实现二进制数与八进制数、十六进制数之间的相互转换。（码制）二进制代码可以表示符号及文字等形象的信息。BCD码是用4位二进制代码代表1位十进制数的编码（按1：4展开获得BCD码，或按4：1收缩获得对应的十进制数），有多种BCD码形式，最常用的是8421

BCD码。《数制与码制》小结8.2

逻辑代数基础逻辑代数--事物的发展变化通常都是有一定因果关系的,这种因果关系一般称为逻辑代数.逻辑代数又叫布尔代数或开关代数，是由英国数学家乔治·布尔于1847年创立的。逻辑代数与普通代数都由字母来代替变量，但逻辑代数与

普通代数的概念不同，它不表示数量大小之间的关系，而是描述客观事物之间一般逻辑关系的一种数学方法。例如，在右图的指示灯控制电路中，我们用字母Y表示指示灯，用A、B表示两个开关。指示灯Y的亮与灭两种状态取决于开关A、B的通断状态。

A、B称为输入逻辑变量，将Y称为输出逻辑变量。逻辑代数有两种逻辑体制，其中，正逻辑体制规定，高电平为逻辑1，低电平为逻辑0；负逻辑体制规定，低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑

0和逻辑1，它们并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态，如开关的通与断、电位的高与低、灯的亮与灭等。0和1称为逻辑常量。8.2.1

基本逻辑运算在逻辑代数中有三种基本的逻辑运算：与运算、或运算、非运算。1.与逻辑运算只有当决定一件事情的所有条件都具备时，这件事情才会发生，这种因果关系称为“与”逻辑运算。EABYEABYEA

BYEA

BY两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：Ｙ＝ＡＢA、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯不亮。A接通、B断开，灯不亮。A、B都接通，灯亮。在逻辑代数中，与逻辑运算又叫逻辑乘，两变量的与运算可用逻辑表达式表示为：Y=A·B归纳为“有0出0，全1为1”。数字电路中，实现与逻辑关系的逻辑电路称为与门，其逻辑电路符号

。开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合灭闭合断开灭闭合闭合亮ABY000010100111功能表真值表低电平有效与逻辑符号2.或逻辑运算当决定事件发生的条件具备一个或一个以上时，事件就发生；只有当所有条件均不具备

件才不会发生。这种因果之间的关系就是“或”逻辑的运算关系。如，在上图所示的电路中，只要开关A、B中任意一个接通或者两个都接通，灯就亮；只有当开关A、B均断开时，灯才不亮。EABYEABY两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：Ｙ＝Ａ+ＢA、B都断开，灯不亮。A断开、B接通，灯亮。A接通、B断开，灯亮。A、B都接通，灯亮。EABYEABY在逻辑代数中，或逻辑运算又叫逻辑加，两变量的或运算可用逻辑表达式表示为：Y=A+B运算规则可以归纳为“全0出0，有1为1”。在数字电路中，实现或逻辑关系的逻辑电路称为或门，其逻辑电路符号如下图所示。ABY000011101111真值表开关A开关B灯Y断开断开灭断开闭合亮闭合断开亮闭合闭合亮功能表高电平有效或逻辑符号3.非逻辑运算非运算关系是，当条件具备件不发生；当条件不具备件能发生。即某事件发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。非逻辑关系电路例如，在图示电路中，当开关A接通时，灯Y不亮；而当开关A断开时，灯Y亮。在逻辑代数中，非逻辑运算又称逻辑反。非逻辑关系的表达式为：有Y=A非逻辑运算规则可以归纳为“非逻辑电路符号如右图所示。AY0110真值表功能表开关

A灯Y断开闭合亮灭非逻辑符号8.2.2

复合逻辑运算复合逻辑是指由与、或、非3种基本逻辑关系组合而成的逻辑关系。常用的复合逻辑运算主要包括：与非、或非、与或非、异或、同或等。与非逻辑符号ABY00110

11

10

11

0真值表Y

AB低电平有效1.

与非逻辑与非逻辑运算是由与、非两种基本运算按照“先与后非”的顺序复合而成的。2.或非逻辑或非逻辑符号A

BY0

0

10

1

01

0

01

1

0真值表Y

A

B高电平有效3.与或非逻辑与或非逻辑符号ABCD&&≥1YY

AB

CD与或非门的逻辑图4.异或逻辑异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量不同时，输出为1；当两个变量相同时，输出为0，即“不同为1，相同为0”。异或逻辑符号A

BY00110

01

10

11

0真值表Y

AB

AB

A

B5.同或逻辑同或也是一种二变量逻辑运算，当两个变量相同时，输出为1；当两个变量不同时，输出为0，即“相同为1，不同为0”。同或逻辑符号A

⊙

B＝A

B＋

A

BA B＝A

⊙BA⊙B＝A

B主要逻辑关系的小结与逻辑、与非逻辑：逻辑0有效或逻辑、或非逻辑：逻辑1有效同或：相同出“1”异或：相异出“1”特别提醒：记住以上逻辑关系的相应逻辑符号8.2.3

逻辑函数的表示方法及相互转换逻辑函数常用的表示方法有5种：真值表表达式逻辑图波形图卡诺图1.

真值表逻辑真值表是将输入变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起组成的表格，一个确定的逻辑函数只有一个逻辑真值表，具有唯一性。逻辑真值表能够直观明了地反映变量取值和函数值的对应关系，但输入变量较多时，列写起来比较繁琐，它是将实际问题抽象为逻辑问题的首选描述方法。ABY001010100110真值表2.

逻辑函数表达式逻辑函数的表达式不是惟一的，可以有多种形式，并且能互相转换。逻辑函数的特点是：简洁、抽象，便于化简和转换。Y

A

B3.

逻辑图与、或、非等运算关系用相应的逻辑符号表示出来，就是函数的逻辑图。例如，异或逻辑关系也可用的逻辑图来表示。ABCD&&≥1

Y优点是：逻辑图与数字电路的器件有明显的对应关系，便于制作实际电路。缺点是不能直接进行逻辑推演和变换。4.

波形图异或逻辑关系的波形图反映输入和输出波形变化规律的图形，称为波形图，也称为时序图。异或逻辑关系中，当给定A、

B的输入波形后，可画出函数Y的波形，

。波形图的优点是，能直观反映变量与时间的关系和函数值变化的规律，它与实际电路中的电压波形相对应。5.各种表示方法之间的相互转换同一逻辑函数可以用几种不同的方式来表示，这几种表示方法之间必然可以相互转换。8.2.4

基本定律和规则与普通代数相似,逻辑代数中的运算也遵循一定的定律和规律，下面我们介绍逻辑代数的基本定律和几条常用的规则，熟悉这些内容，对数字电路的分析和设计是非常有用的。1.逻辑函数的相等ABCY

1Y

20000000111010000111110000101111101111111Y1=Y2与运算：0

0

00

1

01

0

011

1或运算：0

0

00

1

11

0

11

1

1（1）常量之间的关系（2）基本公式0-1

律：A

1

AA

0

0A

0

A

A

1

1非运算：

1

0

0

1互补律：A

A等幂律：

A

A

A

A

A

A双重否定律：A

A分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。2.基本定律（3）基本定律交换律：A

B

B

AA

B

B

A结合律：(

A

B)

C

A

(B

C)(

A

B)

C

A

(B

C)A

B

C

(

A

B)

(

A

C)A

(B

C)

A

B

A

C分配律：反演律（摩根定律）：A

B

A

BA

.B

A

B利用真值表很容易证明这些公式的正确性。如证明A·B=B·A：ABA.BB.A0000010010001111逻辑代数有3个重要的规则：代入规则、反演规则和对偶规则。(1)

代入规则在任何一个逻辑等式中，如果以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端的任何一个逻辑变量，则等式依然成立。这个规则称为代入规则。例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立。例如，已知等式，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：AB

A

B(

AC)B

AC

B

A

B

C3.逻辑代数的三条规则(2)

反演规则如果将逻辑函数表达式Y

中的“·

”变为“＋”，“＋”变为“·”；“0”变为“1”，“1”变为“0”；原变量变为反变量，反变量变为原变

量，那么新得到的逻辑函数表达式就是函数Y的反函数，这一规则称为反演规则。利用反演规则可以

方便地求得一Y个

函AB数

C的DE反

函AB数

C。DE

(A

B)(C

D

E)Y

AB

CDEY

(A

B)(C

D

E)Y

A

B

C

D

EY

A

B

C

D

E反演律（摩根定律）：A

B

A

B使用反演规则时，应注意以下两点。要保持原函数中的逻辑运算的优先顺序，即要先括号，接着与，然后或，最后非。不属于单个变量上的非号要保留不变。口诀：“长非、短非互换，与、或互换”A

.B

A

B(3)对偶规则若将逻辑函数Y中的“·”变为“＋”，“＋”变为

“·”；“0”变为“1”，“1”变为“0”；而变量保持

不变，那么得到的新逻辑函数表达式称为函数Y的对偶式，用Y′表示，也可以说Y和Y′互为对偶式。对偶规则的内容是：如果两个逻辑函数表达式相等，它们的对偶式也一定相等。Y

AB

CDE对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要的公式数目减少一半。例如：A(B

C)

AB

ACA

BC

(

A

B)(A

C)A

B

A

B

A(A

B)

(A

B)

AY

(A

B)(C

D

E)Y

A

B

C

D

EY

A

B

C

D

E8.2.5

逻辑函数的标准形式同一逻辑函数可以有多种不同的表达方式，它们之间能互相转换。一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。与或表达式：Y

AB

AC或与表达式：Y

(A

B)(A

C

)与非-与非表达式：Y

AB

AC或非-或非表达式：Y

A

B

A

C与或非表达式：Y

AB

AC一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示式不同，但逻辑功能是相同的。在逻辑电路设计中，对逻辑函数化简具有十分重要的意义。逻辑函数表达式越简单，实现该函数所用的逻辑元件就越少，电路的可靠性就越高。一般情况下，都将逻辑函数化为最简与或表达式（乘积项最少，且每个乘积项的变量数最少）8.2.6

逻辑函数的化简逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。1、最简与或表达式乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或表达式。

AB

ACY

ABE

AB

AC

ACE

BC

BCD

AB

AC

BC最简与或表达式方法2:在真值表中寻找输出原变量,列出与或表达式,2、最简与非-与非表达式非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。Y

AB

AC

AB

AC

AB

AC①在最简与或表达式的基础上两次取反②用摩根定律去掉下面的非号3、最简或与表达式括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。Y

AB

ACY

AB

AC

(

A

B

)(A

C)

AB

AC

BC

AB

ACY

(A

B)(A

C

)①求出反函数的最简与或表达式②利用反演规则写出函数的最简或与表达式方法2:在真值表中寻找输出反变量,列出与或表达式,再利用反演律转化为或与表达式4、最简或非-或非表达式非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。

(

A

B)(A

C

)

A

B

A

CY

AB

AC

(

A

B)(A

C

)②两次取反①求最简或与表达式③用摩根定律去掉下面的非号５、最简与或非表达式非号下面相加的乘积项最少、并且每个乘积项中相乘的变量也最少的与或非表达式。Y

AB

AC

A

B

A

C

AB

AC①求最简或非-或非表达式面去②的掉用非大摩号非根号定下律(1)并项法逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定律和规则来化简逻辑函数。利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。

BC

BC

B(C

C

)

BY

ABC

ABC

BC

(A

A)BC

BC1

ABC

ABC

A(

BC

BC)

AY2

ABC

AB

AC

ABC

A(B

C

)变并相和包

量成同反含

的一时变同若因项，量一两子，则，个个。并这而因乘消两其子积去项他的项互可因原中为以子变分反合都量别运用摩根定律运用分配律运用分配律1.公式化简法(2)吸收法Y1

AB

ABCD(E

F)

ABY2

A

B

CD

ADB

A

BCD

AD

B

(

A

AD)

(B

BCD)

A

B。乘，个乘积则乘积项这积项是另项是多外的另运用摩根定律余一因外如的个子一果（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的变量。Y

AB

AC

BC

AB

(

A

B

)C

AB

ABC

AB

C

AB

C

ABD

AB

C

DY

AB

C

ACD

BCD

因项的子的反如

AB

C

C

(A

B)D

是因是果多子另一

AB

C

(A

B)D

余，一个的则个乘。这乘积个积项(3)配项法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。Y

AB

BC

BC

AB

AB

BC

(

A

A)BC

AB(C

C

)

AB

BC

ABC

ABC

ABC

ABC

AB

(1

C)

BC

(1

A)

AC(B

B)

AB

BC

AC（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。Y

ABC

ABC

ABC

ABC

(

ABC

ABC

)

(

ABC

ABC)

(

ABC

ABC)

AB

AC

BC(4)消项法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，将冗余项ＢＣ消去。Y1

AB

AC

ADE

CD

AB

(AC

CD

ADE)

AB

AC

CDY2

AB

BC

AC(DE

FG)

AB

BC例：化简函数Y

(B

D)(B

D

A

G)(C

E)(C

G)(A

E

G)解：①先求出Y的对偶函数Y＇，并对其进行化简。Y

BD

BDAG

CE

CG

AEG

BD

CE

CG②求Y＇的对偶函数，便得Ｙ的最简或与表达式。Y

(B

D)(C

E)(C

G)公式法的小结对逻辑函数用公式化简时，没有固定的方法可遵循，有时要灵活、综合、甚至重复地使用某些公式，才能将函数化为最简的形式。能否尽快地将函数化为最简形式，取决于对公式的熟练程度及应用技巧。适用范围：多变量的逻辑函数化简（5个以上）在应用公式法对逻辑函数进行化简时，不仅要求对公式能熟练应用，而且要判断最后结果是否最简，遇到较复杂的逻辑函数时，此方法有一定难度。下面介绍的卡诺图化简法，只要掌握了其要领，化简逻辑函数非常方便。2.卡诺图化简法逻辑函数的最小项及其表达式1.最小项的定义与性质（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。3个变量A、B、C可组成8个最小项：ABC、ABC、ABC

、ABC、ABC

、ABC、ABC

、ABC（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：m0

ABC

、m1

ABC、m2

ABC

、m3

ABCm4

ABC

、m5

ABC、m6

ABC

、m7

ABC（3）最小项的性质：值3

ABC

部最小项的真ABCA

B

C

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m70

0

0

1

0

0

0

0

0

0

00

0

1

0

1

0

0

0

0

0

00

1

0

0

0

1

0

0

0

0

00

1

1

0

0

0

1

0

0

0

01

0

0

0

0

0

0

1

0

0

01

0

1

0

0

0

0

0

1

0

01

1

0

0

0

0

0

0

0

1

01

1

1

0

0

0

0

0

0

0

1①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。②任意两个不同的最小项的乘积必为0。③全部最小项的和必为1。2.逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A＋A＝1和A(B+C)＝AB＋BC来配项展开成最小项表达式。Y

A

BC

A(B

B

)(C

C

)

(

A

A)BC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

ABC

m0

m1

m2

m3

m7

m(0,1,2,3,7)如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。ABCY最小项0000m00011m10101m20111m31000m41011m51100m61110m7m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm2＝ABC

ABC

ABC

ABC

ABCY

m1

m2

m3

m5

m(1,2,3,5)将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。求Y的与或表达式求Y的或与表达式逻辑函数的卡诺图表示法1.最小项的卡诺图图1.19

二变量的卡诺图卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项）。邻两2个变最量小的项最与小它项相有图1.20

三变量的卡诺图矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量取值按照格雷码的顺序排列（相邻项只有1个变量值不同）；呈现对称状态。相最小

3邻小项变项有量与

3

的它个最00

01

11

10ABCD00m0m4m12m8m1m5m13m90111m3m7m15m1110m2m6m14m104

变量卡诺图每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻项最最也右左是列列相的的邻相最的应小最项小与邻相项最的应与上最最面小下一项面行也一的是行最相的小两个相邻最小项可以合并消去一个变量ABC

ABC

AB(C

C

)

ABABCD

ABCD

ACD逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并卡诺图形象、直观地反映了最小项之间的逻辑相邻关系，但变量增多时，卡诺图会变得更为复杂。当变量的个数在5个或5个以上时，就不能仅用二的几何相邻来代表其逻辑相邻，故一般较少使用。ABCD00011110000100011000111111100110m1m32.

逻辑函数的卡诺图表示（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。Y

(

A,

B,C,

D)

m(1,3,4,6,7,11,14,15)m4m7m6m11m15m14（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。Y

(

A

D)(B

C

)Y

AD

BCABCD00011110100000000100011110101或变表换达为式与ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子用卡诺图化简逻辑函数1.

化简依据（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。ABCD00011110000100010001110001100100ABC0100

01

11

101

0

0

10

1

1

0ABC

ABCABC

ABC

BC

BCABCD

ABCD

ABDABCD

ABCD

ABDABCD00

01

11

10000111100100111101100100（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。00011110ABC0111110110

CABC

ABC

ABC

ABC

(AB

AB

AB

AB

)CABC

ABC

ABC

ABC

(AC

AC

AC

AC)B

BABC

DCD00

01

11

10100101100110000111101001ABCD00

01

11

1011000100100

001

111

110

0110BＤABBＤＢＤＢＤABCD00011110000111100000111111110000ABCD00011110000111101001100110011001（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。ＤＢ\\\\这就由

1

目就越这

2

必是多些

须利，

最

3

为用从小

个

2卡而项变4诺所所量图得形。8化到成包个

简的的含才

逻逻圈的能小辑辑越最合结函表大小并：数达，项为相的式消数一邻基就去目项最本越的越，小原简变多并项理单量，消的。。也即去数4、图形法化简的基本步骤逻辑表达式或真值表卡诺图Y

(

A,

B,C,

D)

m(3,5,7,8,11,12,13,15)ABCD0001111000011110001101101111000011合并最小项１是每个的①的多个方方圈方余圈格格越格的都可数大。。要同目越③有时必好不新画须，能方在为但漏格几2i

每掉，个个个何否圈。圈一则内②中个它，同标标就但一１最简与或表达式ABCD00010001110001111000Y

(A,

B,C,

D)

BD

CD

AC

DＢＤＣＤＡＣＤ11

101

11

01

10

0冗余项2233的将乘代积表项每相个加圈00

01

11

1000

01

11

10110111010111011100110011ABCD000111100000ABCD000111100000两点说明：①在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最简 最简ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ特别要注意最左与最右列、最上与最下列相邻！！00

01

11

1000

01

11

101

1

0

01

1

1

00

0

1

0ABCD000111101

0

1

0ABCD00

1

1

0

001

1

1

1

011

0

0

1

010

1

0

1

0②在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ小结用卡诺图化简时，为了保证结果的最简化和正确性，在选取可合并的最小项即画包围圈时，应遵循以下几个原则。每个包围圈只能包含2n个填1的小方格，而且必须是矩形或正方形。包围圈能大勿小。包围圈越大，消去的变量就越多，对应乘积项的因子就越少，化简的结果越简单。包围圈个数越少越好。因个数越少，乘积项就越少，化简后的结果就越简单。画包围圈时，最小项可以被重复包围，但每个包围圈中至少应有一个最小项是单独属于自己的，以保证该化简项的独立性。包围圈应把函数的所有最小项都圈完。具有无关项的逻辑函数及其化简逻辑函数中的无关项随意项：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为随意项，也叫做无关项。例如：判断一位十进制数是否为偶数。A

B

CD

Y A

B

CD

Y

说明0

0

0

0

1

1

0

0

0

10

0

0

1

0

1

0

0

1

00

0

1

0

1

1

0

1

0

×

不会出现0

0

1

1

0

1

0

1

1

×

不会出现0

1

0

0

1

1

1

0

0

×

不会出现0

1

0

1

0

1

1

0

1

×

不会出现0

1

1

0

1

1

1

1

0

×

不会出现0

1

1

1

0

1

1

1

1

×

不会出现ABCD0001111011×100×000××11××00011110输入变量A，B，C，D取值为0000～1001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。Y

(

A,

B,

C,

D)

m(0,2,4,6,8)A，B，C，D取值为1010

～1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号“φ”、“×”或“d”表示。随意项之和构成的逻辑表达式叫做随意条件或约束条件，用一个值恒为0的条件等式表示。d

(10,11,12,13,14,15)

0含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：F

(

A,

B,

C,

D)

m(0,2,4,6,8)

d

(10,11,12,13,14,15)利用无关项化简逻辑函数由于无关项要么不在逻辑函数中出现，要么出现时取值是1还是为0对逻辑函数的结果没有影响，因此对具有无关项的逻辑函数化简时，无关项既可取0，也可取1，具体地讲，如果无关项对化简有利，则取1；如果随意项对化简不利，则取0。ABCD00011110001001011001不利用随意项

的化简结果为：Y

AD

ACD利用随意项的化简结果为：Y

D11

10×1

1×0

0×0 0××1 1×3、变量互相排斥的逻辑函数的化简在一组变量中，如果只要有一个变量取值为1，则其它变量

的值就一定为0，具有这种制约关系的变量叫做互相排斥的变量。变量互相排斥的逻辑函数也是一种含有随意项的逻辑函数。ABCY00000011010101