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文档简介
6.1
不定积分的基本积分法第6章
积分法性质1
[f
(x)
g(x)]dx
f(x)dx
g(x)dx;证
f
(x)dx
g(x)dx
f
(x)dx
g(x)dx
f(x)
g(x).等式成立.(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)6.1.1
不定积分的性质
kf
(
x)dx
k
f
(
x)dx.性质2 设
k
是常数,
(k
0)
则由此可知:
不定积分运算是线性运算,
即
[k1f(x)
k
2g(x)]
dx
k1
f(x)dx
k
2
g(x)dx解:)dx1
x23
(1
x2dx1
x2dx
21
x2
311
3arctan
x
2arcsin
x
C例1
求积分3
21
x2
)dx.
(1
x22例2求积分
x(1
x2
)dx.1
x
x21
x
x2
x
(1
x2
)解:
x(1
x2
)dx
x(1
x2
)
dxx
1
x12
1
dx
x1dxdx
1
1
x2
arctan
x
ln
x
C.例3、计算dx.x22
x2
x2
x
1
2
x
x
dxdx
2x22
x2
x2
x
1解:xdx
x2dx
2
dx
C123
2
x
3x
2x例4
计算2
sin2
xdx.解:利用三角恒等式x
1
1
cos
x2
2sin2
sin2
xdx
1
(1
cos
x)dx2
2
1
dx
1
cos
xdx2
2
1
x
1
sin
x
C2
2例5.
计算
cos
dx.sin2
解:将被积函数变形sin
sin
cos
csccot
sin2
cos
1
cos
dx
csc
cot
d
csc
Csin2
例6.
计算
a
x2dx.解:
ax2dx
a2
axdx
a2
axdxln
a
ln
a2
a
1a
C
a
Cx
x
2例7.求积分解:dx.1
cos
2
x11
cos
2
x1dx
dx1
2cos2
x
11
1
12 cos2
x2dx
1
tan
x
C
.说明:以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表.例8.
计算
1
x2
dx.x4解:
1
x2
dx
1
x2x4
1
1dxx4例9.
计算
dx.sin2
x
cos2
x解:1 cos2
x
sin2
x
sin2
x
cos2
x
dx
sin2
x
cos2
x
dx1
1
(sin2
x
cos2
x)dx
tan
x
cot
x
C1
x2(x
2
1)(
x2
1)
1dx
(x2
1
11
x21)dx
1
x3
x
arctan
x
C3问题:怎样求
cos2
x
sin
x
dx
(x
1)99
dx
等6.1.2.
不定积分的换元法A.第一换元法(“凑”微分法)定理1(不定积分的第一换元积分法)若已知
f
(x)dx
F
(x)
C而u
(x)是任一可微函数则
f
(
x)
'(
x)
dx
F
(
x)
C
f
(
x)
'(
x)
dx
f
(
x)
d(
x)(令u
(x))
f
(u)
duF
(u)
f
(u)
F
(u)
C
F
(
x)
C回代证明:(步骤)第一步:凑微分第二步:作变换第三步:求积分第四步:回代例1.
e
2
x
dx22
x
e
d2
x(令u
2
x)22
C2u
u
2
x
e
du
e
C
e回代例2.
1
dx1
x1
d(x
1)
(令u
x
1)1
x
u
1
du
ln
|
u
|
C
ln
|
x
1
|
C3
x
1dx
1例3.a则
f
(ax
b)
dx
1
F
(ax
b)
C13
x
1
3
1
d(3
x
1)3
1
ln
|
3
x
1
|
C一般地
若已知
f
(
x)
dx
F
(
x)
C3
5例4.
(3x
2)4
dx
1
1
(3
x
2)5
Cx
3
99
(
50
)dx
50
100
501
x
3
100
C2x
2
x
e
dx1
(
x)dx
ex
221
2
221
x
e
d1
x
2
e
Cx
221例5.
dx
15
16x
4x2
dx
1
(2
x
4)21
d(2
x
4)
2
1
(2
x
4)22
1
arcsin(
2
x
4)
C例6.例7.
e
xex
dxx
x
e
x
e
e
dx
e
e
d(ex
)x
ee
C
sec4
x
tan3
x
dx
sec2
x
tan3
x
sec2
x
dx
(1
tan2
x)
tan3
x
dtanx
(tan3
x
tan5
x)
dtanx
1
tan4
x
1
tan6
x
C4
6(或
sec3
x
tan2
x
d
sec
x)例8.secm
x
tan2n1
x
dx
secm1
x
tan2n
x
dsecx
secm1
x
(sec2
x
1)n
dsecx
sec2m
x
tann
x
dx
sec2m2
x
tann
x
dtanx
(tan2
x
1)m1
tann
x
dtanx一般地,例9.
tan
x
dxcos
xsin
x
dx
cos
xdcos
x
ln
|
cos
x
|
C试求:
cot
xdx
cos
x
dx
dsin
x
ln
|
sin
x
|
Csin
x
sin
x例10.
sec
x
dx
dx
cos
x1cos
x
dxcos
x2dsin
x21
sin
x(1
sin
x)(1
sin
x)dsin
x
dsin
x1
sin
x
12
1
sin
x1
12
1
ln(1
sin
x)
ln(1
sin
x)
C
ln
C
ln2 1
sin
x
21 1
sin
x
1
(1
sin
x)2
Ccos2
x
ln
|
sec
x
tan
x
|
C例10.解二:
sec
x
dx
ln
|
sec
x
tan
x
|
C试求:
csc
x
dx
ln
|
csc
x
cot
x
|
C
dxsec
x(sec
x
tan
x)sec
x
tan
xd(sec
x
tan
x)sec
x
tan
x例11.
cos(3
x
8)
cos(8x
3)
dx
cos(11x
5)
cos(5x
11)
dx12
2
11
5
1
1
sin(11x
5)
1
sin(5
x
11)
C2210
1
sin(11x
5)
1
sin(5
x
11)
C类似的,sin
x
cos
x
dx
sin
x
sin
x
dx先”积化和差”例12.sin2
x
dx
dx1
cos
2x224
1
x
1
sin
2x
C类似的,
sin2n
x
dx
或
cos2n
x
dx(半角公式降次)dx.
a21
x2a21
1
1
a
d
x
a
a2
x
2
a
21
x
dx
11a
1
arctan
x
C
.例13.
Cx3
3adx
1
arctan1
3
x2a2
x2a试求:
1
dx
arcsin
x
C例如:dx.1
x2
8
x
25dx
1(
x
4)2
9
1
arctan
x
4
C
.3
3例14.(
dx
1
arctan
u
C
)u2
a
2
a
a(u
x
4)dx.x
a2
x2
1
122d
(
x2
)a
x21
12d
(
x2
a2
)2
a
x22
1
ln(
x2
a2
)
C例15.
dx4
x
12
x
134
x
12x
5
dx124
x
12x
1314
x
2
12x
1322
1 d(4
x
12x
13)
dx
52(2
x
3)
42
1
ln(4x2
12x
13)
d2x
312x
3
2
45224
2
1
ln(4x2
12x
13)
5
arctan
2x
3
C例16.(分子一次凑分母导数)1dx.
x2
a2(
x
a)(
x
a)
1
)dx12a x
a x
adx
1
(1dx
1
1x
adx
2a
x
a12a
1
(ln
x
a
ln
x
a
)
C
1
ln
x
a
C2a x
a例17.1
(
x
a)(
x
b)dx.
1
(
1
1
)dxa
b x
a x
bdx
dx
a
b
1
1
1x
a x
b(ln
x
a
ln
x
b
)
Ca
b1一般地,
dxx
4
x
5x
72
dx
92
x
42
12x
4
x
5
dx12x
4
x
5x
2
4
x
5d(
x
2
4x
5)121
9
(
x
5)(
x
1)
dx1
1
15
x
1
dx2
6
x
1
ln
|
x
2
4x
5
|
9
1
ln
|
x
2
4x
5
|
3
ln
x
5
C2
2
x
1例18.(分子一次凑分母导数)x3
x
ln(arcsin
3
x
)
dxx1
9
arcsin
3ln(arcsin
3
x
)ln
31x
d(3
)x1
(3
x
)2
arcsin
3arcsin
3
xln(arcsin
3
x
)1x
d(arcsin3
)ln
31
ln(arcsin
3
x
)
dln(arcsin3
x
)ln
31ln(arcsin
3
x
)2
C2
ln
3例19.1
f6
(
x)2(
x)
f
(
x)
dx例20.
f
df
(
x)f
2(
x)61
f
(
x)1
1
df
3
(
x)1
f
6
(
x)33
1
arcsin
f
3
(
x)
C例21.
f
(
x)f
[
f
(
x)
1]
1
dx
f
[
f
(
x)
1]
1
df
(
x)
f
[
f
(
x)
1]
df
(
x)
df
(
x)
f
[
f
(
x)
1]
f
(
x)
C定理2(第二类换元法)若x
(t
)单调、可导,'(t
)
0且
F'(t
)
f
(t
)
'(t
)
f
(
x)
dx
f
(t)
(t
)
d
t
F[
1
(
x)]
C则
f
(t)(t
)
d
t
F
(t
)
C
F[
1
(
x)]
C证明:
f
(
x)
dx
令
x
(t
)
f
(t
)
d
(t
)B.
不定积分的第二类换元法步骤:作变换积分回代a
2
x
2
dx
(a
0)例1.解:令x
a
sin
ta2a
2
x2
dx
a
cos
t
a
cos
t
d
t
a
2
1
cos2t
d
t21x2
2xsin
t
aata
x2a
2aa
2
x
2cos
t
x)
Cx a
2
x
2(arcsin
a
aa22a
2
arcsinx
xa
2
a
2
x2
Cdx
a
costdt(
t
)2
2a2
(1
sin2
t
)
a
cost,则
a2
x2
(t
sin
2t
)
C
2(t
sin
t
cost
)
C2a21.三角代换(目的:去根号)(a
0)
dtdx a
sec2
ta
2
x2
a2
a
2
tan2
t
dt
sec
t
dta
sec
ta
sec2
t
1
ln
|
sec
t
tan
t
|
Ctx2
2a
xatan
t
xasec
t
22aa
x
lnaa
2
x
2
x
C1
ln
|
x
aa2
x2
|
C
t
),则2
2a2
x2解:令
x
a
tan
t
(例2.
dx
a2
x2
a2
(1
tan2
t
)
a
sec
t,
dx
a
sec2
tdt
ln
|
x
x
2
a
2
|
Cx
2
a
2dxxxa
2222
2xa
x
dx
a
x
arcsin
C2
2
ax
a
dx
2x
a
ln
|
x
x
2
a
2
|
C2a
22
222若被积函数中含有x
a
sin
t
或x
a
cos
ta
2
x
2a
2
x
2x
2
a
2例如:作变x
a
tan
t
或x
a
cot
t换x
a
sec
t
或x
a
csc
t总结:3
x
19
x
2
6
x
8dx
d(3x
1)3
x
1(3
x
1)2
9(令3x
1
3sec
t)3
tan
t1313
3sec
t
3sec
t
tan
t
d
t
tan2
t
dt
(sec2
t
1)
d
t
tan
t
t
C9x26x
839
x
2
6
x
8
3
arccos
C3
x
13
x
13x
1t3tan
t
3cos
t
39
x
2
6
x
8例3.dx例4.7x(1
x
)t(令x
1)(1
1)117tt)
d
t
t1
(2
d
t1
tt
67771
t7
1
1
d
t
7
1
ln
|
1
t
7
|
C7
1
ln
|
1
1
|
Cx7
x(1
xn
)dx一般nxn
1
ln
|
1
1
|
C2.倒数代换
dxx2
1
x21令x
t21
(1)2(
)
1
1t
t)
dt
1t
2
(
d
tt
2
1|
t
|
t
2
12
t
d
t
1
1
d(t
2
1)t
2
1t
2
1
C
(
1
)2
1
Cx
Cx1
x
2
例5.e
x
1
dx例6.e
x令
t
1则x
ln(t
2
1)原积分
t
2tt
2
1)d
t1
t
2
d
t
2(1
1
2t
2arctan
t
Ce
x
1
Ce
x
2
1
2arctan3.令整个根号为新变量解:例7.1
1
3
x
2
dx1
tt
1
1dt
32)dt
1
1
t
3 (t
1
2
3
(t
1)2
3
ln
|
t
1
|
C2
3
(3
x
2
1)2
3
ln
|
3
x
2
1
|
C令t
3
x
2
3t
dt1
t2说明当被积函数含有两种或两种以上的根式kx,,
lx
时,可采用令x
t
n(其中n为各根指数的最小公倍数)例8.求dx.1x(1
3
x
)解:
令
x
t
6
dx
6t
5dt,dxx(1
3
x
)1
6t
5
6t
2t
3
(1
t
2
)
dt
1
t
2
dt1
6
(1
1
t
2
)dtx
6arctan
6
x
C
6t
6arctan
t
C
66乘积求微分公式d(uv)
u
dv
v
du两边积分uv
u
dv
v
du改写为
u
dv
uv
v
du分部积分公式例1
x
cos
x
dx则duv
s注意(I)v
要容易求得;(II)u'要比u
更简单解:
令
u
dv
co
x
cos
x
dx
x
sin
x
sin
x
dx
x
sin
x
cos
x
C6.1.3
不定积分的分部积分法例
2
arctan
x
dx则du
1
x
2dx令u
arctan
xv
x
x
arctan
x
dx1
xx2
x
arctan
x12ln(1
x
)
C2例
3
x2e
x
dx
x
2de
x
x2e
x
(
e
x
2
x
dx)
x2e
x
2
x
de
x
x2e
x
2xe
x
2
e
x
dx
x2e
x
2xe
x
2e
x
C被积函数多项式
正、余弦函数多项式
指数函数多项式反三角函数多项式
对数函数画红线者拖到d后面ex
sin
x
或ex
cos
x两者都可
3x
2
ln(
x
1)
dx
ln(
x
1)
d(
x
3
1)例43x
3
1
(
x
1)
ln(
x
1)
x
1
dx
(
x3
1)
ln(
x
1)
(
x
2
x
1)
dx
(
x3
1)
ln(
x
1)
1
x
3
1
x
2
x
C3
2x
e
dx例535
x31333
xx
e
d
x
3133
xx
d
e33
x13x
e
313x
3e
d
x
3
xx
e
13
33
1
e
x
3
C
sec3
x
dx
sec
x
dtan
x例6
sec
x
tan
x
tan2
x
sec
x
dx
sec
x
tan
x
(sec2
x
1)
sec
x
dx
sec
x
tan
x
sec3
x
dx
sec
x
dx2
1[sec
x
tan
x
ln
|
sec
x
tan
x
|]
C例7.求积分
ex
sin
xdx.解
ex
sin
xdx
sin
xdex
ex
sin
x
exd
(sin
x)
ex
sin
x
excos
xdx
ex
sin
x
cos
xdex
ex
sin
x
(ex
cos
x
exd
cos
x)
ex
(sin
x
cos
x)
ex
sin
xdx2x
exsin
xdx
e
(sin
x
cos
x)
C
.注意循环形式例
8.
e
x
dx解:
令
t
则
x
t
2d
x
2t
d
t
2t
et
2
et
d
t
2t
et
2et
Cx
x
2 x
e
2e
Cx
dx
et
2t
dt
2t
det
e2例
9.已知
f
(
x)的一个原函数是e
x
,
求
xf
(
x)dx.解:
xf
(
x)dx
xdf
(
x)
xf
(
x)
f
(
x)dx,
f
(
x)dx
f
(
x),
f
(
x)dx
e
x2
C,2上式两边同时对x求导,
得
f
(
x)
2
xe
x
,
xf
(
x)dx
xf
(
x)
f
(
x)dx2
2
2x2e
x
e
x
C
.Q(
x)P(
x)R(
x)
xmma
a
x
a
xn
0
1
n
b
b
x
b0
1n
m
时R(x)是真分式n
m
时R(x)是假分式任一假分式可以通过多项式除法化为一个多项式与一真分式之和.x
2
2
x
1x4
5例如2
4
x
2
x
2
x
3
x
2
2
x
16.1.4
几种特殊类型函数的积分1.有理函数的积分法(I)有理函数具体可表示为Q(
x)(II)
将真分式R(x)
P(x)分解为部分分式.原理Q(x)在实数范围内可分解为一次因式与二次因式之积x
3
x
2
2
x(i)
2
x
3
2
x
3x(
x
2)(
x
1)B
A
x x
2
x
1Cx(
x
1)3x
3
1(ii)
A
B
C
(
x
1)3
(
x
1)2x
x
1D(
x
1)(
x
2
x
3) x
4
A
Bx
C
(iii)x
1x
2
x
3(
x
2)(
x
2
1)22
x
2
2x
13(iv)A
x
2
(
x
2
1)2Bx
Cx
2
1Dx
E项。形如1(g(a)
0)拆开必含(
x
a)g(a)1(
x
a)g(
x)1(
x
5)
3(
x
2)
(3)1(
x
2)(
x
5)1例如:确定待定系数(III)通分后,比较同次幂系数四种部分分式的积分类型(IV)
dx
x
adx(i)(
x
a)n(ii)
dxx
2
px
qAx
BAx
B(iii)
dx(
x
2
px
q)m(iv)(
p2
4q)(
p2
4q)
ln
|
x
a
|
C
C
n11
n
(
x
a)1
1
dxx
2
2
x
43
x
2例1
dx
5x
2
x
4
3 2
x
2
22
dxx
2
2
x
41x
2
2
x
423 d(
x
2
2
x
4)
5
(
x
1)2
3d(
x
1)
3
ln(
x
2
2x
4)
5
arctan
x
1
C2
3
3
dx(
x
2
4x
13)28
x
31例2
d
x
152
x
4
4
(
x
2
4
x
13)2(
x
2
4
x
13)2d
xd
x
4
(
x
2
4
x
13)2d(
x
2
4
x
13)[(
x
2)2
9]2
15x
2
4
x
13
4
15d
x[(
x
2)2
9]2
dx(
x
2
4x
13)28
x
31例2
4x
2
4
x
13
15d
x[(
x
2)2
9]22[(
x
2)
9]d
x(令x
2
3tan
t
)2
81sec4
t
d
t3sec2
t1272cos
t
d
t
d
t1 1
cos
2t22754t
1
sin
2t
C1083x
23x2
4x
13t3tan
t
x
254
3x
2
4
x
13x
2x
2x
2
4
x
13
C54
1
arctan
x
2
118
x
2
4
x
13
C54
3
1
arctan
x
2
1x
2
4
x
1354
3
15
arctan
x
2
1518
x
2
4
x
13x
2
C
dx(
x
2
4x
13)28
x
31例2
4x
2
4
x
13
4
15[(
x
2)2
9]2d
xx
2例
3
1
x4
d
xx
2
(1
x
2
)(1
x
2
)
d
x2
2
1
1
1
x
1
x2
1d
x21
arctan
x
d
x4
1
x
1
x
1
1
1
24
1
arctan
x
1[ln
|
1
x
|
ln
|
1
x
|]
CR(sin
x,cos
x)
d
x(I)(
x
)x2t
tan万能代换:则
x
2d
t1
t
2d
x
2sin
x
2sin
cos2
2x x
2tan
cos2x
2
x
22
tan22
x2x1
tan21
t2t2xcos
x
2
cos2
1
1
1
t
2221
t
21
t2
,
2
)
2
d
t2t
1
t
2
21
t
1
t
1
tR(sin
x,cos
x)
d
x
R(
2.三角有理函数的积分法d
x4
5cos
x1例42(令t
tan
x
)4
51
t
21
t
2d
t
1
t
22
d
t9
t221
1
1
d
t3
3
t
3
t
Cln1 3
t3 3
t23
tan
x2
C3
tan
x3
1
ln数,即R(
sin
x,cos
x)
R(sin
x,cos
x)(则作代换:若R(sin
x,cos
x)是cos
x
的奇函数即R(sin
x,
cos
x)
R(sin
x,cos
x)则作代换:t
sin
xsin4
x例5.
tan
x
cos6
x
d
x
d
x
(令t
sin
x
则cos
x
dx
d
t
)sin
x3cos5
x
t
3(1
t
2
)2
d
t
(
t
)
d
tt1
2t32
1
2ln
|
t
|
1
t
2
C2
2
ln
|
sin
x
|
1
sin2
x
C2sin2
x2t
21则可作代换:t
tan
xcos4
xsin2
x
1例6
d
x
cos2
x
cos2
xsin2
x
1 d
x
(tan2
x
sec2
x)
dtan
x
(2
tan2
x
1)
dtan
x3
2
tan3
x
tan
x
C若R(
sin
x,
cos(III)ax2
bx
c
)已解决的无理函数:R(x,n(I)
R(
x,
d
x例732(
x
1)
(
x
1)ax
b)
dxx
1
16(令
t
x
1)
t
6
t
4t
3
1
6
t
5d
t
6
d
tt(t
3
1)2t
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