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文档简介

6.1

不定积分的基本积分法第6章

积分法性质1

[f

(x)

g(x)]dx

f(x)dx

g(x)dx;证

f

(x)dx

g(x)dx

f

(x)dx

g(x)dx

f(x)

g(x).等式成立.(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)6.1.1

不定积分的性质

kf

(

x)dx

k

f

(

x)dx.性质2 设

k

是常数,

(k

0)

则由此可知:

不定积分运算是线性运算,

[k1f(x)

k

2g(x)]

dx

k1

f(x)dx

k

2

g(x)dx解:)dx1

x23

(1

x2dx1

x2dx

21

x2

311

3arctan

x

2arcsin

x

C例1

求积分3

21

x2

)dx.

(1

x22例2求积分

x(1

x2

)dx.1

x

x21

x

x2

x

(1

x2

)解:

x(1

x2

)dx

x(1

x2

)

dxx

1

x12

1

dx

x1dxdx

1

1

x2

arctan

x

ln

x

C.例3、计算dx.x22

x2

x2

x

1

2

x

x

dxdx

2x22

x2

x2

x

1解:xdx

x2dx

2

dx

C123

2

x

3x

2x例4

计算2

sin2

xdx.解:利用三角恒等式x

1

1

cos

x2

2sin2

sin2

xdx

1

(1

cos

x)dx2

2

1

dx

1

cos

xdx2

2

1

x

1

sin

x

C2

2例5.

计算

cos

dx.sin2

解:将被积函数变形sin

sin

cos

csccot

sin2

cos

1

cos

dx

csc

cot

d

csc

Csin2

例6.

计算

a

x2dx.解:

ax2dx

a2

axdx

a2

axdxln

a

ln

a2

a

1a

C

a

Cx

x

2例7.求积分解:dx.1

cos

2

x11

cos

2

x1dx

dx1

2cos2

x

11

1

12 cos2

x2dx

1

tan

x

C

.说明:以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表.例8.

计算

1

x2

dx.x4解:

1

x2

dx

1

x2x4

1

1dxx4例9.

计算

dx.sin2

x

cos2

x解:1 cos2

x

sin2

x

sin2

x

cos2

x

dx

sin2

x

cos2

x

dx1

1

(sin2

x

cos2

x)dx

tan

x

cot

x

C1

x2(x

2

1)(

x2

1)

1dx

(x2

1

11

x21)dx

1

x3

x

arctan

x

C3问题:怎样求

cos2

x

sin

x

dx

(x

1)99

dx

等6.1.2.

不定积分的换元法A.第一换元法(“凑”微分法)定理1(不定积分的第一换元积分法)若已知

f

(x)dx

F

(x)

C而u

(x)是任一可微函数则

f

(

x)

'(

x)

dx

F

(

x)

C

f

(

x)

'(

x)

dx

f

(

x)

d(

x)(令u

(x))

f

(u)

duF

(u)

f

(u)

F

(u)

C

F

(

x)

C回代证明:(步骤)第一步:凑微分第二步:作变换第三步:求积分第四步:回代例1.

e

2

x

dx22

x

e

d2

x(令u

2

x)22

C2u

u

2

x

e

du

e

C

e回代例2.

1

dx1

x1

d(x

1)

(令u

x

1)1

x

u

1

du

ln

|

u

|

C

ln

|

x

1

|

C3

x

1dx

1例3.a则

f

(ax

b)

dx

1

F

(ax

b)

C13

x

1

3

1

d(3

x

1)3

1

ln

|

3

x

1

|

C一般地

若已知

f

(

x)

dx

F

(

x)

C3

5例4.

(3x

2)4

dx

1

1

(3

x

2)5

Cx

3

99

(

50

)dx

50

100

501

x

3

100

C2x

2

x

e

dx1

(

x)dx

ex

221

2

221

x

e

d1

x

2

e

Cx

221例5.

dx

15

16x

4x2

dx

1

(2

x

4)21

d(2

x

4)

2

1

(2

x

4)22

1

arcsin(

2

x

4)

C例6.例7.

e

xex

dxx

x

e

x

e

e

dx

e

e

d(ex

)x

ee

C

sec4

x

tan3

x

dx

sec2

x

tan3

x

sec2

x

dx

(1

tan2

x)

tan3

x

dtanx

(tan3

x

tan5

x)

dtanx

1

tan4

x

1

tan6

x

C4

6(或

sec3

x

tan2

x

d

sec

x)例8.secm

x

tan2n1

x

dx

secm1

x

tan2n

x

dsecx

secm1

x

(sec2

x

1)n

dsecx

sec2m

x

tann

x

dx

sec2m2

x

tann

x

dtanx

(tan2

x

1)m1

tann

x

dtanx一般地,例9.

tan

x

dxcos

xsin

x

dx

cos

xdcos

x

ln

|

cos

x

|

C试求:

cot

xdx

cos

x

dx

dsin

x

ln

|

sin

x

|

Csin

x

sin

x例10.

sec

x

dx

dx

cos

x1cos

x

dxcos

x2dsin

x21

sin

x(1

sin

x)(1

sin

x)dsin

x

dsin

x1

sin

x

12

1

sin

x1

12

1

ln(1

sin

x)

ln(1

sin

x)

C

ln

C

ln2 1

sin

x

21 1

sin

x

1

(1

sin

x)2

Ccos2

x

ln

|

sec

x

tan

x

|

C例10.解二:

sec

x

dx

ln

|

sec

x

tan

x

|

C试求:

csc

x

dx

ln

|

csc

x

cot

x

|

C

dxsec

x(sec

x

tan

x)sec

x

tan

xd(sec

x

tan

x)sec

x

tan

x例11.

cos(3

x

8)

cos(8x

3)

dx

cos(11x

5)

cos(5x

11)

dx12

2

11

5

1

1

sin(11x

5)

1

sin(5

x

11)

C2210

1

sin(11x

5)

1

sin(5

x

11)

C类似的,sin

x

cos

x

dx

sin

x

sin

x

dx先”积化和差”例12.sin2

x

dx

dx1

cos

2x224

1

x

1

sin

2x

C类似的,

sin2n

x

dx

cos2n

x

dx(半角公式降次)dx.

a21

x2a21

1

1

a

d

x

a

a2

x

2

a

21

x

dx

11a

1

arctan

x

C

.例13.

Cx3

3adx

1

arctan1

3

x2a2

x2a试求:

1

dx

arcsin

x

C例如:dx.1

x2

8

x

25dx

1(

x

4)2

9

1

arctan

x

4

C

.3

3例14.(

dx

1

arctan

u

C

)u2

a

2

a

a(u

x

4)dx.x

a2

x2

1

122d

(

x2

)a

x21

12d

(

x2

a2

)2

a

x22

1

ln(

x2

a2

)

C例15.

dx4

x

12

x

134

x

12x

5

dx124

x

12x

1314

x

2

12x

1322

1 d(4

x

12x

13)

dx

52(2

x

3)

42

1

ln(4x2

12x

13)

d2x

312x

3

2

45224

2

1

ln(4x2

12x

13)

5

arctan

2x

3

C例16.(分子一次凑分母导数)1dx.

x2

a2(

x

a)(

x

a)

1

)dx12a x

a x

adx

1

(1dx

1

1x

adx

2a

x

a12a

1

(ln

x

a

ln

x

a

)

C

1

ln

x

a

C2a x

a例17.1

(

x

a)(

x

b)dx.

1

(

1

1

)dxa

b x

a x

bdx

dx

a

b

1

1

1x

a x

b(ln

x

a

ln

x

b

)

Ca

b1一般地,

dxx

4

x

5x

72

dx

92

x

42

12x

4

x

5

dx12x

4

x

5x

2

4

x

5d(

x

2

4x

5)121

9

(

x

5)(

x

1)

dx1

1

15

x

1

dx2

6

x

1

ln

|

x

2

4x

5

|

9

1

ln

|

x

2

4x

5

|

3

ln

x

5

C2

2

x

1例18.(分子一次凑分母导数)x3

x

ln(arcsin

3

x

)

dxx1

9

arcsin

3ln(arcsin

3

x

)ln

31x

d(3

)x1

(3

x

)2

arcsin

3arcsin

3

xln(arcsin

3

x

)1x

d(arcsin3

)ln

31

ln(arcsin

3

x

)

dln(arcsin3

x

)ln

31ln(arcsin

3

x

)2

C2

ln

3例19.1

f6

(

x)2(

x)

f

(

x)

dx例20.

f

df

(

x)f

2(

x)61

f

(

x)1

1

df

3

(

x)1

f

6

(

x)33

1

arcsin

f

3

(

x)

C例21.

f

(

x)f

[

f

(

x)

1]

1

dx

f

[

f

(

x)

1]

1

df

(

x)

f

[

f

(

x)

1]

df

(

x)

df

(

x)

f

[

f

(

x)

1]

f

(

x)

C定理2(第二类换元法)若x

(t

)单调、可导,'(t

)

0且

F'(t

)

f

(t

)

'(t

)

f

(

x)

dx

f

(t)

(t

)

d

t

F[

1

(

x)]

C则

f

(t)(t

)

d

t

F

(t

)

C

F[

1

(

x)]

C证明:

f

(

x)

dx

x

(t

)

f

(t

)

d

(t

)B.

不定积分的第二类换元法步骤:作变换积分回代a

2

x

2

dx

(a

0)例1.解:令x

a

sin

ta2a

2

x2

dx

a

cos

t

a

cos

t

d

t

a

2

1

cos2t

d

t21x2

2xsin

t

aata

x2a

2aa

2

x

2cos

t

x)

Cx a

2

x

2(arcsin

a

aa22a

2

arcsinx

xa

2

a

2

x2

Cdx

a

costdt(

t

)2

2a2

(1

sin2

t

)

a

cost,则

a2

x2

(t

sin

2t

)

C

2(t

sin

t

cost

)

C2a21.三角代换(目的:去根号)(a

0)

dtdx a

sec2

ta

2

x2

a2

a

2

tan2

t

dt

sec

t

dta

sec

ta

sec2

t

1

ln

|

sec

t

tan

t

|

Ctx2

2a

xatan

t

xasec

t

22aa

x

lnaa

2

x

2

x

C1

ln

|

x

aa2

x2

|

C

t

),则2

2a2

x2解:令

x

a

tan

t

(例2.

dx

a2

x2

a2

(1

tan2

t

)

a

sec

t,

dx

a

sec2

tdt

ln

|

x

x

2

a

2

|

Cx

2

a

2dxxxa

2222

2xa

x

dx

a

x

arcsin

C2

2

ax

a

dx

2x

a

ln

|

x

x

2

a

2

|

C2a

22

222若被积函数中含有x

a

sin

t

或x

a

cos

ta

2

x

2a

2

x

2x

2

a

2例如:作变x

a

tan

t

或x

a

cot

t换x

a

sec

t

或x

a

csc

t总结:3

x

19

x

2

6

x

8dx

d(3x

1)3

x

1(3

x

1)2

9(令3x

1

3sec

t)3

tan

t1313

3sec

t

3sec

t

tan

t

d

t

tan2

t

dt

(sec2

t

1)

d

t

tan

t

t

C9x26x

839

x

2

6

x

8

3

arccos

C3

x

13

x

13x

1t3tan

t

3cos

t

39

x

2

6

x

8例3.dx例4.7x(1

x

)t(令x

1)(1

1)117tt)

d

t

t1

(2

d

t1

tt

67771

t7

1

1

d

t

7

1

ln

|

1

t

7

|

C7

1

ln

|

1

1

|

Cx7

x(1

xn

)dx一般nxn

1

ln

|

1

1

|

C2.倒数代换

dxx2

1

x21令x

t21

(1)2(

)

1

1t

t)

dt

1t

2

(

d

tt

2

1|

t

|

t

2

12

t

d

t

1

1

d(t

2

1)t

2

1t

2

1

C

(

1

)2

1

Cx

Cx1

x

2

例5.e

x

1

dx例6.e

x令

t

1则x

ln(t

2

1)原积分

t

2tt

2

1)d

t1

t

2

d

t

2(1

1

2t

2arctan

t

Ce

x

1

Ce

x

2

1

2arctan3.令整个根号为新变量解:例7.1

1

3

x

2

dx1

tt

1

1dt

32)dt

1

1

t

3 (t

1

2

3

(t

1)2

3

ln

|

t

1

|

C2

3

(3

x

2

1)2

3

ln

|

3

x

2

1

|

C令t

3

x

2

3t

dt1

t2说明当被积函数含有两种或两种以上的根式kx,,

lx

时,可采用令x

t

n(其中n为各根指数的最小公倍数)例8.求dx.1x(1

3

x

)解:

x

t

6

dx

6t

5dt,dxx(1

3

x

)1

6t

5

6t

2t

3

(1

t

2

)

dt

1

t

2

dt1

6

(1

1

t

2

)dtx

6arctan

6

x

C

6t

6arctan

t

C

66乘积求微分公式d(uv)

u

dv

v

du两边积分uv

u

dv

v

du改写为

u

dv

uv

v

du分部积分公式例1

x

cos

x

dx则duv

s注意(I)v

要容易求得;(II)u'要比u

更简单解:

u

dv

co

x

cos

x

dx

x

sin

x

sin

x

dx

x

sin

x

cos

x

C6.1.3

不定积分的分部积分法例

2

arctan

x

dx则du

1

x

2dx令u

arctan

xv

x

x

arctan

x

dx1

xx2

x

arctan

x12ln(1

x

)

C2例

3

x2e

x

dx

x

2de

x

x2e

x

(

e

x

2

x

dx)

x2e

x

2

x

de

x

x2e

x

2xe

x

2

e

x

dx

x2e

x

2xe

x

2e

x

C被积函数多项式

正、余弦函数多项式

指数函数多项式反三角函数多项式

对数函数画红线者拖到d后面ex

sin

x

或ex

cos

x两者都可

3x

2

ln(

x

1)

dx

ln(

x

1)

d(

x

3

1)例43x

3

1

(

x

1)

ln(

x

1)

x

1

dx

(

x3

1)

ln(

x

1)

(

x

2

x

1)

dx

(

x3

1)

ln(

x

1)

1

x

3

1

x

2

x

C3

2x

e

dx例535

x31333

xx

e

d

x

3133

xx

d

e33

x13x

e

313x

3e

d

x

3

xx

e

13

33

1

e

x

3

C

sec3

x

dx

sec

x

dtan

x例6

sec

x

tan

x

tan2

x

sec

x

dx

sec

x

tan

x

(sec2

x

1)

sec

x

dx

sec

x

tan

x

sec3

x

dx

sec

x

dx2

1[sec

x

tan

x

ln

|

sec

x

tan

x

|]

C例7.求积分

ex

sin

xdx.解

ex

sin

xdx

sin

xdex

ex

sin

x

exd

(sin

x)

ex

sin

x

excos

xdx

ex

sin

x

cos

xdex

ex

sin

x

(ex

cos

x

exd

cos

x)

ex

(sin

x

cos

x)

ex

sin

xdx2x

exsin

xdx

e

(sin

x

cos

x)

C

.注意循环形式例

8.

e

x

dx解:

t

x

t

2d

x

2t

d

t

2t

et

2

et

d

t

2t

et

2et

Cx

x

2 x

e

2e

Cx

dx

et

2t

dt

2t

det

e2例

9.已知

f

(

x)的一个原函数是e

x

,

xf

(

x)dx.解:

xf

(

x)dx

xdf

(

x)

xf

(

x)

f

(

x)dx,

f

(

x)dx

f

(

x),

f

(

x)dx

e

x2

C,2上式两边同时对x求导,

f

(

x)

2

xe

x

,

xf

(

x)dx

xf

(

x)

f

(

x)dx2

2

2x2e

x

e

x

C

.Q(

x)P(

x)R(

x)

xmma

a

x

a

xn

0

1

n

b

b

x

b0

1n

m

时R(x)是真分式n

m

时R(x)是假分式任一假分式可以通过多项式除法化为一个多项式与一真分式之和.x

2

2

x

1x4

5例如2

4

x

2

x

2

x

3

x

2

2

x

16.1.4

几种特殊类型函数的积分1.有理函数的积分法(I)有理函数具体可表示为Q(

x)(II)

将真分式R(x)

P(x)分解为部分分式.原理Q(x)在实数范围内可分解为一次因式与二次因式之积x

3

x

2

2

x(i)

2

x

3

2

x

3x(

x

2)(

x

1)B

A

x x

2

x

1Cx(

x

1)3x

3

1(ii)

A

B

C

(

x

1)3

(

x

1)2x

x

1D(

x

1)(

x

2

x

3) x

4

A

Bx

C

(iii)x

1x

2

x

3(

x

2)(

x

2

1)22

x

2

2x

13(iv)A

x

2

(

x

2

1)2Bx

Cx

2

1Dx

E项。形如1(g(a)

0)拆开必含(

x

a)g(a)1(

x

a)g(

x)1(

x

5)

3(

x

2)

(3)1(

x

2)(

x

5)1例如:确定待定系数(III)通分后,比较同次幂系数四种部分分式的积分类型(IV)

dx

x

adx(i)(

x

a)n(ii)

dxx

2

px

qAx

BAx

B(iii)

dx(

x

2

px

q)m(iv)(

p2

4q)(

p2

4q)

ln

|

x

a

|

C

C

n11

n

(

x

a)1

1

dxx

2

2

x

43

x

2例1

dx

5x

2

x

4

3 2

x

2

22

dxx

2

2

x

41x

2

2

x

423 d(

x

2

2

x

4)

5

(

x

1)2

3d(

x

1)

3

ln(

x

2

2x

4)

5

arctan

x

1

C2

3

3

dx(

x

2

4x

13)28

x

31例2

d

x

152

x

4

4

(

x

2

4

x

13)2(

x

2

4

x

13)2d

xd

x

4

(

x

2

4

x

13)2d(

x

2

4

x

13)[(

x

2)2

9]2

15x

2

4

x

13

4

15d

x[(

x

2)2

9]2

dx(

x

2

4x

13)28

x

31例2

4x

2

4

x

13

15d

x[(

x

2)2

9]22[(

x

2)

9]d

x(令x

2

3tan

t

)2

81sec4

t

d

t3sec2

t1272cos

t

d

t

d

t1 1

cos

2t22754t

1

sin

2t

C1083x

23x2

4x

13t3tan

t

x

254

3x

2

4

x

13x

2x

2x

2

4

x

13

C54

1

arctan

x

2

118

x

2

4

x

13

C54

3

1

arctan

x

2

1x

2

4

x

1354

3

15

arctan

x

2

1518

x

2

4

x

13x

2

C

dx(

x

2

4x

13)28

x

31例2

4x

2

4

x

13

4

15[(

x

2)2

9]2d

xx

2例

3

1

x4

d

xx

2

(1

x

2

)(1

x

2

)

d

x2

2

1

1

1

x

1

x2

1d

x21

arctan

x

d

x4

1

x

1

x

1

1

1

24

1

arctan

x

1[ln

|

1

x

|

ln

|

1

x

|]

CR(sin

x,cos

x)

d

x(I)(

x

)x2t

tan万能代换:则

x

2d

t1

t

2d

x

2sin

x

2sin

cos2

2x x

2tan

cos2x

2

x

22

tan22

x2x1

tan21

t2t2xcos

x

2

cos2

1

1

1

t

2221

t

21

t2

,

2

)

2

d

t2t

1

t

2

21

t

1

t

1

tR(sin

x,cos

x)

d

x

R(

2.三角有理函数的积分法d

x4

5cos

x1例42(令t

tan

x

)4

51

t

21

t

2d

t

1

t

22

d

t9

t221

1

1

d

t3

3

t

3

t

Cln1 3

t3 3

t23

tan

x2

C3

tan

x3

1

ln数,即R(

sin

x,cos

x)

R(sin

x,cos

x)(则作代换:若R(sin

x,cos

x)是cos

x

的奇函数即R(sin

x,

cos

x)

R(sin

x,cos

x)则作代换:t

sin

xsin4

x例5.

tan

x

cos6

x

d

x

d

x

(令t

sin

x

则cos

x

dx

d

t

)sin

x3cos5

x

t

3(1

t

2

)2

d

t

(

t

)

d

tt1

2t32

1

2ln

|

t

|

1

t

2

C2

2

ln

|

sin

x

|

1

sin2

x

C2sin2

x2t

21则可作代换:t

tan

xcos4

xsin2

x

1例6

d

x

cos2

x

cos2

xsin2

x

1 d

x

(tan2

x

sec2

x)

dtan

x

(2

tan2

x

1)

dtan

x3

2

tan3

x

tan

x

C若R(

sin

x,

cos(III)ax2

bx

c

)已解决的无理函数:R(x,n(I)

R(

x,

d

x例732(

x

1)

(

x

1)ax

b)

dxx

1

16(令

t

x

1)

t

6

t

4t

3

1

6

t

5d

t

6

d

tt(t

3

1)2t

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