专题27 向量的数量积-数量积的投影定义(学生版)

专题27 向量的数量积数量积的投影定义【热点聚焦与扩展】借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．1、向量的投影：有向线段的值：设有一l，AB是轴上的有向线段，如果实满足AB，且当AB与轴同向0AB0，则称为轴lAB.点在直线上的投影：若点A在直线lAAA'lAAA在直线l上的投影；若A在直线lAA在直线lA'A..AAA'向量的投影：已知向量a,b，若aB在b所在轴l（与b同向）A'B'，则向量A'B'在轴l上的值称为a在b上的投影，向量A'B'称为a在b上的投影向量.2为向量a,b的夹角为锐角：则投影（无论是a在b上的投影还是b在a上的投影）均为正为直角：则投影为零为钝角：则投影为负3、投影的计算公式：以a在b上的投影为例，通过构造直角三角形可以发现当为锐角时，bcos，因为0，所以bcosbcos当为锐角时，bcosbcos，因为0，所以bcos即bcosbcos当0，而cos0，所以也符合a在b上的投影bcos，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义 或向量a,b数量积公式为ababcos，可变形为aba bcos或

abbacos，进而与向量投影找到联系，进而与a,b的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即abb （记 为a在b上的投影）ab ab投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：C．2D． 2C．10DC．2D． 2C．10D．2

abb ，即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影，例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题【经典例题】例1（2020吉林高三三模）已知向量a,，b2,4，若ab，cab，则a在c上的投影为（ ）A．1 B．例2（2020安徽省泗县第一中学高三三模）已知向量a(t,2)，b(3,4)，(ab)b，则a在b方向上的投影为（ ）A．-5 B．5 C．6 D．7例32020湖北武高三三模）已知向量a，b满足|a4，b在a上投影为2，则|ab|的最小值为（ ）A．12 B．10例4（2020长郡中学高三三模）在ABC中|ABAC||ABAC|,AB3,AC4,则BC在CA方向上的投影为（ ．A．4 B．3 C．-4 D．5例5（2020哈尔滨市第一中学校高三三模）设OA2，OB1，OAOB0，OPOAOB且4 55A ,2 ,24 55

2 5,2

2 5 ,2． 5

B．5

C． 5

D． 5 例6（2020全国高三三模已知非零向量a，

ab

ab

a1，b

2， ，2则a在c方向上的投影为（ ）

b c2ab6A． B．63

C．333

123 D．32例7（2020全国ft东省实验高三三模已知ABCAB6AC3N是边BCBN2NC，O为的外心，AN·AO的值为（ ）A．8 B．10 C．18 D．9例8（2020浙江高三三模）已知向量|a2，|b|=1，向量a在向量c上的投影等于1，则|abc|的最小值.【精选精练】12020四川省内江市第六中学高三三模）a与b的夹角是2π

a1b4，则a在b上的投影为（ ）.

3，且12

12

C．D．22（2020浙江高三三模）已知a1,2，b1,7，c2ab，则c在a方向上的投影为（ ）3 53 55

C．3 D．223 5310 10 5223 531，则向量OA在OP上的投影的取值范围（）3（2020安徽高三三模已知向量ab满足a,2ab6,5且a在b方向上的投影是522，则实数m（ ）A．2 B．C．1 D．34（2020梅河口市第五中学三模OAB的长为3

C满足OAOBOC0，那么AC在OA方向上的投影为（ ）12

1 C．32 23

D．325（2020安徽省舒城中学高三三模已知非零向量a,b满足a4,b2且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则ab等于（ ）5A．1 B．256（2020浙江高三三模）已知e，e，e1 2 3

C．5D．3是空间单位向量，且满足5D．31 2

ee2

ee3

1，若向量2b3e1

e2

R.则e3

在b方向上的投影的最大值为（ ）232 323A． B． C． D．2 3 2 37（2020哈尔滨市第一中学校高三三模）设OA2，OB1，OAOB0，OPOAOB，且1，则向量OA在OP上的投影的取值范围( ) 4C．5,252 52 5 4C．5,252 52 5 5 5

4 5 D． 5 ,2 8（2020浙江高三三模）若AB4，ACCB，平面内一点P，满足PA

PBPC，sin|PA| |PB|的最大值是（ ）2 1 1 1A．3 B．2 C．3 D．69（2020重庆高三三模）“345”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定现有ABC满足勾3股4弦5”其中AB4D为弦C上一点（不含端点，且ABD满足勾股定理则ABAD（ ）25 25A．144 B．169

16925

1442510（2020辽宁沙河辽师大附中高三三模）在ABC中，AC3，向量AB 在AC上的投影的数量为2,S 3，则BC( )2ABC2729A．5 B．2 C．729

D．4 12020浙江省富阳中学高三三模）已知向量a，b，c满足a4，a在b方向上的投影为2， cca 3，则|bc|的最小值为（