微积分II课件：6-1 多元数量值函数积分的概念与性质

曲边三角形曲边梯形椭圆定积分概念的引出:

求不规则图形面积.第六章多元数量值函数积分学xaby二、近似：小矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积；三、求和：

四、取极限一、分割：将曲边梯形任意分成个小曲边梯形；§6.1多元数量值函数积分的概念与性质

一、物体的质量的细杆，通过分割、作乘积、求和、取极限的步骤，其质量可表示为定积分：在一元函数的定积分中我们知道：一线密度为以均匀密度近似替代非均匀密度

设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D,1．平面薄片的质量问题小块质量近似看作均匀薄片，薄片总质量在点处的面密度，假定取典型小块，将其近似将薄片分割成若干小块，2.空间物体的质量问题设有一空间物体分布在有界闭区域V上，其体密度作乘积

小体积的质量的近似值将闭区域V任意分成n个小闭区域，表示它的体积，其中,表示第i个小闭区域，也

在每个

上任取一点为且

在V上连续.分割求和取极限近似3.曲线型物体的质量问题4.曲面型物体的质量问题分割

近似

求和取极限设其面密度为

,点M在S上，且在S上连续.二、多元数量值函数积分的概念以上几个求物体质量问题在数学上可抽象出：曲线段，或者是一块平面区域、一块曲面、一个空间区域等），这个几何体是可以度量的（即它是可定义设为一有界闭区域的几何形体(可以是直线、求长的，可求面积和体积的），在

上定义了一个有界函数f(M),.将此几何形体任意分割成n个小块此极限值称为f(M)在几何形体

上的积分。记为：上述和式的极限存在，则称函数f(M)在上可积分，其中：称为积分域；称为被积表达式或积分微元；2.当被积函数f(M)≡1时，积分量就是4.以后我们总假定函数f(M)在可积.注:1.当f(M)为几何形体的密度函数时，其质

在直角坐标系下用平行于面积元素为在D上的积分则称为二重积分，坐标轴的直线网来划分区域D.1.设几何形体是一平面区域D，三、不同几何形体上积分的表达式就称为三重积分.记为如果几何形体是一空间区域V，那么在V上的积分2.设几何形体是一空间区域V上的积分就称为第一类曲线积分或对弧长的曲线积分.记为：如果L是闭曲线，常记为：3.设几何形体

为一条平面或空间曲线L，那么在L为第一类曲面积分或对面积的曲面积分.如果S是闭曲面，常记为那么在S上的积分就称4.设几何形体为一曲面S，四、多元数量值函数积分的性质性质1（线性性质）注以下性质的证明与定积分的证明完全类似.性质2（区域可加性）闭区域分成两个闭区域且与无公共内点，则性质3（不等式性质）如果在上满足f(M)g(M),则性质4(估值定理)最大值，则性质5（积分中值定理）设m,M分别是f(M)在闭几何形体上的最小值和设f(M)在闭几何形体上连续，则存在M0

，使得如果被积函数关于变量为偶函数，其中为中某一侧的部分.上述性质6（对称性）奇、偶函数在对称区域上的积分

当积分域关于（在平面直角坐标系中表示轴，在空间直角坐标系中表示坐标面）对称时：如果被积函数关于变量为奇函数，解

例1不作计算，估计的值，

其中是椭圆闭区域：

在上

由性质4知

解例2

估计

的值，其中D：区域面积在上的最大值

的最小值

y2