2018年图形与几何内容的理解和分析

图形与几何内容的理解和分析一、图形与几何内容变化及其主线“图形与几何”的课程内容，以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力和应用意识为核心展开。这一领域的教学内容仍然分为四部分：图形的认识；测量；图形的运动；图形与位置。将“图形与变化”改为“图形的运动”因为运动更为直观易懂，突出了从运动的角度刻画图形。“图形的认识”对图形认识的要求主要包括两个方面：一是对图形自身特征的认识，二是对图形个元素之间、图形与图形之间关系的认识。对图形自身特征的认识，是图形与几何领域的重要内容，是进一步研究图形的基础。学生在丰富的生活经验的基础上，认识常见的立体图形和平面图形，它们分别是“无线、五角、七形、四体”。在不同学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从辨认到初步认识。如“平行四边形、长方体和正方体”等，第一学段都是要求能辨认；第二学段要求认识其特征；这种要求的层次性，既体现了从整体到局部的认识过程，也符合学生的认知特点，逐步深入、循序渐进。对于图形的各元素之间、图形与图形之间的关系的认识，主要包括大小、位置、形状之间关系的认识。如三角形三边关系、五种角的大小关系、四边形之间的关系都是对图形大小关系的研究。如何通过图形的认识的教学，促进学生空间观念的发展？（教学建议）1•重视通过对实物的观察和操作认识图形，发展空间观念。在图形的认识的探索过程中，学生必然要从事多种活动。这些活动，既包括学生的观察活动，也包括学生的操作活动，比如撕、剪、拼、折、画，还包括学生的想象活动。当然，还包括一些简单的推理，以及对图形及其特征的表达。教学中，非常重要的一点，是能将观察、操作、想象、推理、表达进行有机地结合。举个例子：对于长方形特征的探索，教师可以首先鼓励学生观察，提出一些猜想：他们的对边相等…在此基础上，教师可以鼓励学生运用操作对猜想进行验证。最后，还可以鼓励学生用自己的语言表达出长方形的特征。这里需要强调的是学生操作的重要性。学生通过折叠、剪拼、画图、测量、建构模型、分类等活动，对图形的多方面性质有了亲身的感受，这不仅为正式学习图形的性质打下基础，同时也积累了数学活动经验，发展了空间观念。亲身实践远比只是看一下要获得远远多的对图形的“洞察”。教师还要鼓励学生在操作中积极思考，否则，缺乏思考的盲目操作会造成操作的无效性。为了说明问题，下面介绍“三角形三边关系”一课：首先，教师精心设计了学生操作的学具，画在透明胶片上的16厘米长的线段作为学生操作探究的学具，线段可以较好地控制因粗细造成的歧义，更好地抓住认知本质。16厘米能够出现我们所需要的各种数据情况，为找关系、归纳规律做好条件准备。学具的选择给学生的探究提供了空间。学生每人一条胶片，剪三段后，有的能够围成三角形（4,5，7；2，7，7），有的不能围成三角形（4，3，9；3，5，8；4，4，8），多种情况的出现为后面总结三角形三边关系提供了充足的数据，也为学生发现问题、提出问题提供了空间。学生在自主操作的基础上，结合大量的数据，能够容易得出“任意两边之和大于第三边”。教师引导学生进一步对“任意”进行理解，适时加入字母，使学生深入理解了任意的含义。课堂上，学生“随便两条边”到“所有两边”再到“两条短边之和大于长边”的结论，这个过程就是学生认知不断发展的过程，从片面到全面，最后达到了数学的简洁、严谨。字母表达式的引入，突出了数学结论的概括性，培养了符号感。教师在处理“两边之和等于第三边”时，对“3，5,8”这种情况给予了足够的时间，适时利用学生之间的认知冲突，引发生生之间的对话，学生通过对数据的分析，进行了简单的推理，如有学生说：3+5=8，8和8都重合了，鼓不起来了，拼不成。很容易理解了“两边之和等于第三边围不成三角形”的情况，既使学生感受到了数据的作用，又发展了学生的空间观念。从对实物的观察和操作过程中来认识图形，既符合学生认识事物的规律，也符合数学课程的目标要求。这样的过程有助于学生发展空间观念，初步体会数学的思想方法，发展积极的情感和态度。2•重视二维图形和三维图形之间的转换，发展空间观念。“面对一个几何体或者实物时，能想象出它所对应的平面图形如三视图、展开图；反之，当看到某个三视图展开图时，能想象出它所对应的几何体或实物的形状”是空间观念的重要表现。所以，教师应注意设计丰富的活动促进学生进行平面和立体的转化。在第一、二学段，可以借助以下教学内容实现这种转换：观察物体，物体的折叠和展开；旋转体——圆柱、圆锥的形成和剪切等。如，观察物体的教学，在小学阶段有如下要求：从不同角度观察，虽然还不是真正的视图，但的确实现了把三维空间向二维空间转化的过程，教学时要通过各种观察活动促成目标的达成。图形的折叠是指把一个平面图形进行折叠成为一个立体图形，图形的展开即是立体图形展开成平面图形。折叠和展开过去教材也有长方体正方体和圆柱的展开图。但是现在这个做法要加强，而且在进行折叠和展开当中，操作过程必须要通过学生的想象，那么这个过程本身实际上是让学生认识到，立体图形的结构和展开图之间的对应关系。那怎么让学生认识这个对应关系呢？正方体展开图，让学生经历这样的学习过程：转化一一转化一一思考：探索正方体的展开图学生在操作之前，首先得想象一下，可能会是什么样子；然后再通过操作，验证自己的想法；再进一步理解三维和二维图形之间的对应关系并把这个过程表现出来。这几步对发展学生的空间观念非常重要。在图形的转换中引导学生观察、抽象、想象，发展空间观念。教学中应注重展开和折叠的操作过程，通过想象实现图形之间的转换，让学生记忆展开图的数量和类型的做法是不可取的。如教学圆柱的认识，应该开展以下活动进一步认识：第一从不同角度观察圆柱，分析从不同角度观察圆柱，分析从不同角度分别看到什么样的结果；第二从不同的角度观察圆柱，想象剪开后的图形会是什么样子？第三把圆柱切割成两部分，不同的切法截面可能是什么形状？总之，认识图形过程中学生要经历大量的操作活动，有利于积累数学活动经验，发展学生空间观念，教学中要予以充分重视。“测量”测量在内容上稍有调整：考虑到学生的生活经验，将“平方千米和公顷”的学习移到第二学段，并降低了要求。那么，如何以“测量”为载体，体会测量的意义，认识度量单位及其实际意义，渗透度量意识？如何在图形测过程中帮助学生感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法，积累数学活动经验，培养学生的空间观念？如何在图形测量的过程中培养学生的估测意识和能力，体验解题方法的多样性？使学生体会建立统一度量单位的必要性，体会度量单位的实际意义原来度量单位的教学常常是把重点放在计量单位的换算上，而对于为什么要引入这个度量单位，以及对这些度量单位实际大小的感知相对比较忽视。许多教师困惑，在教学长度单位的认识时为什么要先讲统一单位，再认识长度单位呢？例如，二年级上册第一单元“长度单位”，例1不是认识厘米，而是创设了一个活动的情境，让学生测量数学书封面的长度。教材呈现有的学生用硬币量，有的用三角形、曲别针量…对比测量的结果。还包括让学生感受同一物体用不同的测量工具，测量出的结果的对比。教学时为什么不直接认识厘米，为什么要拐弯呢？度量单位是度量的核心，度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范围内应用和交流的前提。因此,在课程的实施过程中，应该为学生提供必要的机会，鼓励学生选择不通过的方法进行测量，并在相互交流中发现单位的选择对测量结果的影响，进而体会到建立统一度量单位的必要性。比如，长度单位的认识，鼓励学生采用不同的方法测量相同的长度，学生随意将身边的物体作为测量工具测量，所得到的结果不同，问题是你的长度你知道，我的长度我知道，但是大家不知道，怎样表示测量结果使大家都知道？这时同学们就会有一个共同的心理需求。必须要有一个公认的单位作为大家交流的工具，统一单位作为大家的需求产生了，体会了知识产生的必要和自然。让学生了解建立标准测量单位的现实来源是非常重要的，它有助于学生从知识本身的逻辑体系出发，对建立标准长度的意义有个客观、正确的认识。同时，该编排也突出了数学的文化内涵，帮助学生感受数学对社会发展的推动作用。关于建立统一度量单位的重要性，不仅在长度的测量中要予以关注，在面积和体积的测量中仍要让学生去感受，因为一个重要的思想是需要螺旋上升的。如何帮助学生理解和把握度量单位的实际意义呢？教学中，学生在完成“一张床长2();一个文具盒长2()；一本书厚2()”之类的练习时，不能正确选用适当的长度单位。再如：三年级学生认识面积单位之后，测试这样一题：将8张同学们用的课桌拼在一起，拼成的大课桌桌面面积大约是()A80平方分米B8平方米C2平方米。多一半学生不会选择。这些现象说明了什么？以“长度”内容教学为例，过去的教学模式大多是先给出标准的长度单位，然后在此基础上进行单位换算和周长计算，这很容易使教学的关注点集中于记忆长度单位有哪些、如何换算、周长计算公式是什么，从而导致学生对长度单位的实际意义、以及周长的概念理解存在一定程度的局限。学生练习时出现上述错误，就是没有建立起长度单位、面积单位的表象，对每个单位的实际意义不清楚。长度、面积、体积单位是比较抽象的数学概念，对于它们的体会和认识应当通过实践活动，在具体体验和感悟中认识它们的意义。具体做法有：借助身边熟悉的物体建立表象。例如，生活中哪些物体的长度大约为1米，1厘米的长度可以用什么熟悉的物体来估计，哪些物体的面大约是1平方分米，哪些物体的体积大约是1立方米等。身边熟悉的物体可以随时帮助学生看到或记忆单位的表象重视在实际测量活动中建立表象设计一些有意义的测量活动，让学生在操作中感受测量的实际意义，掌握测量的具体方法。例如：测量教室的长度；测量课桌的面积；测量土豆的体积等。在测量的过程中可以根据测量内容，学生自己恰当选择度量单位、工具和方法进行测量。选择的过程其实就是一个深化的过程。学生只有在亲身实践中才能积累对度量单位实际意义的认识。注意将估测与准确测量有机结合。可以让学生先根据长度或面积单位的表象进行估测，然后利用标准的单位进行测量，这样对比精确测量的结果与估测结果之间的差距，不断调整在头脑中的单位表象，逐步帮助学生对单位的实际意义建立正确表象。如果学生形成和获得单位的正确表象后，在今后的测量和计算中，脑中就会浮现相应的空间意义，这样学生就能正确解答相关问题，大大减少上述错例中的问题。对单位实际意义的建立不是一节课所能完成的任务，也不必仅仅局限于数学课堂，更需要学生在日常生活中经常观察、体验、感受，逐步地培养。在图形测量过程中感悟数学思想，了解掌握测量的基本方法，积累数学活动经验，培养学生的空间观念。测量简单图形的周长、会用方格纸估计不规则图形的面积、体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法等，通过这样的测量，学生不仅能进一步加深对度量意义的理解，而且能在运用所学知识解决问题的过程中，感悟数学思想。在平面图形面积公式的推导过程中，教师经常是让学生利用学具进行操作活动，将新图形转化成学过的已知图形，从而找到新旧两个图形之间的对应关系，从而推导出公式。在这个过程中，巧妙地渗透了转化的思想。以往的教学中，学生计算长、正方形和圆的周长非常熟练，但是对于平行四边形和三角形等没有给出周长计算公式的图形往往会感到困惑，尤其是面对一些不熟悉的图形，有些学生甚至无从下手。学生计算图形的周长和面积时总是混淆，计算立体图形的表面积和体积总分不清。例如，学生不会计算没有公式的图形周长。学生在解决这个问题时就是模仿长方形的周长计算方法，在脑海中没有周长的含义，只有周长计算公式，遇到此类题目简单模仿。再如，学生将周长和面积问题相混淆。这是利用面积知识解决问题，但是学生分不清面积和周长各指的是什么？头脑中两个概念是混乱的，解决问题时学生不能准确选择相应的知识解答。学生为什么会出现这种情况？究其原因，可能是因为传统教学的重点主要集中在几个特殊图形的周长、面积、体积的计算上，因为有公式可以直接计算，导致学生实际对周长、面积、体积概念理解不到位，没有真正理解这些概念的本质含义。包括对周长面积的计算分不清，也是对周长、面积概念的理解不清晰导致的。在周长、面积、体积三个测量的量中，周长是学生最难感知的，也是学生最难理解的。下面以“周长”为例谈谈如何帮助学生清晰的认识测量“量”。首先，教师要准确把握概念的本质含义。周长在小学课本里解释为封闭曲线一周的长度，词典中解释为：环绕有限面积的区域边缘的长度积分，叫做周长。可见周长有两层含义：一是封闭图形的一周；二是长度。同时周长和长度有着密切的联系，它与长度同属于一维空间的测量。而周长却用于二维空间（平面）之上。周长和面积同属于同一平面内，有周长一定会有面积，它们之间存在着一定的联系，但它们之间也有明显的区别。面积指的是封闭图形围成的面的大小，面积属于二维空间的度量，基础是相等面积单位的紧密铺排；周长是一维空间的度量，是相同长度单位的叠加。因为面积和周长同处于一个平面内，平时我们观察图形时首先关注的一定是面积，所以学生对周长的感知会差一些，在解决周长和面积的问题时也易发生混淆。接下来，教师教学时一定要突出概念的本质含义。例如，一位教师在教学“周长”一课时，在比较两个图形一周谁的更长些，利用活动学具将图形的边线断开从图形上取下来，拉直并测量长度。使学生清晰地看到周长是指图形的边线，是图形一周边线的长度，让学生很好地感受周长是一维的长度，引导学生对周长的进一步理解。教材中不仅呈现了一些规则的图形，也呈现了不规则图形，要让学生知道三角形、五角星、圆形这些图形也有周长，像树叶形、心形…这些图形也有周长，只要是平面上的任意封闭图形都有周长，帮助学生从更为一般的意义上理解周长的含义。同时，学生用直尺、绳子测量这些图形周长的时候，不仅能深化理解周长的含义，而且在学习测量不规则图形周长的过程中，很好地渗透数学思想方法（以直代曲一—极限思想；化曲为直一一转化思想）。数学中还要考虑到小学生具体形象思维的特点，让学生通过充分的观察感知周长的特点；通过操作体验、感悟周长的含义；通过辨析等活动，进一步区分面积和周长的不同。这样通过不同感官、不同手段加深学生对概念内涵的深刻理解。在图形测量的过程中培养学生的估测意识和能力，体验解决问题方法的多样性。估测和估计是《标准（2017版）》突出强调的内容。估测和估计，既是一种意识的体现，也是一种能力的表现；不仅具有现实的意义，而且有助于学生感受度量单位的大小。估测的意识和能力是在实践中发展起来的。《标准（2017版）》要求“能估测一些物体的长度，并进行测量”，并给出具体的实践任务“测量并计算一张给定正方形纸的面积，利用结果估计课桌面的面积；测量步长，利用步长估计教室的面积”。这样把测量和面积计算有机地结合起来，有利于学生体会估测的作用以及估测的方法。教材在学生积累了足够的实际测量经验后，给她们提供了先估测再实测的练习，让学生比较估测与实际测量所得结果的差别，从而修订自己的估测策略一估测物体的长度在理解长度单位“米”的基础上，估测自己的步长；以自己的步长为参照物，估测教室的长和宽；步测算出教室的长和宽；利用长方形周长计算公式计算出教室一周的长度。同样还可以测量步长，利用步长估计教师的面积。这样，把测量和面积计算有机结合起来，有利于学生体会估测的作用和方法。二测量不规则图形的面积。如图1，图中每个小方格为1个面积单位，试估计曲线所围成的面积。教师对此题目并不陌生，解决这个问题通常做法是数方格。先数数有多少个整格，再数数有几个半格，把不满整格的进行整合，最后累加起来。这是我们估计不规则图形常用的方法。但是这种估算面积的方法并没能体现估算的价值，此题还可以挖掘更丰富、更深刻的内涵，充分体现该题的数学教育价值。如图2，教学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形的面积。例如，教学中教师可以启发学生首先观察图形，边观察边进行思考：“你认为曲线围成的面积可能会在哪个范围之间呢？你能用已有的经验来解决这个问题吗？”教师可以引导学生试一试。首先选择好用来估计的“单位”即：以图形中的一个小方格为一个单位，再找出曲线围成图形面积的上界和下界。学生可以这样操作，先数出曲线围成图形内包含的完整小方格数，用彩笔圈出，估计出曲线围成图形面积的下界（75个单位）；然后再数出曲线围成图形边缘接触到的所有小方格数，彩笔圈出，估计出曲线围成图形面积的上界（113个单位）•进一步引导学生发现，第一种方法估计的比实际面积小，第二种方法估计的比实际面积大，实际的面积在这两个数之间。由此确定曲线围成图形面积可能的取值范围。在此基础上教师可以鼓励引导学生用自己的方法进行估计，通过记录、计算、比较的探究过程，体会估算的意义和方法。如图3，教师可以继续追问：“那么还有什么方法能使估算的结果更接近实际面积的吗？试一试！”对学有余力的学生无疑是提出了更富有挑战性的问题。引导学生将所有的方格等分成更小的方格，继续利用上面的经验，探索出更接近实际面积的估算值，渗透极限思想。“数方格”的设计没能充分体现估算的学习价值，只是把估算当作一个操作技能去教，为了教估算而估算。“寻找区间”的设计则注重学生估算意识和方法的培养。特别是选择合适的估计“单位”是引导学生进行有效估算的关键，引导学生体验逐渐逼近的极限思想。教学过程中教师要注重帮助学生养成事先做好规划的习惯，启发学生运用不同的方法估计图形的面积。通过对上界和下界的确定，帮助学生寻求取值范围，找到合适的区间。这个上界和下界的确定，对学生体验估算是很有意义的。这是真正意义上估算价值的体现。特别是通过教师引导学生将方格等分成更小的方格，使估算值更逼近准确值，从中渗透“极限”的数学思想。这对学生的数学学习很有意义。三估测实物的体积，体验某些实物体积的测量方法。教材安排用排水法来测量不规则物体体积。利用有刻度的量杯记录下放入西红柿前后水位的刻度，水面上升部分水的体积就是西红柿的体积。在实验操作中引导学生理解“水面上升空间大小就是浸入水中物体体积”，实际是把未知转化成已知来解决问题，这是解决问题的一个重要的思想方法。“测量不规则物体的体积”既有助于学生进一步理解体积的含义，培养估算意识，又能帮助学生发展解决实际问题的能力。估测及其简单应用教学要通过在具体情境下的问题解决，培养学生用近似的思想解决问题，培养学生估算意识和方法，让学生多拥有一种解决问题的方法。并在其中帮助学生感受数学思想方法，积累数学活动的经验。“图形的运动”图形的运动有两种注意方式：一是合同运动，指运动前后图形的形状和大小不变，仅仅位置发生变化；二是相似运动，指运动前后图形的形状不变而大小变化。《标准（2017版）》在第一学段适当降低了要求，去掉了在方格纸上作图的要求，放入第二学段，这样两个学段层次更明确：第一学段侧重于对这两种运动的直观认识。第二学段。对于这两种运动，借助在方格纸上画图去定量刻画图形的运动，并通过丰富的活动体会两种运动的特征。总体上看这部分内容降低了难度，更加强调观察与操作，积累数学活动经验。大量的操作性活动有利于学生积累数学活动经验，教学中要予以充分的重视。结合生活实例，在观察和比较中认识图形的运动。内容的选择要贴近学生实际，有利于学生体验、思考与探索。因为儿童的抽象思维需要具体形象思维和生活经验予以支撑，对感知图形运动这样的抽象概念尤其重要。小学阶段关于图形的运动定位在积累感性经验，形成初步认识。因此结合实例展开教学是一条相当重要的教学策略。在生活中有很多图形和图案呈现出对称、平移或旋转的形式，通过对称、平移和旋转变换同样可以设计制作美丽的图案。因此，在教学中，多收集一些这样的素材，通过学生的观察、比较，引导学生从运动变化的角度去发现不同的图形变换。借助操作活动，加深对图形运动的认识，帮助学生体会变换的特征。操作是一种重要的实践活动。图形变换的操作主要是在方格纸上画一个图形经过某种变换后的图形和剪对称图形。应鼓励学生动手操作，并在操作过程中积极思考，发展思维能力。特别是学生存在的困难，比如在方格纸上进行平移时，找平移距离时没有找对平移前后两个对应点之间的距离，而是中间空白部分的距离。要克服这个困难最重要的还是要操作；学生对确定旋转角度感觉很困难，也是要鼓励学生去操作。再如，在教学“线的旋转”环节让学生通过用铅笔表示线段，在桌面方格中以三种不同的旋转中心（铅笔尖、铅笔尾与铅笔中心）进行旋转，来感悟旋转中心可以是线段上的任意一点。为后面在方格纸上画线段提供实物支撑。当然，操作还应该与适当的想象相结合。低年级可以先操作然后再去回想变换的过程，到了高年级可以先想象，然后再操作，然后再回想。注重从变换的角度，引导学生欣赏图形、设计图案。学习图形与变换的内容一个重要目的是使学生运用数学的眼光看待现实世界，因此，教学中要鼓励学生从变换的角度欣赏图形、设计图案。例如，在生活中随处可见的美丽图案，学生在观察这些图案时，可以发现其中包含的熟悉的图形；可以运用数学的眼光分析图案的组成，例如是否运用了变换；可以欣赏这些各具特色的图案，发现其中蕴含的对称美、和谐美、简洁美；可以以此为启发，发挥自己的个性和创造力，亲自动手设计图案。在解决问题中注重“图形的运动”和相关知识的联系，发展空间想象力和解决问题的能力。对于图形的认识，不仅仅是从静态的角度去认识它，还可以从动态的角度去丰富对它的认识。如角的大小与什么有关，教师鼓励学生动态地认识，利用活动角的不断张开，学生会慢慢关注角的张口。事实上，利用图形的运动变换来认识图形，是一个将静态认识和动态认识相结合的途径。又如，学习“圆柱和圆锥的认识”，使学生从旋转的角度认识圆柱，感受平面图形和立体图形的转换，教师会安排（旋转长方形成圆柱或三角形）这样一个操作活动。通常教师喜欢将这个活动放在开课时用，认为既可以激发学生的学习兴趣，又能让学生感受“面旋转成体”。但是，用手旋转长方形纸片，由于速度不够快，并不能直观看到一个圆柱，主要是学生的一种想象。怎样能很好引导学生去想象和感受这个面和其旋转所形成的体的关系，发展学生的空间观念呢？首先让学生想象长方形硬纸绕着木棒旋转会得到一个什么图形。学生会想到是圆柱，但并不是所有的学生都会在头脑中形成长方形旋转后得到圆柱的过程。这时教师要让学生进一步想象：在旋转过程中这个长方形的长是圆柱体的什么？宽呢？让学生在脑海中刻画出它运动的轨迹，得出结论。接着，让学生去动手旋转验证，虽然不能快速旋转看出一个圆柱体，却能借助这个长方形实物帮助学生进一步刻画出它的运动轨迹。最后，教师可以借助多媒体的优势，先将其慢慢旋转看到其留下的一个个轨迹，再不断快速旋转形成一个圆柱。这样的教学不仅进一步巩固了对圆柱的认识，而且引导学生通