第25课梯形考前巩固

要点梳理1．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形．两腰相等的梯形叫做等腰梯形．2．等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形；(2)同一底上的两个角相等的梯形；(3)对角线相等的梯形．3．梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于上、下两底，且等于两底和的一半．常见的辅助线(1)平移一腰——构造平行四边形和三角形；(2)过顶点作高——构造矩形和直角三角形；(3)延长两腰相交——构造三角形；(4)平移对角线——构造平行四边形和三角形；(5)过一腰中点和顶点作直线——构造全等三角形．

第25课梯形

考点巩固测试

1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD，BD⊥CD.(1)求sin∠DBC的值；(2)若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积．

解(1)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∴∠CBD＝∠ABD＝½∠ABC.又∵AB＝CD，∴∠ABC＝∠C.∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∠DBC＋∠C＝90°，∴3∠DBC＝90°，∠DBC＝30°，∴sin∠DBC＝sin30°＝½.(2)∵BC＝4，∴CD＝2，BC边上的高＝

感悟提高掌握梯形的面积公式；或者根据条件，将梯形问题转化为三角形问题来加以解决．第25课梯形

变式测试1(2013·河南)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE＝AD，连接DE交AB于点M.(1)求证：△AMD≌△BME；(2)若N是CD的中点，且MN＝5，BE＝2，求BC的长．

解(1)证明：∵AD∥BC，∴∠A＝MBE，∠ADM＝∠E.在△AMD和△BME中，∴△AMD≌△BME(ASA)．(2)∵△AMD≌△BME，∴MD＝ME.又∵ND＝NC，∴MN＝½EC，∴EC＝2MN＝2×5＝10，∴BC＝EC－EB＝10－2＝8.第25课梯形2.如图，在等腰梯形ABCD中，∠C＝60°，AD∥BC，且AD＝DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE＝CF，AF、BE交于点P.(1)求证：AF＝BE；(2)请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．

解(1)证明：∵BA＝CD＝AD，∠BAE＝∠ADF，AD＋DE＝CD＋CF，即AE＝DF，∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴AF＝BE.(2)猜想：∠BPF＝120°.证明：由(1)得△BAE≌△ADF，∴∠ABE＝∠DAF，∴∠BPF＝∠ABP＋∠BAP＝∠BAE.又∵AD∥BC，∠C＝∠ABC＝60°，∴∠BPF＝∠BAE＝180°－60°＝120°.感悟提高利用等腰梯形的性质“同一底上的两个底角相等”直接求得∠BPF的度数．

第25课梯形

变式测试2(2012·芜湖)如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC,BD平分∠ABC，∠A＝60°.过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF.求证：△DEF为等边三角形.

证明∵DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°，∴∠ABC＝∠A＝60°.又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝½∠ABC＝30°.∵DC∥AB，∴∠BDC＝∠ABD＝30°，∴∠CBD＝∠CDB,∴CB＝CD.∵CF⊥BD，∴F为BD中点．又∵DE⊥AB，∴DF＝BF＝EF.∵∠ABD＝30°，∴∠BDE＝60°，∴△DEF为等边三角形．第25课梯形3.(2013·枣庄)如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连接EF.(1)证明：EF＝CF；(2)当tan∠ADE＝⅓时，求EF的长．解(1)证明：过D作DG⊥BC于G.由已知可得，四边形ABGD为正方形.∵DE⊥DC，∴∠ADE＋∠EDG＝90°＝∠GDC＋∠EDG，∴∠ADE＝∠GDC.又∵∠A＝∠DGC，AD＝GD，∴△ADE≌△GDC，∴DE＝DC，AE＝GC.在△EDF和△CDF中，∠EDF＝∠CDF，DE＝DC，DF为公共边，∴△EDF≌△CDF(SAS)，∴EF＝CF.(2)∵tan∠ADE＝AE/AD＝⅓，∴AE＝GC＝2.设EF＝x，则BF＝8－CF＝8－x，BE＝6－2＝4.由勾股定理，得x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，即EF＝5.第25课梯形感悟提高

涉及直角梯形的问题，常作高构造矩形和直角三角形来解决问题．变式测试3(2012·苏州)如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，延长线段CB到E，使BE＝AD，连接AE、AC.(1)求证：△ABE≌△CDA；(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数．

解(1)证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABE＝∠BAD，∠BAD＝∠CDA，∴∠ABE＝∠CDA.在△ABE和△CDA中，∴△ABE≌△CDA(SAS)．(2)由(1)得：∠AEB＝∠CAD，AE＝AC，∴∠AEB＝∠ACE.∵∠DAC＝40°，∴∠AEB＝∠ACE＝40°，∴∠EAC＝180°－40°－40°＝100°.第25课梯形4.(2011·福建)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E.(1)求证：∠ABD＝∠CBD；(2)若∠C＝2∠E，求证：AB＝DC；(3)在(2)的条件下，sinC＝4/5，AD＝

求四边形AEBD的面积．

解(1)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD，∴∠ABD＝∠CBD.(2)∵AE∥DB，∴∠E＝∠CBD.由(1)得∠ABD＝∠CBD，∴∠ABC＝2∠CBD＝2∠E.又∵∠C＝2∠E，∴∠ABC＝∠C，∴在梯形ABCD中，AB＝DC.

第25课梯形感悟提高本题考查了梯形、直角三角形．解答该题时，充分利用了平行线的性质：两直线平行，内错角(同位角)相等．变式测试4

(2011·茂名)如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2.

(1)求证：OD＝OE；

(2)求证：四边形ABED是等腰梯形；

(3)若AB＝3DE,△DCE的面积为2,求四边形ABED的面积．

解(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC，∴∠BAD＝∠ABE.∵AB＝BA，∠2＝∠1，∴△ABD≌△BAE(ASA)，∴BD＝AE.又∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∴BD－OB＝AE－OA，即OD＝OE.

第25课梯形(2)证明：由(1)知：OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠OED＝½(180°－∠DOE)，同理：∠1＝½(180°－∠AOB)．∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB.∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD与BE不平行，∴