线性代数模拟试题一

wordword精品文档,可编辑,欢迎下载线性代数模拟试题一一、填空题（每小题2分，共50分）Dn

a a,Dij

aij

(1) ；2x在函数fxx1

1 1x x中的系数是 (2)2 xx2

2x x2

2,1 A对于方程x x 3x ,，其系数矩阵= (3) ；1 2 3xx x 0.1 2 34．排列nnn2321的逆序数等于 (4) ；5．n阶行列式共有 项，正负号由 （6） 决定.对于行列当时，a Aki kjk1

（7） .用克拉默法则解方程组的两个条件：系数行列式不等于0（8）.若n元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为，则当（9）时，方程组有无穷多解．矩阵与行列式有本质的区别，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是（10）只有当（11）11．若A-|=12）.A 1A

2A ，|A|=（13）.2A s矩阵等价具有的三个性质为：反身性、（14）、传递性.矩阵的初等行变换包括（15）、ri

k、（16）三种.把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵0（17），当（18）0，当（19）有唯一解，当（20）没解.mE)，相当于对A实施（21）变换. m ij18．x(x,x1 2

n

a1

xa1

x2

xbn维向量空间中（22）.na时，当（23）矩阵的秩与向量组的秩的关系为：（24）.要证明某一向量组是方程组AX=0的基础解系，需要证明三个结论:（a）该组向量都是方程组的解、（b） （25） （c）二、计算题（1030分）x a a1 2a x a1 2

a a3 na a3 n计算行列式的值D a an1 1 2

x a a.3 n a a a1 2 3

a x40 2 1 A1

1 2. 1 1 1 0 1 研究下列向量组的线性相关性1

2,3

2,353

0.2 三、证明题（第1题10分，第2题10分）用数学归纳法证明1 1x x1 2x2 x2

1 1x x3 nx2 x2

D 1n xn21xn1

2xn22xn2

3xn23xn3

n xn2n xnn

xx1

xn

xx jin i j

n2设是非齐次线性方程组AXB的一个解,1

,,

nr

是对应奇次方程组AX的一个基础解系证明:(1),,, 线性无关;1 nr(2),1

,,

nr

是方程组AXB的nr个线性无关的解.方程组AXB的任一解X都可以表示为这nr个解的线性组合,而且组合系数之和为1.参考答案一、填空题（每小题2分，共50分）(1)(1)na;(2)-2;1 2(3)2 11 1

13;1(4)

2 ;(5)n!;(6)下标排列的逆序数;(7)|A|;方程组中未知数个数与方程个数相等；rn；(10)(11)第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时；(12)A1；A AA；1 2 s对称性；ri

r；jri

kr；j阶数；(18)RAn；(19)RAR(B)n；(20)RAR(B)；第二种初等行变换 ri

k；超平面；(23)0(24)相等；(25)向量组线性无关；二、计算题（每小题10分，共30分）x a a1 2a x a1 2

a a3 na a3 n计算行列式的值D a an1 1 2

x a a.3 n a a a1 2 3

a x4解：将第2,3,,n1列都加到第一列，得：xnaiai1aixni

a a a1 2 nx a anD i1 2nn1

xna ai 1

x an xnaii1

a a x2 3提取第一列的公因子，得：

1 a a a11 x a2 an1Dn1

(x

a)1i

a 2

an.ni1 1 a a x2 3(a)(a),(a)倍1２ n1加到最后一列，得1 01 xa

0 00 0Dn1

(x

a)1i

a12

xa 02i1 1

aa2

aa3

xan(xn

ai

(xa).i0 2

i1 i1A1

1 2. 1 1 解：作分块矩(E),施行初等行变.0 2 1 1 0 0r

r1 1 2 0 1 0

r1 1 2 0 1 01 1 2 0 1 0

2 0 2 1 1 0 0

3

1 0 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 r r1 1 2 0 1 0r r1 1 0 0 1 22

3 0 2 0 1 1 1

12

3 0 2 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 100110121210011012120101

2r

r1 0 0 12 32 52220

12

2 0 1 0 12 12 12 0 1

0 0 1

0 1 1 12 32 52 2 12 12

1 0 1 研究下列向量组的线性相关性1

2,3

2,353

0.2 1 0 1 0解1：令k

k

k

0,即k

2k

2k

00 1 1 2 2 3

13 25 32 0 k2 1

k 3

()整理得到 k k 1 23k5k 2k 0. 1 2 31 0 1线性方程的系数行列式2 2 0线性方程必有非零,从而3 5 2,,.1 2 31 0 1 1

0 1 解

2,2,0,矩阵A,,)2 2 0