2019届中考数学压轴题矩形问题解析(三)

2019届中考数学压轴题矩形问题剖析(三)2019届中考数学压轴题矩形问题剖析(三)4/42019届中考数学压轴题矩形问题剖析(三)2019届中考数学压轴题矩形问题精选剖析（三）例5如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的极点A、C的坐标分别为A（5，0），C（0，′3）．射线y＝kx交折线A－B－C于点P，点A关于OP的对称点为A．（1）当点′恰幸好边上时，求′的长及的值；ACAkCB′′为极点，求k的值及该抛物线的剖析式；（2）若经过O、A、A三点的抛物线恰好以A′′′E、（3）如图2，当点P在AB边上，点A在CB上方时，连接AO、AP分别交CB边于点F．可否存在实数k使△A′EF≌△BPF？若存在，求出k值；若不存在，说明原由；4）以OP为直径作⊙M，则⊙M与矩形OABC最多有_________个公共点，直接写出公共点个数最多时k的取值范围．yyA′yCBCEFBCBA′PPOAxOAxOAx图1图2备用图剖析：（1）当点′恰幸好边上时，连接′、′，如图1AACBOAP′＝OA＝5，OC＝3∵OA′＝′2222y∴CAOA－OC＝5－3＝4∴′＝－′＝5－4＝1ABCBCACA′设PA＝x，则A′P＝PA＝x，BP＝3－xB222Rt△A′PB中，A′B＋BP＝A′P22255P∴1＋(3－x)＝x，解得x＝3，∴P（5，3）yP1OAx∴k＝xP＝3图1′′′′A交射线OP于点D，如图2（2）连接AO、AP、AA，设A则OP垂直均分A′AA′′三点的抛物线恰好以′为极点y∵经过O、A、AA∴由抛物线的对称性可知′＝′＝2′AADOAACB′′OD＝30°P∴∠AOD＝30°，∴∠AOD＝∠A35353D∴＝3＝3，∴（5，）PAOAP3yP3∴k＝xP＝3OAx′′OA是等边三角形图2可得∠AOA＝60°，∴△A∴点A′的坐标为（5，5322）5253设抛物线的剖析式为为y＝a(x－2)＋25253把O（0，0）代入上式，得0＝a(0－2)＋223解得a＝5235253∴抛物线的剖析式为为y＝－5(x－2)＋2′EF≌△BPF，如图3（3）假设存在实数k，使△A∵∠A′＝∠B＝90°，∠A′FE＝∠BFP′′∴AE＝BP，AF＝BFA′E＝BP＝a，A′F＝BF＝bA′P＝PA＝3－a，EF＝PF＝3－a－b，OE＝5－aCE＝5－(3－a－b)－b＝2＋a222Rt△OCE中，OC＋CE＝OE22263＋(2＋a)＝(5－a)，解得a＝7∴＝3－6＝15，∴（5，15）77∴k＝y7P＝3xP74）以OP为直径的⊙M与矩形OABC最多有6个公共点提示：∵∠OAP＝90°∴当点P在AB边上时，⊙M经过O、A、P三点，如图4∵∠COP＜90°，∴⊙M必与OC边交于另一点又∵⊙M与BC边最多有2个公共点∴⊙M与矩形OABC最多有6个公共点当点P在BC边上时，情况亦然①当⊙M与BC边相切于点D时，连接DM并延长交OA于E，如图5MD⊥BC，∴DE∥AB∥OC，∴DE＝OC＝3∵M是OP的中点，∴E是OA的中点1∴ME＝2PA11122设PA＝x，则ME＝2x，DM＝2OP＝2x＋51221∵DM＋ME＝DE，∴2x＋5＋2x＝31111解得x＝12，∴P（5，12）∴k＝yP＝11xP60②当⊙M与AB边相切于点E时，连接EM并延长交OC于D，如图611122设CP＝x，则DM＝2x，ME＝2OP＝2x＋3∵＋＝，∴1x1x222＋＋3＝5DMMEDE2

yA′EFCBPOAx3yCBPMOAx4yDCBMPOEAx5yCPBMDEOAx6解得x＝91，∴（91，3）20P20∴k＝yP60＝91xP3又∵当点P与点B重合时，⊙M经过O、A、B、C四点，此时k＝511603∴当⊙M与矩形OABC有6个公共点时，k的取值范围是：60＜k＜91且k≠5例6如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，将矩形ABCD绕中心O顺时针旋转90°获取矩形′′′′ABCDB′A′（1）求点A在旋转过程中所走过的路径的长；（2）求矩形ABCD在旋转过程中所扫过的面积；AD（3）若点P为线段上一点，且使得∠′＝60°，则满足条件的BCAPA点P有几个？请你选择一个点′P求△APA的面积．O剖析：BC（1）易知点A的路径是以O为圆心、以OA长为半径、圆心角为90°C′D′的一段圆弧∵AB＝1，BC＝3，∴AC＝2，OA＝1∴点A在旋转过程中所走过的路径的长为：π×1×90π180＝2（2）如图，将矩形ABCD绕它的对称中心O旋转90°，扫过的面积是图中阴影部分的面积′′′′3－1∵AB＝1，AD＝BC＝3，∴AG＝DG＝BE＝CE＝2B′A′∵＝1，＝3AGDABAD∴∠ADB＝∠DBC＝30°，∠OFC＝∠A′C′D′＝∠BDC＝60°∴∠A′OD＝∠BOC′＝30°O∴S阴影＝S⊙O－2(S扇形BOD－2S△BOE)＝S⊙O－2S扇形BOD＋4S△BOE)213－112π×1×30BEFC＝π×1－2×360＋4×2×2×2C′D′53－12＝6π＋2（cm）（3）满足条件的点P有2个提示：在BC上取点P1，使BP1＝331133－131B′A′则∠APB＝60°，PH＝3－3－2＝6＋2AGD′3－13＋1AH＝3－＝22′1A′H′1BC∴tan∠APH＝P1H＝3，∴∠APH＝60°E1P2H1′＝60°P∴∠APAC′D′22′G＝3－1在BC上取点P，使PH＝A2′′′′′22则△AP2H≌△AAG，∴AP2＝AA＝AH＋P2H＝2BP2＝3＋13－1－＝1＝AB，∴AP2＝222∴AP2＝A′P2＝A′A，∴△AP2A′是等边三角形∴∠AP2A′＝60°又∵△AP2A′的外接圆与BC最多有2个交点∴满足条件的点P有2个若求△A